商科代写|计量经济学代写Econometrics代考|A New Approach to Investigate Cyclical Dependence in Economic Time Series

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计量经济学,对经济关系的统计和数学分析,通常作为经济预测的基础。这种信息有时被政府用来制定经济政策,也被私人企业用来帮助价格、库存和生产方面的决策。

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商科代写|计量经济学代写Econometrics代考|A New Approach to Investigate Cyclical Dependence in Economic Time Series

商科代写|计量经济学代写Econometrics代考|Harmonic Regression Models and Laplace Periodograms

For a given time series $\left{Y_{t}\right}$ of length $n$ and its frequency $\omega \in(0, \pi)$, the ordinary periodogram is defined as
$$
G_{n}(\omega):=\frac{1}{n}\left|\sum_{t=1}^{n} Y_{t} \exp (-i t \omega)\right|^{2}
$$

In the above equation, if $\omega=2 \pi k / n$, where $k$ is a certain integer, it can also be expressed as
$$
G_{n}(\omega)=\frac{1}{4} n\left|\tilde{\boldsymbol{\beta}}{n}(\omega)\right|^{2}=\frac{1}{4} n \tilde{\boldsymbol{\beta}}{n}^{\prime}(\omega) \tilde{\boldsymbol{\beta}}{n}(\omega), $$ where $|\cdot|$ denotes the Euclidian norm, and $\tilde{\boldsymbol{\beta}}{n}(\omega)$ denotes the least squares estimator in the linear model with regressors $\boldsymbol{x}{t}(\omega)=[\cos (\omega t), \sin (\omega t)]^{\prime}$, corresponding to an $L{2}$-projection of the observed series onto the harmonic basis, which are obtained as the solution of the following equation.
$$
\left{\tilde{\lambda}{n}(\omega), \tilde{\boldsymbol{\beta}}{n}(\omega)\right}:=\operatorname{argmin}{\lambda \in \mathbb{R}, \beta \in \mathbb{R}^{2}} \sum{t=1}^{n}\left(Y_{t}-\lambda-\boldsymbol{x}{t}^{\prime}(\omega) \boldsymbol{\beta}\right)^{2} $$ When the OLS criterion is replaced by the least absolute deviation (LAD) criterion in the harmonic regression, the LAD coefficient $\ddot{\boldsymbol{\beta}}{n}(\omega)$ is obtained as follows:
$$
\left{\ddot{\lambda}{n}(\omega), \ddot{\boldsymbol{\beta}}{n}(\omega)\right}:=\operatorname{argmin}{\lambda \in \mathbb{R}, \beta \in \mathbb{R}^{2}} \sum{t=1}^{n}\left|Y_{t}-\lambda-\boldsymbol{x}{t}^{\prime}(\omega) \boldsymbol{\beta}\right| $$ By using $\ddot{\boldsymbol{\beta}}{n}(\omega), \mathrm{Li}(2008)$ has defined the Laplace periodogram as
$$
L_{n}(\omega):=\frac{1}{4} n\left|\ddot{\boldsymbol{\beta}}{n}(\omega)\right|^{2} $$ Therefore, both $G{n}(\omega)$ and $L_{n}(\omega)$ are obtained by the squared norm (or sum of squares) of harmonic regression coefficients multiplied by some constant terms. In particular, the Laplace periodogram inherits the robustness properties of linear LAD regression. Just as the OLS estimator is used to characterize the sample mean, the LAD estimator applied captures the behavior of the observation around the median $(0.5$ quantile)
$\mathrm{Li}(2008)$ has derived the asymptotic normality and useful related theorems of the Laplace periodogram, which are very useful to consider asymptotic behaviors of several periodograms. His results are based on the concept of zero-crossings.

Definition (Stationarity in zero-crossings) The lagged zero-crossing rate of a random process $\left{\varepsilon_{t}\right}$ between $t$ and $s$ is defined as $\gamma_{t s}:=P\left(\varepsilon_{t} \varepsilon_{s}<0\right)$, and $\left{\varepsilon_{t}\right}$ is called to be stationary in zero-crossings if and only if $\gamma_{t s}$ depends only on $t-s$, that is, $\gamma_{t s}=\gamma_{t-s}$ for all $t$ and $s . \gamma_{\tau}$ is called as the lag-zero-crossing rate of $\left{\varepsilon_{t}\right}$ and $S(\omega):=\sum_{\tau=-\infty}^{\infty}\left(1-2 \gamma_{\tau}\right) \cos (\omega \tau)$ is called as the zero-crossing spectrum of $\left{\varepsilon_{t}\right}$.

