商科代写|计量经济学代写Econometrics代考|ECOM20001

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商科代写|计量经济学代写Econometrics代考|ECOM20001

商科代写|计量经济学代写Econometrics代考|General Conditions and the Functions ψˆ n,αˆ and ψα

We give general conditions that we assume to hold in the remainder of the paper here and give graphical comparisons of the functions $\hat{\psi}{n, \alpha}$ and $\psi{\alpha}$, where $\psi_{\alpha}$ is defined in Definition $1 .$

Example 1 As an illustrative example, we take $d=2, \psi_{0}(x)=x^{3}, \alpha_{0}=(1 / \sqrt{2}$, $1 / \sqrt{2})^{T}, Y_{i}=\psi_{0}\left(\alpha_{0}^{T} X_{i}\right)+\varepsilon_{i}$, where the $\varepsilon_{i}$ are i.i.d. standard normal random variables, independent of the $\boldsymbol{X}{i}$, which are i.i.d. random vectors, consisting of two independent Uniform $(0,1)$ random variables. In this case, the conditional expectation function (5) is a rather complicated function of $\alpha$ which we shall not give here but can be computed by a computer package such as Mathematica or Maple. The loss functions: $L^{\mathrm{LSE}}: \alpha{1} \mapsto \mathbb{E}\left{Y-\psi_{\alpha}\left(\alpha^{T} \boldsymbol{X}\right)\right}^{2} \quad$ and $\quad \widehat{L}{n}^{\mathrm{LSE}}: \alpha{1} \mapsto n^{-1} \sum_{i=1}^{n}\left{Y_{i}-\hat{\psi}{n, \alpha}\left(\alpha^{T} \boldsymbol{X}{i}\right)\right}^{2}$
where the loss function $\widehat{L}{n}^{L S E}$ is for sample sizes $n=10,000$ and $n=100,000$, and $\alpha=\left(\alpha{1}, \alpha_{2}\right)^{T}$. For $\alpha_{1} \in[0,1]$ and $\alpha_{2}$ equal to the positive root $\left{1-\alpha_{1}^{2}\right}^{1 / 2}$, we get Fig. 1. The function $L^{\mathrm{LSE}}$ has a minimum equal to 1 at $\alpha_{1}=1 / \sqrt{2}$, and $\widehat{L}{n}^{\mathrm{LSE}}$ has a minimum at a value very close to $1 / \sqrt{2}$ (furnishing the profile LSE $\hat{\alpha}{n}$ ), which gives a visual evidence for consistency of the profile LSE.

In order to show the $\sqrt{n}$-consistency and asymptotic normality of the estimators in the next sections, we now introduce some conditions, which correspond to those in Balabdaoui et al. (2019b). We note that we do not need conditions on reparameterization.
(A1) $\boldsymbol{X}$ has a density w.r.t. Lebesgue measure on its support $\mathcal{X}$, which is a convex set $\mathcal{X}$ with a nonempty interior, and satisfies $\mathcal{X} \subset\left{x \in \mathbb{R}^{d}:|x| \leq R\right}$ for some $R>0$.
(A2) The function $\psi_{0}$ is bounded on the set $\left{u \in \mathbb{R}: u=\alpha_{0}^{T} \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x} \in \mathcal{X}\right}$.
(A3) There exists $\delta>0$ such that the conditional expectation $\tilde{\psi}{\alpha}$, defined by (5), is nondecreasing on $I{\alpha}=\left{u \in \mathbb{R}: u=\alpha^{T} \boldsymbol{x}, x \in \mathcal{X}\right}$ and satisfies $\bar{\psi}{\alpha}=\psi{\alpha}$, so minimizes $$
\left|\mathbb{E}\left{Y-\psi\left(\boldsymbol{\alpha}^{T} \boldsymbol{X}\right)\right} \boldsymbol{X}\right|^{2}
$$
over nondecreasing functions $\psi$, if $\left|\boldsymbol{\alpha}-\boldsymbol{\alpha}_{0}\right| \leq \delta$.

