数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MTH 7059

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交换代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数数论中,代数整数的环是Dedekind环,因此它构成了一类重要的换元环。

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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MTH 7059

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Artin-Rees Lemma

We will prove the Artin-Rees Lemma in order to derive Krull’s Intersection Theorem from it. The latter in turn is a basic ingredient needed for characterizing the Krull dimension of Noetherian rings in Section 2.4.

Lemma 1 (Artin-Rees Lemma). Let $R$ be a Noetherian ring, $\mathfrak{a} \subset R$ an ideal, $M$ a finitely generated $R$-module, and $M^{\prime} \subset M$ a submodule. Then there exists an integer $k \in \mathbb{N}$ such that
$$
\left(\mathfrak{a}^{i} M\right) \cap M^{\prime}=\mathfrak{a}^{i-k}\left(\mathfrak{a}^{k} M \cap M^{\prime}\right)
$$
for all exponents $i \geq k$.
Postponing the proof for a while, let us give some explanations concerning this lemma. The descending sequence of ideals $\mathfrak{a}^{1} \supset \mathfrak{a}^{2} \supset \ldots$ defines a topology on $R$, the so-called a-adic topology; see $6.1 / 3$ for the definition of a topology. Indeed, a subset $E \subset R$ is called open if for every element $x \in E$ there exists an exponent $i \in \mathbb{N}$ such that $x+\mathfrak{a}^{i} \subset E$. Thus, the powers $\mathfrak{a}^{i}$ for $i \in \mathbb{N}$ are the basic open neighborhoods of the zero element in $R$. In a similar way, one defines the $\mathfrak{a}$-adic topology on any $R$-module $M$ by taking the submodules $\mathfrak{a}^{i} M$ for $i \in \mathbb{N}$ as basic open neighborhoods of $0 \in M$. Now if $M^{\prime}$ is a submodule of $M$, we may restrict the a-adic topology on $M$ to a topology on $M^{\prime}$ by taking the intersections $\mathfrak{a}^{i} M \cap M^{\prime}$ as basic open neighborhoods of $0 \in M^{\prime}$. Thus, a subset $E \subset M^{\prime}$ is open if and only if for every $x \in E$ there exists an exponent $i \in \mathbb{N}$ such that $x+\left(\mathfrak{a}^{i} M \cap M^{\prime}\right) \subset E$

However, on $M^{\prime}$ the a-adic topology exists as well and we may try to compare both topologies. Clearly, since $\mathfrak{a}^{i} M^{\prime} \subset \mathfrak{a}^{i} M \cap M^{\prime}$, any subset $E \subset M^{\prime}$ that is open with respect to the restriction of the a-adic topology on $M$ to $M^{\prime}$ will be open with respect to the a-adic topology on $M^{\prime}$. Moreover, in the situation of the Artin-Rees Lemma, both topologies coincide, as follows from the inclusions
$$
\left(\mathfrak{a}^{i} M\right) \cap M^{\prime}=\mathfrak{a}^{i-k}\left(\mathfrak{a}^{k} M \cap M^{\prime}\right) \subset \mathfrak{a}^{i-k} M^{\prime}
$$
for $i \geq k$.

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Krull Dimension

In order to define the dimension of a ring $R$, we use strictly ascending chains $\mathfrak{p}{0} \subsetneq \mathfrak{p}{1} \subsetneq \ldots \subsetneq \mathfrak{p}{n}$ of prime ideals in $R$, where the integer $n$ is referred to as the length of the chain. Remark 1. Let $R$ be a ring and $\mathfrak{p} \subset R$ a prime ideal. Then: (i) The chains of prime ideals in $R$ starting with $\mathfrak{p}$ correspond bijectively to the chains of prime ideals in $R / \mathfrak{p}$ starting with the zero ideal. (ii) The chains of prime ideals in $R$ ending with $\mathfrak{p}$ correspond bijectively to the chains of prime ideals in the localization $R{\mathfrak{p}}$ ending with $\mathfrak{p} R_{\mathfrak{p}}$.
Proof. Assertion (i) is trivial, whereas (ii) follows from $1.2 / 5$.
$$
\mathfrak{p}{0} \subsetneq \mathfrak{p}{1} \subsetneq \ldots \subseteq \mathfrak{p}{n}, $$ where the $\mathfrak{p}{i}$ are prime ideals in $R$, is denoted by $\operatorname{dim} R$ and called the Krull dimension or simply the dimension of $R$.