商科代写|计量经济学代写Econometrics代考|Sample and Smoothed Laplace Periodogram

Define the following new variable of interest called a quantile crossing indicator:
$$
V_{t}(\tau, q(\tau))=\tau-I\left{Y_{t}<q(\tau)\right}
$$
If the distribution function of $Y_{t}$ is continuous and increasing at
$$
q(\tau):=\inf {y: P(Y \leq y)}
$$
$V_{t}(\tau)$ is bounded, stationary and mean zero random variable. Using Koenker and Basset’s approach, we define an estimate of $V_{t}(\tau)$ as follows:
$$
\widehat{V}{t}(\tau)=V{t}\left(\tau, \hat{q}_{n}(\tau)\right)
$$

where $\hat{q}{n}(\tau)=\operatorname{argmin}{q \in \mathbb{R}} \sum_{t=1}^{n} \rho_{\tau}\left(Y_{t}-y\right), \rho_{\tau}(x)=x{\tau-I(x<0)} . \hat{q}{n}(\tau)$ is the estimate of the $\tau$ th quantile. The $\tau$ th quantile periodogram is given by $$ Q{n, \tau}(\omega):=\frac{1}{2 \pi}\left|\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{t=1}^{n} \widehat{V}{t}(\tau) \mathrm{e}^{-i t \omega}\right|=\frac{1}{2 \pi} \sum{|j|<n} \hat{r}{n, \tau}(j) \cos (\omega j) $$ where $i^{2}=1$ and $\hat{r}{u, r}(j)=\frac{1}{n} \sum_{t}^{n}|j|+1 \widehat{V}{l}(\tau) \widehat{V}{t-|/|}(\tau), \quad|j| \propto n . Q_{n, r}(\omega)$ is an unbiased estimate of the $\tau$ th spectral density, but is not consistent. A consistent estimator is obtained by smoothing the periodogram using kernel functions (all the results below are taken from Hagemann 2013).
We obtained a smoothed $\tau$ th quantile periodogram as
$$
\widehat{Q}{n, \tau}(\omega)=\frac{1}{2 \pi} \sum{|j|<n} \lambda\left(j / b_{n}\right) \hat{r}{n, \tau}(j) \cos (\omega j) $$ $\lambda\left(j / b{n}\right)$ is a lag window and $b_{n}$ is a bandwidth parameter. It is known from the literature on spectral analysis that an optimal lag window leading a non-negative periodogram is the so-called quadratic spectral window defined as
$$
\lambda_{Q S}(x)=\frac{25}{12 \pi^{2} x^{2}}\left{\frac{\sin \left(\frac{6 \pi x}{5}\right)}{\frac{6 \pi x}{5}}-\cos \left(\frac{6 \pi x}{5}\right)\right}
$$

商科代写|计量经济学代写Econometrics代考|Copula-Based Periodogram and Rank-Based Laplace Periodogram

Laplace periodograms can be used to estimate copula spectra density kernels. We briefly present the methodology here since copula models have become widely used in economics and finance (see Patton 2012 for a review of theory and empirical estimation). One important advantage of copulas is that they do not require any distributional assumption, such as for instance the existence of finite moments.
Let us consider again a strictly stationary time series $\left{Y_{t}\right}_{t \in \mathbb{Z}}$ and its marginal distribution function $F$. In the traditional approach, the spectral density kernels are defined associated with autocovariance kernels of the series. To capture more general features of pairs of $Y_{t}$ and $Y_{t-k}$, the clipped processes $\left(I\left{Y_{t} \leq q\right}\right){t \in \mathbb{Z}}$ and $\left(I\left{U{t} \leq \tau\right}\right){t \in \mathbb{Z}}$, where $U{t}:=F\left(Y_{t}\right)$ are introduced; then, the spectral density kernels are defined associated with covariance kernels of these clipped processes, which are shown below.
$$
\gamma_{k}\left(q_{1}, q_{2}\right):=\operatorname{Cov}\left(I\left{Y_{t} \leq q_{1}\right}, I\left{Y_{t-k} \leq q_{2}\right}\right), \quad q_{1}, q_{2} \in \overline{\mathbb{R}}, k \in \mathbb{Z}
$$