商科代写|计量经济学代写Econometrics代考|The Limit Theory for the SSE

In this section, we derive the limit distribution of the SSE introduced above. In our derivation, the function $\psi_{\alpha}$ of Definition 1 plays a crucial role. Below, we will use the following assumptions, additionally to $(\mathrm{A} 1)-(\mathrm{A} 6)$.
(A7) There exists a $\delta>0$ such that for all $\alpha \in\left(\mathcal{B}\left(\alpha_{0}, \delta\right) \cap \mathcal{S}{d-1}\right) \backslash\left{\alpha{0}\right}$, the random variable
$$
\operatorname{cov}\left(\left(\boldsymbol{\alpha}{0}-\boldsymbol{\alpha}\right)^{T} \boldsymbol{X}, \psi{0}\left(\boldsymbol{\alpha}{0}^{T} \boldsymbol{X}\right) \mid \boldsymbol{\alpha}^{T} \boldsymbol{X}\right) $$ is not equal to 0 almost surely. (A8) The matrix $$ \mathbb{E}\left[\psi{0}^{\prime}\left(\boldsymbol{\alpha}{0}^{T} \boldsymbol{X}\right) \operatorname{cov}\left(\boldsymbol{X} \mid \boldsymbol{\alpha}{0}^{T} \boldsymbol{X}\right)\right]
$$
has rank $d-1$.
We start by comparing (3) with the function
$$
\alpha \mapsto\left|\mathbb{E}\left{Y-\psi_{\alpha}\left(\alpha^{T} \boldsymbol{X}\right)\right} \boldsymbol{X}\right|^{2}
$$ As in Sect. 1, the function $\hat{\psi}_{n, \alpha}$ is just the (isotonic) least squares estimate for fixed $\alpha$.

商科代写|计量经济学代写Econometrics代考|The Limit Theory for ESE and Cubic Spline Estimator

The proofs of the consistency and asymptotic normality of the ESE and spline estimator are highly similar to the proofs of these facts for the SSE in the preceding section. The only extra ingredient is the occurrence of the estimate of the derivative of the link function. We only discuss the asymptotic normality.
In addition to the assumptions (A1)-(A7), we now assume the following:
(A8′) $\psi_{\alpha}$ is twice differentiable on $\left.\inf {x \in \mathcal{X}}\left(\alpha^{T} \boldsymbol{x}\right), \sup {x \in \mathcal{X}^{\prime}}\left(\boldsymbol{\alpha}^{T} \boldsymbol{x}\right)\right)$.
(A9) The matrix
$$
\mathbb{E}\left[\psi_{0}^{\prime}\left(\alpha_{0}^{T} \boldsymbol{X}\right)^{2} \operatorname{cov}\left(\boldsymbol{X} \mid \alpha_{0}^{T} \boldsymbol{X}\right)\right]
$$
has rank $d-1$.
An essential step is again to show that
$$
\begin{aligned}
&\int \boldsymbol{x}\left{y-\hat{\psi}{n, \hat{\alpha}{n}}\left(\hat{\boldsymbol{\alpha}}{n}^{T} \boldsymbol{x}\right)\right} \hat{\psi}{n \hat{\boldsymbol{\alpha}}{n}}^{\prime}\left(\hat{\boldsymbol{\alpha}}{n}^{T} \boldsymbol{x}\right) d \mathbb{P}{n}(\boldsymbol{x}, y) \ &=\int\left{\boldsymbol{x}-\mathbb{E}\left(X \mid \hat{\boldsymbol{\alpha}}{n}^{T} \boldsymbol{X}\right)\right}\left{y-\hat{\psi}{n, \hat{\alpha}{n}}\left(\hat{\boldsymbol{\alpha}}{n}^{T} \boldsymbol{x}\right)\right} \hat{\psi}{n \hat{\alpha}{n}}^{\prime}\left(\hat{\alpha}{n}^{T} \boldsymbol{x}\right) d \mathbb{P}{n}(\boldsymbol{x}, y) \ &+o{p}\left(n^{-1 / 2}\right)+o_{p}\left(\hat{\alpha}{n}-\boldsymbol{\alpha}{0}\right)
\end{aligned}
$$
For the ESE, this is done by defining the piecewise constant function $\bar{\rho}{n, \alpha}$ for $u$ in the interval between successive jumps $\tau{i}$ and $\tau_{i+1}$ ) of $\hat{\psi}{n \alpha}$ by $$ \bar{\rho}{n, \alpha}(u)= \begin{cases}\mathbb{E}\left[\boldsymbol{X} \mid \alpha^{T} \boldsymbol{X}=\tau_{i}\right] \psi_{\alpha}^{\prime}\left(\tau_{i}\right) & \text { if } \psi_{\alpha}(u)>\hat{\psi}{n \alpha}\left(\tau{i}\right) \text { for all } u \in\left(\tau_{i}, \tau_{i+1}\right) \ \mathbb{E}\left[\boldsymbol{X} \mid \alpha^{T} \boldsymbol{X}=s\right] \psi_{\alpha}^{\prime}(s) & \text { if } \psi_{\alpha}(s)=\hat{\psi}{n \alpha}(s) \text { for some } s \in\left(\tau{i}, \tau_{i+1}\right) \ \mathbb{E}\left[\boldsymbol{X} \mid \alpha^{T} \boldsymbol{X}=\tau_{i+1}\right] \psi_{\alpha}^{\prime}\left(\tau_{i+1}\right) & \text { if } \psi_{\alpha}(u)<\hat{\psi}{n \alpha}\left(\tau{i}\right) \text { for all } u \in\left(\tau_{i}, \tau_{i+1}\right)\end{cases}
$$ see Appendix E in the supplement of Balabdaoui et al. (2019b). The remaining part of the proof runs along the same lines as the proof for the SSE. For additional details, see Appendix E in the supplement of Balabdaoui et al. (2019b).

