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交换代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数数论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。
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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Commutative rings and ideals
The most fundamental object of this book is a commutative ring having a multiplicative identity element. Throughout the text, one refers to it simply as a ring.
A ring homomorphism (or simply, a homomorphism) is a map $\varphi: R \rightarrow S$ between rings, which besides being compatible with the two operations, is also required to map the multiplicative identity element of $R$ to the one of $S$. If no confusion arises, one usually denotes the multiplicative identity of any ring by 1 , even if there is more than one ring involved in the discussion. A ring homomorphism $R \rightarrow S$ that admits an inverse ring homomorphism $S \rightarrow R$ is called an isomorphism. As is easily seen, any bijective homomorphism is an isomorphism.
The kernel of $\varphi$ is the set $\operatorname{ker} \varphi:={a \in R \mid \varphi(a)=0}$. It is easy to see that $\operatorname{ker} \varphi$ is an ideal of $R$ and induces an injective homomorphism $R / \operatorname{ker} \varphi \hookrightarrow S$. Because of Proposition 1.1.2 below, one often moves over to the subring $R / \operatorname{ker} \varphi$ for the sake of an argument.
Given an arbitrary homomorphism $\varphi: R \rightarrow S$, one can move back and forth between ideals of $S$ and of $R$ : given an ideal $J \subset S$, the inverse image $\varphi^{-1}(J) \subset R$ is an ideal of $R$, while given an ideal $I \subset R$ one obtain the ideal of $S$ generated by the set $\varphi(I)$. The first such move is called a contraction-a terminology that rigorously makes better sense when $R \subset S$; in the second move, the ideal generated by $\varphi(I)$ is called the extended ideal of $I$.
A subgroup of the additive group of a ring $R$ is called a subring provided it is closed under the product operation of $R$ and contains the multiplicative identity of $R$.
An element $a \in R$ is said to be a zero-divisor if there exists $b \in R, b \neq 0$, such that $a b=0$; otherwise, $a$ is called a nonzero divisor. In this book, a nonzero divisor will often be referred to as a regular element. A sort of extreme case of a zero-divisor is a nilpotent element $a$, such that $a^{n}=0$ for some $n \geq 1$.
One assumes a certain familiarity with these notions and their elementary manipulation.
A terminology that will appear very soon is that of an $R$-algebra to designate a ring $S$ with a homomorphism $R \rightarrow S$.
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Sum of ideals
The set theoretic union of two ideals $I, J \subset R$ is not an ideal, unless one of them is contained in the other. So, one takes the ideal generated by $I \cup J$-this is called the ideal sum of the two ideals and is denoted by $I+J$ or $(I, J)$. The second notation was largely favored in parts of the classical literature and is the one to be employed in this book. On the other hand, the first notation and the terminology are largely justified by the fact that a typical element of $I+J$ has the form $a+a^{\prime}$, with $a \in I$ and $a^{\prime} \in J$, thus sharing the goodies of the notion of summing two subgroups of an additively written Abelian group or two subspaces of a vector space. In particular, an arbitrary expression $a+a^{\prime}$ uniquely determines its summands if and only if $I \cap J={0}$. In the case of Abelian groups or vector spaces, this condition implies direct sum $I \oplus J$. However, the burden carried by the ring multiplication and by the ideal theoretic main property cause the null intersection to be a somewhat rare phenomenon since it requires lots of zero-divisors in the ring.
In contrast to the case of ideal intersection, the ideal sum is easily obtained in terms of generators, namely, if $I=(S)$ and $J=\left(S^{\prime}\right)$ then $(I, J)=\left(S \cup S^{\prime}\right)$. Note that, since $S \cap S^{\prime} \subset S \cup S^{\prime}$, there is quite a bit of superfluous generators in the union. The ideal sum notion applies ipsis literis to an arbitrary family of ideals and appears quite often in the argument of a general proof and is a useful construction as such.
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Product of ideals
Given ideals $I, J \subset R$, the set ${a b \mid a \in I, b \in J}$ of products is not an ideal either (unless at least one of them is principal). The ideal generated by this set is called the ideal product and is denoted by IJ. Here, the generators question is rather trivial for if $I=(S)$ and $J=\left(S^{\prime}\right)$ then the ideal product $I J$ is generated by the set $\left{s s^{\prime} \mid s \in S, s^{\prime} \in S^{\prime}\right}$.
Note the relation of the product to the intersection: as $I J$ is contained both in $I R$ and in $J R$, it follows that $I J \subset I \cap J$. Thus, a measure of obstruction as to when $I \cap J={0}$ holds is that $I J={0}$, which says that every element of one ideal is zero-divided by every element of the second ideal, a rather severe condition. At the other end of the spectrum, the equality $I J=I \cap J$ seldom takes place, turning out to be rather a difficult condition of “transversality.”
The ideal product extends easily to a finite family of ideals. A special nevertheless exceedingly important case is that of a constant family $\left{I_{i}\right}_{i=1}^{m}, I_{i}=I(1 \leq i \leq m)$. In this case, the ideal product is called the $m$ th power of the ideal $I$ and is naturally denoted by $I^{m}$. Note that if $I=\left(s_{1}, \ldots, s_{n}\right)$ then $I^{m}$ is generated by the “monomials” of “degree” $m$ in $s_{1}, \ldots, s_{n}$. The question as to how many of these monomial-like generators are actually superfluous turns out to be a rather deep question related to the notion of analytic independence of ideal generators-a tall order in modern commutative algebra.Besides, the chain $R=I^{0} \supset I=I^{1} \supset I^{2} \supset \cdots$ plus the multiplication rule $I^{m} I^{n}=I^{m+n}$ give rise to deep considerations in both commutative algebra and algebraic geometry. The two topics are in fact quite intertwined.