where $I{\cdot}$ denotes the indicator function and $\overline{\mathbb{R}}:=\mathbb{R} \cup{-\infty, \infty}$ the extended real line. The definition descriked above is the I añlace cross-covariance. The copula cross-covariance is
$$
\gamma_{k}^{U}\left(\tau_{1}, \tau_{2}\right):=\operatorname{Cov}\left(I\left{U_{t} \leq \tau_{1}\right}, I\left{U_{t-k} \leq \tau_{2}\right}\right), \quad \tau_{1}, \tau_{2} \in[0,1], k \in \mathbb{Z}
$$
By using the Laplace cross-covariance and the copula cross-covariance, researchers can consider more general dependence structures of $Y_{t}$ and $Y_{t-k}$ that traditional covariance-based methods unable to deal with, such as time-irreversibility, tail dependence, varying conditional skewness or kurtosis, and so on, though various extensions and revisions have been proposed in the $L_{2}$-periodograms (Kleiner et al. 1979; Klüppelberg and Mikosch 1994; Mikosch 1998; Katkovnik 1998; Hong 1999; Hill and McCloskey 2014).

Under summability conditions on $\gamma_{k}$ and $\gamma_{k}^{U}$, the population spectral densities are defined as follows.
$$
\begin{gathered}
f_{q_{1}, q_{2}}(\omega):=\frac{1}{2 \pi} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \gamma_{k}\left(q_{1}, q_{2}\right) \mathrm{e}^{-i k \omega}, \quad q_{1}, q_{2} \in \overline{\mathbb{R}}, \omega \in \mathbb{R}, \
f_{q_{t_{1}}, q_{\tau_{2}}}(\omega):=\frac{1}{2 \pi} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \gamma_{k}^{U}\left(\tau_{1}, \tau_{2}\right) \mathrm{e}^{-i k \omega}, \quad \tau_{1}, \tau_{2} \in[0,1], \omega \in \mathbb{R},
\end{gathered}
$$

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计量经济学代考

商科代写|计量经济学代写Econometrics代考|Harmonic Regression Models and Laplace Periodograms

对于给定的时间序列\left{Y_{t}\right}\left{Y_{t}\right}长度n及其频率ω∈(0,圆周率),普通周期图定义为

Gn(ω):=1n|∑吨=1n是吨经验⁡(−一世吨ω)|2

在上面的等式中,如果ω=2圆周率ķ/n, 在哪里ķ是某个整数,也可以表示为

Gn(ω)=14n|b~n(ω)|2=14nb~n′(ω)b~n(ω),在哪里|⋅|表示欧几里得范数,并且b~n(ω)表示带有回归量的线性模型中的最小二乘估计量X吨(ω)=[因⁡(ω吨),罪⁡(ω吨)]′,对应于大号2-将观察到的序列投影到谐波基础上,作为以下方程的解获得。

\left{\tilde{\lambda}{n}(\omega), \tilde{\boldsymbol{\beta}}{n}(\omega)\right}:=\operatorname{argmin}{\lambda \in \ mathbb{R}, \beta \in \mathbb{R}^{2}} \sum{t=1}^{n}\left(Y_{t}-\lambda-\boldsymbol{x}{t}^ {\prime}(\omega) \boldsymbol{\beta}\right)^{2}\left{\tilde{\lambda}{n}(\omega), \tilde{\boldsymbol{\beta}}{n}(\omega)\right}:=\operatorname{argmin}{\lambda \in \ mathbb{R}, \beta \in \mathbb{R}^{2}} \sum{t=1}^{n}\left(Y_{t}-\lambda-\boldsymbol{x}{t}^ {\prime}(\omega) \boldsymbol{\beta}\right)^{2}当OLS准则被调和回归中的最小绝对偏差(LAD)准则代替时,LAD系数b¨n(ω)得到如下:

