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交换代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数数论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。
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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Commutative Algebra
Let us discuss some examples demonstrating how rings of the just mentioned types occur in a natural way. We start with a problem from Number Theory.
Proposition. For a prime number $p>2$ the following conditions are equivalent:
(i) Therc cxist intcgers $a, b \subset \mathbb{Z}$ satisfying $p=a^{2}+b^{2}$.
(ii) $p \equiv 1 \bmod 4$.
In order to explain the proof, assume first that (i) is given and consider an integer $a \in \mathbb{Z}$. Then, $\bmod 4$, the square $a^{2}$ is congruent to 0 (if $a$ is even) or to 1 (if $a$ is odd). Therefore an odd number of type $a^{2}+b^{2}$ with integers $a, b \in \mathbb{Z}$ is always congruent to $1 \bmod 4$ so that (ii) follows.
To derive (i) from condition (ii), we use a trick. Namely, we enlarge the ring of integers $\mathbb{Z}$ by passing to the ring of integral Gauß numbers $\mathbb{Z}[i]$. Thus, for a prime number $p>2$ satisfying $p \equiv 1 \bmod 4$, we have to solve the equation $p=x^{2}+y^{2}$ in $\mathbb{Z}$ or, using the factorization $x^{2}+y^{2}=(x+i y)(x-i y)$, the equation
$$
p=(x+i y)(x-i y)
$$
in $\mathbb{Z}[i]$. To do so, we use the following auxiliary results:
Proposition (Gauß). $\mathbb{Z}[i]$ is an Euclidean ring with respect to the degree function
$$
\delta: \mathbb{Z}[i]-{0} \longrightarrow \mathbb{N}, \quad z \longmapsto \delta(z):=\left|z^{2}\right|
$$
In particular, $\mathbb{Z}[i]$ is factorial.
Proposition (Wilson). Every prime number $p$ satisfies $(p-1) ! \equiv-1 \bmod p$.
The result of Gauß can easily be checked by relying on the fact that every complex number $c \in \mathbb{C}$ can be approximated by a complex number $z \in \mathbb{Z}[i]$ satisfying $|c-z| \leq \frac{1}{2} \sqrt{2}$; see [3], Section 2.4, for a more detailed argumentation. To derive the result of Wilson, look at the finite field $\mathbb{F}{p}=\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}$, whose elements are denoted by $0,1, \ldots, p-1$ for simplicity. Every element $\alpha \in \mathbb{F}{p}$ satisfies $\alpha^{p}=\alpha$, as can easily be verified by induction using the simplified binomial formula $(\alpha+1)^{p}=\alpha^{p}+1^{p}=\alpha^{p}+1$. Therefore the elements of $\mathbb{F}{p}$ are precisely the zeros of the polynomial $X^{p}-X \in \mathbb{F}{p}[X]$, and all these zêros are simple. In particular, we have
$$
X^{p-1}-1=(X-1)(X-2) \ldots(X-(p-1))
$$
in $\mathbb{F}_{p}[X]$. Comparing coefficients, this yields
$$
\begin{aligned}
1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot(p-1) &=(-1)^{p-1} \cdot(-1) \cdot(-2) \cdot \ldots \cdot(-(p-1)) \
&=(-1)^{p-1} \cdot(-1)=-1
\end{aligned}
$$
at least for $p$ odd, but clearly also for $p=2$ since then $-1=1$. This establishes the result of Wilson.
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The present chapter is devoted to discussing some basic notions and results on rings and their modules. Except for a few preliminary considerations, all rings will be meant to be commutative and to admit a unit element 1 . Like a field, a ring comes equipped with two laws of composition, namely addition “+” and multiplication “”, which behave in the same way as is known from the case of fields. The only difference is that non-zero elements of a ring $R$ do not need to admit multiplicative inverses in $R$, a default that has far-reaching consequences. A prominent example of such a ring is $\mathbb{Z}$, the ring of integers. But we can easily construct more intricate types of rings. Let $k$ be a field and write $R$ for the cartesian product of $k$ with itself, i.e. $R=k \times k$. Defining addition and multiplication on $R$ componentwise by
$$
\begin{aligned}
\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)+\left(\beta_{1}, \beta_{2}\right) &=\left(\alpha_{1}+\beta_{1}, \alpha_{2}+\beta_{2}\right), \
\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right) \cdot\left(\beta_{1}, \beta_{2}\right) &=\left(\alpha_{1} \cdot \beta_{1}, \alpha_{2} \cdot \beta_{2}\right)
\end{aligned}
$$
we see that $R$ becomes a ring. The equation $(1,0) \cdot(0,1)=(0,0)$ implies that $R$ contains non-trivial zero divisors, whereas $(1,0)^{n}=(1,0)$ for $n>0$ shows that $R$ contains idempotent elements that are different from the unit element $(1,1)$. However, in this case there are no non-trivial nilpotent elements, i.e. elements $\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)$ different from $(0,0)$ such that $\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)^{n}=(0,0)$ for some exponent $n$. On the other hand, non-trivial nilpotent elements will occur if we take
$$
\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right) \cdot\left(\beta_{1}, \beta_{2}\right)=\left(\alpha_{1} \cdot \beta_{1}, \alpha_{1} \cdot \beta_{2}+\alpha_{2} \cdot \beta_{1}\right)
$$
as multiplication on $R$.