交换代数代考
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Commutative rings and ideals
本书最基本的对象是具有乘法恒等元的交换环。在整本书中，人们将其简称为戒指。
环同态（或简单地说，同态）是一个映射披:R→小号在环之间，除了与两种操作兼容之外，还需要映射乘法单位元素R到其中之一小号. 如果没有出现混淆，一个通常表示任何环乘以 1 的同一性，即使讨论中涉及的环不止一个。环同态R→小号承认逆环同态小号→R称为同构。很容易看出，任何双射同态都是同构。
的内核披是集合克尔披:=一个∈R∣披(一个)=0. 很容易看出克尔披是一个理想的R并引发单射同态R/克尔披小号. 由于下面的命题 1.1.2，人们经常移动到子环R/克尔披为了争论。
给定任意同态披:R→小号，一个人可以在理想之间来回穿梭小号和R: 给定一个理想Ĵ⊂小号, 逆像披−1(Ĵ)⊂R是一个理想的R，同时给定一个理想我⊂R一个人获得理想小号由集合生成披(我). 第一个这样的举动被称为收缩——一个严格来说更有意义的术语，当R⊂小号; 第二步，产生的理想披(我)被称为扩展理想我.
环的加性群的子群R称为子环，前提是它在乘积运算下是闭合的R并包含乘法恒等式R.
一个元素一个∈R如果存在，则称其为零除数b∈R,b≠0, 这样一个b=0; 否则，一个称为非零除数。在本书中，非零除数通常被称为规则元素。零除数的一种极端情况是幂零元素一个, 这样一个n=0对于一些n≥1.
人们假设对这些概念及其基本操作有一定的了解。
一个很快就会出现的术语是R-代数指定一个环小号具有同态性R→小号.
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Sum of ideals
两个理想的集合论并集我,Ĵ⊂R不是一个理想，除非其中一个包含在另一个中。因此，我们采用由我∪Ĵ- 这称为两个理想的理想和，表示为我+Ĵ或者(我,Ĵ). 第二种表示法在部分古典文学中受到广泛欢迎，也是本书中使用的一种。另一方面，第一个符号和术语在很大程度上是由以下事实证明的：一个典型的元素我+Ĵ有形式一个+一个′， 和一个∈我和一个′∈Ĵ，因此分享了对加法写阿贝尔群的两个子群或向量空间的两个子空间求和的概念。特别是，任意表达式一个+一个′当且仅当我∩Ĵ=0. 在阿贝尔群或向量空间的情况下，这个条件意味着直接和我⊕Ĵ. 然而，环乘法和理想的理论主属性所带来的负担导致零相交成为一种罕见的现象，因为它需要在环中存在大量零除数。
与理想交集的情况相比，理想和很容易根据生成元获得，即，如果我=(小号)和Ĵ=(小号′)然后(我,Ĵ)=(小号∪小号′). 请注意，由于小号∩小号′⊂小号∪小号′，工会中有相当多的多余生成器。理想和概念将 ipsis literis 应用于任意理想族，并且经常出现在一般证明的论证中，并且是一种有用的构造。
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Product of ideals
给定的理想我,Ĵ⊂R, 集合一个b∣一个∈我,b∈Ĵ产品的数量也不是理想的（除非其中至少有一个是主体）。该集合产生的理想称为理想积，记为 IJ。在这里，生成器的问题对于 if 来说是相当微不足道的我=(小号)和Ĵ=(小号′)那么理想的产品我Ĵ由集合生成\left{s s^{\prime} \mid s \in S, s^{\prime} \in S^{\prime}\right}\left{s s^{\prime} \mid s \in S, s^{\prime} \in S^{\prime}\right}.
注意产品与交点的关系：as我Ĵ都包含在我R并且在ĴR， 它遵循我Ĵ⊂我∩Ĵ. 因此，关于何时进行的障碍测量我∩Ĵ=0认为是我Ĵ=0，它表示一个理想的每个元素都被第二个理想的每个元素除以零，这是一个相当严重的条件。在光谱的另一端，平等我Ĵ=我∩Ĵ很少发生，结果证明这是一个相当困难的“横向”条件。
理想产品很容易扩展到有限的理想系列。一个特殊但极其重要的案例是一个固定家庭的案例\left{I_{i}\right}_{i=1}^{m}, I_{i}=I(1 \leq i \leq m)\left{I_{i}\right}_{i=1}^{m}, I_{i}=I(1 \leq i \leq m). 在这种情况下，理想的产品称为米理想的力量我并且自然地表示为我米. 请注意，如果我=(s1,…,sn)然后我米由“度”的“单项式”生成米在s1,…,sn. 关于这些单项式生成器中有多少实际上是多余的问题，结果证明是一个与理想生成器的分析独立性概念相关的相当深刻的问题——现代交换代数中的一个高阶。此外，链R=我0⊃我=我1⊃我2⊃⋯加上乘法规则我米我n=我米+n引起对交换代数和代数几何的深入考虑。这两个主题实际上是相互交织的。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。