\left{\ddot{\lambda}{n}(\omega), \ddot{\boldsymbol{\beta}}{n}(\omega)\right}:=\operatorname{argmin}{\lambda \in \ mathbb{R}, \beta \in \mathbb{R}^{2}} \sum{t=1}^{n}\left|Y_{t}-\lambda-\boldsymbol{x}{t}^ {\prime}(\omega) \boldsymbol{\beta}\right|\left{\ddot{\lambda}{n}(\omega), \ddot{\boldsymbol{\beta}}{n}(\omega)\right}:=\operatorname{argmin}{\lambda \in \ mathbb{R}, \beta \in \mathbb{R}^{2}} \sum{t=1}^{n}\left|Y_{t}-\lambda-\boldsymbol{x}{t}^ {\prime}(\omega) \boldsymbol{\beta}\right|通过使用b¨n(ω),大号一世(2008)已将拉普拉斯周期图定义为

大号n(ω):=14n|b¨n(ω)|2因此,两者Gn(ω)和大号n(ω)由调和回归系数的平方范数(或平方和)乘以一些常数项获得。特别是,拉普拉斯周期图继承了线性 LAD 回归的稳健性。正如 OLS 估计器用于表征样本均值一样,所应用的 LAD 估计器捕捉中位数附近的观察行为(0.5分位数)
大号一世(2008)推导出了拉普拉斯周期图的渐近正态性和有用的相关定理,这对于考虑几个周期图的渐近行为非常有用。他的结果是基于过零的概念。

定义(过零的平稳性)随机过程的滞后过零率\left{\varepsilon_{t}\right}\left{\varepsilon_{t}\right}之间吨和s定义为C吨s:=磷(e吨es<0), 和\left{\varepsilon_{t}\right}\left{\varepsilon_{t}\right}当且仅当C吨s只取决于吨−s, 那是,C吨s=C吨−s对所有人吨和s.Cτ称为滞后过零率\left{\varepsilon_{t}\right}\left{\varepsilon_{t}\right}和小号(ω):=∑τ=−∞∞(1−2Cτ)因⁡(ωτ)被称为过零谱\left{\varepsilon_{t}\right}\left{\varepsilon_{t}\right}.

商科代写|计量经济学代写Econometrics代考|Sample and Smoothed Laplace Periodogram

定义以下新的感兴趣变量,称为分位数交叉指标:

V_{t}(\tau,q(\tau))=\tau-I\left{Y_{t}<q(\tau)\right}V_{t}(\tau,q(\tau))=\tau-I\left{Y_{t}<q(\tau)\right}
如果分布函数为是吨是连续的并且在

q(τ):=信息是:磷(是≤是)
在吨(τ)是有界、平稳且均值为零的随机变量。使用 Koenker 和 Basset 的方法,我们定义了在吨(τ)如下:

在^吨(τ)=在吨(τ,q^n(τ))

在哪里q^n(τ)=精氨酸⁡q∈R∑吨=1nρτ(是吨−是),ρτ(X)=Xτ−我(X<0).q^n(τ)是的估计τ第分位数。这τ分位数周期图由下式给出

问n,τ(ω):=12圆周率|1n∑吨=1n在^吨(τ)和−一世吨ω|=12圆周率∑|j|<nr^n,τ(j)因⁡(ωj)在哪里一世2=1和r^在,r(j)=1n∑吨n|j|+1在^l(τ)在^吨−|/|(τ),|j|∝n.问n,r(ω)是一个无偏估计τth 谱密度,但并不一致。通过使用核函数对周期图进行平滑来获得一致的估计量(以下所有结果均来自 Hagemann 2013)。
我们得到了一个平滑的τ第分位数周期图为

问^n,τ(ω)=12圆周率∑|j|<nλ(j/bn)r^n,τ(j)因⁡(ωj)λ(j/bn)是一个滞后窗口并且bn是带宽参数。从有关光谱分析的文献中可知,引导非负周期图的最佳滞后窗口是所谓的二次光谱窗口,定义为