For rings $R$ of general type the notion of ideals is fundamental. An ideal in $R$ is just an additive subgroup $\mathfrak{a} \subset R$ that is stable under multiplication by elements of $R$. Historically ideals were motivated by the aim to extend unique factorization results from the ring of integers $\mathbb{Z}$ to more general rings of algebraic numbers. However, as this did not work out well in the conventional setting, Kummer invented his concept of “ideal numbers”, which was then generalized by Dedekind, who introduced the notion of ideals as known today. A further natural step is to pass from ideals to modules over rings, therehy arriving at a simultaneous generalization of ideals in rings and of vector spaces over fields.
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Rings and Ideals
Let us recall the definition of a ring.
Definition 1. A set $R$ together with two laws of composition ” $+”$ (addition) and “. ” (multiplication) is called a ring (with unity) if the following conditions are satisfied:
(i) $R$ is an abelian group with respect to addition; the corresponding zero element is denoted by $0 \in R$.
(ii) The multiplication is associative, i.e.
$$
(a \cdot b) \cdot c=a \cdot(b \cdot c) \quad \text { for } \quad a, b, c \in R
$$
(iii) There exists a unit element in $R$, which means an element $1 \in R$ such that $1 \cdot a=a=a \cdot 1$ for all $a \in R$.
(iv) The multiplication is distributive over the addition, i.e. for $a, b, c \in R$ we have
$$
a \cdot(b+c)=a \cdot b+a \cdot c, \quad(a+b) \cdot c=a \cdot c+b \cdot c .
$$
The ring $R$ is called commutative if the multiplication is commutative.
We list some important examples of rings:
(1) fields,
(2) $\mathbb{Z}$, the ring of integers,
(3) $R[X]$, the polynomial ring in a variable $X$ over a commutative ring $R$,
(4) 0 , the zero ring, which consists of just one element $1=0$; it is the only ring with the latter property.
An element $a$ of a ring $R$ is called invertible or a unit if there exists some element $b \in R$ such that $a b=1=b a$. It follows that the set
$$
R^{*}={a \in R ; a \text { is a unit in } R}
$$
is a group with respect to the multiplication given on $R$.
An element $a$ of a ring $R$ is called a zero divisor if there exists an element $b \in R-{0}$ such that $a b=0$ or $b a=0$. Furthermore, a commutative ring $R \neq 0$ is called an integral domain if it does not contain (non-trivial) zero divisors, i.e. if $a b=0$ with $a, b \in R$ implies $a=0$ or $b=0$. For example, any field is an integral domain, as well as any subring of a field, such as the ring of integers $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$. Also one knows that the polynomial ring $R[X]$ over an integral domain $R$ is an integral domain again. However, by definition, the zero ring 0 is not an integral domain.
For a field $K$, its group of units is $K^{}=K-{0}$. Furthermore, we have $\mathbb{Z}^{}={1,-1}$ and $(R[X])^{}=R^{}$ for an integral domain $R$.
交换代数代考
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让我们讨论一些例子来说明刚才提到的类型的环是如何以自然的方式出现的。我们从数论中的一个问题开始。
主张。对于素数p>2以下条件是等价的：
(i) Therc cxist intcgers一个,b⊂从令人满意的p=一个2+b2.
(二)p≡1反对4.
为了解释证明，首先假设给定（i）并考虑一个整数一个∈从. 然后，反对4, 正方形一个2等于 0（如果一个是偶数）或为 1（如果一个很奇怪）。因此奇数个类型一个2+b2带整数一个,b∈从总是一致的1反对4所以（ii）如下。
为了从条件 (ii) 导出 (i)，我们使用了一个技巧。即，我们扩大整数环从通过传递到积分高斯数环从[一世]. 因此，对于素数p>2令人满意的p≡1反对4，我们必须解方程p=X2+是2在从或者，使用分解X2+是2=(X+一世是)(X−一世是), 方程
p=(X+一世是)(X−一世是)
在从[一世]. 为此，我们使用以下辅助结果：
命题 (Gauß)。从[一世]是关于度函数的欧几里得环
d:从[一世]−0⟶ñ,和⟼d(和):=|和2|
尤其是，从[一世]是阶乘。
命题（威尔逊）。每个素数p满足(p−1)!≡−1反对p.