The corresponding step in the proof for the spline estimator is given by the following lemma.

商科代写|计量经济学代写Econometrics代考|ECOM20001

计量经济学代考

商科代写|计量经济学代写Econometrics代考|General Conditions and the Functions ψˆ n,αˆ and ψα

我们给出了我们假设在本文的其余部分中持有的一般条件,并给出了函数的图形比较 $\hat{\psi}, \alpha, \alpha$ 和 $\psi \alpha$ ,在哪里 $\psi_{\alpha}$ 在 定义中定义 1 .
例 1 作为一个说明性的例子,我们取 $d=2, \psi_{0}(x)=x^{3}, \alpha_{0}=(1 / \sqrt{2}, 1 / \sqrt{2})^{T}, Y_{i}=\psi_{0}\left(\alpha_{0}^{T} X_{i}\right)+\varepsilon_{i}$ , 其中 $\varepsilon_{i}$ 是独立同分布的标准正态随机变量,独立于 $\boldsymbol{X} i$ ,它们是 iid 随机向量,由两个独立的 Uniform 组成 $(0,1)$ 随机变量。在这种情况下,条件期望函数 (5) 是一个相当复杂的函数 $\alpha$ 我们不会在这里给出,但可以通过诸如 Mathematica 或 Maple 之类的计算机包来计算。损失函数: 和
$\mathrm{~ I q u a d ~ I w i d e h a t { { \ { n }}$ 其中损失函数 $\widehat{L} n^{L S E}$ 适用于样本量 $n=10,000$ 和 $n=100,000$ ,和 $\alpha=\left(\alpha 1, \alpha_{2}\right)^{T}$. 为了 $\alpha_{1} \in[0,1]$ 和 $\alpha_{2}$ 等于正根 $\mathrm{~ l e f t { 1 – l a l p h a _ { 1 } へ { 2 } \ r i g h t }}$ $\widehat{L} n^{\mathrm{LSE}}$ 最小值非常接近 $1 / \sqrt{2}$ (提供简介 LSE $\left.\hat{\alpha} n\right)$ ,这为配置文件 LSE 的一致性提供了视觉证据。
为了显示 $\sqrt{n}$-在下一节中估计量的一致性和渐近正态性,我们现在介绍一些条件,这些条件对应于 Balabdaoui 等 人的条件。(2019b)。我们注意到我们不需要重新参数化的条件。
(A1) $\boldsymbol{X}$ 在其支持上有一个密度 wrt Lebesgue 度量 $\mathcal{X}$ ,这是一个凸集 $\mathcal{X}$ 具有非空的内部,并且满足
$\mathrm{~ I m a t h c a l { X } }}$
(A2) 功能 $\psi_{0}$ 有界在集合上
\eft ${u \backslash$ in $\backslash \mathrm{~ m a t h b b b { R } : ~ u =}$
(A3) 存在 $\delta>0$ 使得条件期望 $\tilde{\psi} \alpha$ ,由 (5) 定义,在
I{\alpha $}=\backslash 1$ eft $\left{u \backslash\right.$ in $\backslash$ mathbb ${R}: u=\backslash a \mid p h a^{\wedge}{T} \backslash$ boldsymbol ${x}, x \backslash \mathrm{~ i n ~}$
Veft $\backslash \backslash$ mathbb ${$ E $} \backslash$ eft ${Y \mathrm{~ – ~ \ p s i V l e f t (}$
过非减函数 $\psi$ ,如果 $\left|\boldsymbol{\alpha}-\boldsymbol{\alpha}_{0}\right| \leq \delta$.