\lambda_{Q S}(x)=\frac{25}{12 \pi^{2} x^{2}}\left{\frac{\sin \left(\frac{6 \pi x}{5} \right)}{\frac{6 \pi x}{5}}-\cos \left(\frac{6 \pi x}{5}\right)\right}\lambda_{Q S}(x)=\frac{25}{12 \pi^{2} x^{2}}\left{\frac{\sin \left(\frac{6 \pi x}{5} \right)}{\frac{6 \pi x}{5}}-\cos \left(\frac{6 \pi x}{5}\right)\right}

商科代写|计量经济学代写Econometrics代考|Copula-Based Periodogram and Rank-Based Laplace Periodogram

拉普拉斯周期图可用于估计 copula 谱密度核。由于 copula 模型已广泛用于经济和金融领域,因此我们在此简要介绍该方法(参见 Patton 2012 对理论和实证估计的回顾)。copula 的一个重要优点是它们不需要任何分布假设,例如有限矩的存在。
让我们再次考虑一个严格平稳的时间序列\left{Y_{t}\right}_{t \in \mathbb{Z}}\left{Y_{t}\right}_{t \in \mathbb{Z}}及其边际分布函数F. 在传统方法中,谱密度核与序列的自协方差核相关联。捕获对的更一般的特征是吨和是吨−ķ, 剪裁过程\left(I\left{Y_{t} \leq q\right}\right){t \in \mathbb{Z}}\left(I\left{Y_{t} \leq q\right}\right){t \in \mathbb{Z}}和\left(I\left{U{t} \leq \tau\right}\right){t \in \mathbb{Z}}\left(I\left{U{t} \leq \tau\right}\right){t \in \mathbb{Z}}, 在哪里在吨:=F(是吨)被介绍;然后,定义与这些裁剪过程的协方差内核相关的谱密度内核,如下所示。

\gamma_{k}\left(q_{1}, q_{2}\right):=\operatorname{Cov}\left(I\left{Y_{t} \leq q_{1}\right}, I\左{Y_{tk} \leq q_{2}\right}\right), \quad q_{1}, q_{2} \in \overline{\mathbb{R}}, k \in \mathbb{Z}\gamma_{k}\left(q_{1}, q_{2}\right):=\operatorname{Cov}\left(I\left{Y_{t} \leq q_{1}\right}, I\左{Y_{tk} \leq q_{2}\right}\right), \quad q_{1}, q_{2} \in \overline{\mathbb{R}}, k \in \mathbb{Z}

在哪里我⋅表示指标函数和R¯:=R∪−∞,∞延长实线。上面描述的定义是 I añlace 交叉协方差。copula 的交叉协方差是

\gamma_{k}^{U}\left(\tau_{1}, \tau_{2}\right):=\operatorname{Cov}\left(I\left{U_{t} \leq \tau_{1 }\right}, I\left{U_{tk} \leq \tau_{2}\right}\right), \quad \tau_{1}, \tau_{2} \in[0,1], k \在 \mathbb{Z}\gamma_{k}^{U}\left(\tau_{1}, \tau_{2}\right):=\operatorname{Cov}\left(I\left{U_{t} \leq \tau_{1 }\right}, I\left{U_{tk} \leq \tau_{2}\right}\right), \quad \tau_{1}, \tau_{2} \in[0,1], k \在 \mathbb{Z}
通过使用拉普拉斯交叉协方差和 copula 交叉协方差,研究人员可以考虑更一般的依赖结构是吨和是吨−ķ传统的基于协方差的方法无法处理的问题,例如时间不可逆性、尾依赖、变化的条件偏度或峰度等,尽管在大号2-周期图(Kleiner 等人 1979;Klüppelberg 和 Mikosch 1994;Mikosch 1998;Katkovnik 1998;Hong 1999;Hill 和 McCloskey 2014)。

在可求和条件下Cķ和Cķ在,人口谱密度定义如下。

Fq1,q2(ω):=12圆周率∑ķ=−∞∞Cķ(q1,q2)和−一世ķω,q1,q2∈R¯,ω∈R, Fq吨1,qτ2(ω):=12圆周率∑ķ=−∞∞Cķ在(τ1,τ2)和−一世ķω,τ1,τ2∈[0,1],ω∈R,

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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