Gauß 的结果可以很容易地通过依赖于每个复数的事实来检查C∈C可以用一个复数来近似和∈从[一世]令人满意的|C−和|≤122; 有关更详细的论证，请参见 [3]，第 2.4 节。要导出 Wilson 的结果，请查看有限域Fp=从/p从，其元素表示为0,1,…,p−1为简单起见。每一个元素一个∈Fp满足一个p=一个, 可以很容易地通过使用简化的二项式公式进行归纳来验证(一个+1)p=一个p+1p=一个p+1. 因此元素Fp正是多项式的零点Xp−X∈Fp[X]，所有这些零点都很简单。特别是，我们有
Xp−1−1=(X−1)(X−2)…(X−(p−1))
在Fp[X]. 比较系数，这会产生
1⋅2⋅…⋅(p−1)=(−1)p−1⋅(−1)⋅(−2)⋅…⋅(−(p−1)) =(−1)p−1⋅(−1)=−1
至少对于p奇怪，但显然也适用于p=2自那时候起−1=1. 这确立了威尔逊的结果。
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本章致力于讨论环及其模块的一些基本概念和结果。除了一些初步的考虑之外，所有的环都意味着是可交换的并且允许一个单位元素 1 。像场一样，环也配备了两个合成定律，即加法“+”和乘法“”，它们的行为方式与从场的情况中已知的相同。唯一的区别是环的非零元素R不需要承认乘法逆R，具有深远影响的默认值。这种戒指的一个突出例子是从, 整数环。但是我们可以很容易地构造更复杂的环类型。让ķ成为一个领域并写R对于笛卡尔积ķ与自身，即R=ķ×ķ. 定义加法和乘法R逐个地由
(一个1,一个2)+(b1,b2)=(一个1+b1,一个2+b2), (一个1,一个2)⋅(b1,b2)=(一个1⋅b1,一个2⋅b2)
我们看到R变成戒指。方程(1,0)⋅(0,1)=(0,0)暗示R包含非平凡的零除数，而(1,0)n=(1,0)为了n>0表明R包含不同于单位元素的幂等元素(1,1). 然而，在这种情况下，没有非平凡的幂零元素，即元素(一个1,一个2)不同于(0,0)这样(一个1,一个2)n=(0,0)对于某个指数n. 另一方面，如果我们取
(一个1,一个2)⋅(b1,b2)=(一个1⋅b1,一个1⋅b2+一个2⋅b1)
作为乘法R.
对于戒指R在一般类型中，理想的概念是基本的。一个理想在R只是一个加法子群一个⊂R在乘以元素的情况下是稳定的R. 从历史上看，理想的动机是为了从整数环中扩展独特的分解结果从到更一般的代数数环。然而，由于这在传统环境中效果不佳，Kummer 发明了他的“理想数”概念，然后由 Dedekind 推广，他引入了今天已知的理想概念。另一个自然的步骤是从理想传递到环上的模块，从而同时实现环中理想和场上向量空间的泛化。
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让我们回顾一下环的定义。
定义 1. 一个集合R再加上两条组成定律”+”（加法）和“。”（乘法）如果满足以下条件，则称为环（有单位）：
（一世）R是关于加法的阿贝尔群；相应的零元素表示为0∈R.
(ii) 乘法是结合的，即
(一个⋅b)⋅C=一个⋅(b⋅C) 为了 一个,b,C∈R
(iii) 存在一个单位元素R, 这意味着一个元素1∈R这样1⋅一个=一个=一个⋅1对所有人一个∈R.
(iv) 乘法对加法是可分配的，即一个,b,C∈R我们有
一个⋅(b+C)=一个⋅b+一个⋅C,(一个+b)⋅C=一个⋅C+b⋅C.
戒指R如果乘法是可交换的，则称为可交换的。
我们列出了环的一些重要示例：
（1）字段，
（2）从, 整数环,
(3)R[X], 变量中的多项式环X在交换环上R,
(4) 0 ，零环，仅由一个元素组成1=0; 它是唯一具有后一种属性的环。
一个元素一个一个戒指R如果存在某个元素，则称为可逆或单位b∈R这样一个b=1=b一个. 随之而来的是集合
R∗=一个∈R;一个 是一个单位 R
是关于上给出的乘法的群R.
一个元素一个一个戒指R如果存在元素，则称为零除数b∈R−0这样一个b=0或者b一个=0. 此外，交换环R≠0如果它不包含（非平凡的）零除数，则称为整数域，即如果一个b=0和一个,b∈R暗示一个=0或者b=0. 例如，任何域都是整数域，以及域的任何子环，例如整数环从⊂问. 也有人知道多项式环R[X]在积分域上R又是一个积分域。但是，根据定义，零环 0 不是整数域。
对于一个字段ķ, 它的单位群是ķ=ķ−0. 此外，我们有从=1,−1和(R[X])=R对于一个积分域R.
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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