商科代写|计量经济学代写Econometrics代考|The Limit Theory for the SSE

在本节中,我们推导出上面介绍的 SSE 的极限分布。在我们的推导中,函数 $\psi_{\alpha}$ 定义 1 起着至关重要的作用。下 面,我们将使用以下假设,此外 $(\mathrm{A} 1)-(\mathrm{A} 6)$.
(A7) 存在一个 $\delta>0$ 这样对于所有人
$\mathrm{~ \ a l p h a ~ \ i n \ l e f t ( \ m a t h c a l { B }}$
变量
$$
\operatorname{cov}\left((\boldsymbol{\alpha} 0-\boldsymbol{\alpha})^{T} \boldsymbol{X}, \psi 0\left(\boldsymbol{\alpha} 0^{T} \boldsymbol{X}\right) \mid \boldsymbol{\alpha}^{T} \boldsymbol{X}\right)
$$
几乎肯定不等于 0 。 (A8) 矩阵
$$
\mathbb{E}\left[\psi 0^{\prime}\left(\boldsymbol{\alpha} 0^{T} \boldsymbol{X}\right) \operatorname{cov}\left(\boldsymbol{X} \mid \boldsymbol{\alpha} 0^{T} \boldsymbol{X}\right)\right]
$$
有等级 $d-1$.
我们首先将 (3) 与函数进行比较
\alpha \mapsto\left } \backslash \backslash \text { mathbb } { E } \backslash l e f t { Y \mathrm { ~ –
就像在教派中一样。1、功能 $\hat{\psi}_{n, \alpha}$ 只是固定的 (等渗的) 最小二乘估计 $\alpha$.

商科代写|计量经济学代写Econometrics代考|The Limit Theory for ESE and Cubic Spline Estimator

ESE 和样条估计量的一致性和渐近正态性的证明与上一节中 SSE 的这些事实的证明非常相似。唯一的额外因素是链 接函数导数估计的出现。我们只讨论渐近正态性。
除了假设(A1 ) – (A7),我们现在假设以下:
(A8′) $\psi_{\alpha}$ 是两次可微的 $\left.\inf x \in \mathcal{X}\left(\alpha^{T} \boldsymbol{x}\right), \sup x \in \mathcal{X}^{\prime}\left(\boldsymbol{\alpha}^{T} \boldsymbol{x}\right)\right)$.
(A9) 矩阵
$$
\mathbb{E}\left[\psi_{0}^{\prime}\left(\alpha_{0}^{T} \boldsymbol{X}\right)^{2} \operatorname{cov}\left(\boldsymbol{X} \mid \alpha_{0}^{T} \boldsymbol{X}\right)\right]
$$
有等级 $d-1$.
一个重要的步骙是再次证明
\begin } { \text { 对齐 } } \text { \& Int } \backslash \text { boldsymbol } { x } \backslash l e f t { y \mathrm { ~ – ~
对于 ESE,这是通过定义分段常数函数来完成的 $\bar{\rho} n, \alpha$ 为了 $u$ 在连续咷跃之间的间隔 $\tau i$ 和 $\tau_{i+1} )$ 的 $\hat{\psi} n \alpha$ 经过 $\bar{\rho} n, \alpha(u)=\left{\mathbb{E}\left[\boldsymbol{X} \mid \alpha^{T} \boldsymbol{X}=\tau_{i}\right] \psi_{\alpha}^{\prime}\left(\tau_{i}\right) \quad\right.$ if $\psi_{\alpha}(u)>\hat{\psi} n \alpha(\tau i)$ for all $u \in\left(\tau_{i}, \tau_{i+1}\right) \mathbb{E}\left[\boldsymbol{X} \mid \alpha^{T} \boldsymbol{X}=s\right.$ 请参阅 Balabdaoui 等人的补充资料中的附录 $E_{。}$ (2019b) 。证明的其余部分与 SSE 的证明相同。有关详细信 息,请参阅 Balabdaoui 等人的补充资料中的附录 $E_{0}$ (2019b)。
样条估计器证明中的相应步骙由以下引理给出。

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

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有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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