For example, fields are of dimension 0, whereas a principal ideal domain is of dimension 1, provided it is not a field. In particular, we have $\operatorname{dim} \mathbb{Z}=1$, as well as $\operatorname{dim} K[X]=1$ for the polynomial ring over a field $K$. Also we know that $\operatorname{dim} K\left\lfloor X_{1}, \ldots, X_{n}\right\rfloor \geq n$, since the polynomial ring $K\left\lfloor X_{1}, \ldots, X_{n}\right\rfloor$ contains the chain of prime ideals $0 \subsetneq\left(X_{1}\right) \subsetneq\left(X_{1}, X_{2}\right) \subsetneq \ldots \subsetneq\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right)$. In fact, we will show $\operatorname{dim} K\left[X_{1}, \ldots, X_{n}\right]=n$ in Corollary 16 below. Likewise, the polynomial ring $K\left[X_{1}, X_{2}, \ldots\right]$ in an infinite sequence of variables is of infinite dimension, whereas the zero ring 0 is a ring having dimension $-\infty$ since, by convention, the supremum over an empty subset of $\mathbb{N}$ is $-\infty$. Any non-zero ring contains at least one prime ideal and therefore is of dimension $\geq 0$.

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Background and Overview

Recall that an extension of fields $K \subset L$ is called algebraic if each element $x \in L$ satisfies an algebraic equation over $K$, i.e. an equation of type
$$
x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\ldots+a_{n}=0
$$
for suitable coefficients $a_{i} \in K$. Replacing $K \longrightarrow L$ by an arbitrary (not necessarily injective) ring homomorphism $\varphi: R \longrightarrow R^{\prime}$, equations of the just mentioned type are still meaningful; they are referred to as integral equations. Furthermore, $R^{\prime}$ is said to be integral over $R$ (via $\varphi$ ) if every element $x \in R^{\prime}$ satisfies an integral equation over $R$.

The fact that any finite extension of fields is algebraic, is fundamental in field theory. In $3.1 / 5$ we will generalize this result to ring extensions and show that any ring homomorphism $\varphi: R \longrightarrow R^{\prime}$ which is finite in the sense that it equips $R^{\prime}$ with the structure of a finite $R$-module, is integral. We obtain this assertion from a quite general characterization of integral dependence in terms of a module setting; see Lemma 3.1/4. The proof is based on Cramer’s rule and is much more laborious than in the field case.

To give a simple example illustrating a basic application of Lemma 3.1/4, consider the polynomial ring $R[X]$ in one variable $X$ over a non-zero ring $R$ and fix a monic polynomial
$$
f=X^{n}+a_{1} X^{n-1}+\ldots+a_{n} \in R[X]
$$
with coefficients $a_{i} \in R$. For a second variable $Y$ look at the canonical morphism
$$
\varphi: R[Y] \longrightarrow R[X], \quad Y \longmapsto f .
$$
We claim that $\varphi$ is finite and, hence, integral. Of course, the equation
$$
X^{n}+a_{1} X^{n-1}+\ldots+\left(a_{n}-\varphi(Y)\right)=0
$$
shows that $X$ is integral over $R[Y]$. From this we conclude by induction that the $R[Y]$-submodule generated by $X^{0}, \ldots, X^{n-1}$ in $R[X]$ contains all powers of $X$ and, hence, coincides with $R[X]$. In other words, $\varphi$ is finite. Alternatively,we could have derived this fact directly from $3.1 / 4$ (ii). Furthermore, using $3.1 / 4$ (iii) or $3.1 / 5$, it follows that $\varphi$ is integral. The latter is a non-trivial fact which cannot be derived by a direct ad hoc computation.

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MTH 7059

交换代数代考

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Artin-Rees Lemma

我们将证明 Artin-Rees 引理,以便从中推导出 Krull 的交点定理。后者又是在 2.4 节中描述 Noetherian 环的 Krull 维数所需的基本成分。

引理 1(Artin-Rees 引理)。让R成为一个诺特环,一个⊂R一个理想,米一个有限生成的R-模块,和米′⊂米一个子模块。那么存在一个整数ķ∈ñ这样

(一个一世米)∩米′=一个一世−ķ(一个ķ米∩米′)
对于所有指数一世≥ķ.
把证明推迟一段时间,让我们对这个引理做一些解释。理想的降序一个1⊃一个2⊃…定义一个拓扑R,即所谓的 a-adic 拓扑;看6.1/3用于定义拓扑。确实,一个子集和⊂R如果对于每个元素,则称为打开X∈和存在一个指数一世∈ñ这样X+一个一世⊂和. 因此,权力一个一世为了一世∈ñ是零元素的基本开放邻域R. 以类似的方式,定义一个-adic 拓扑在任何R-模块米通过获取子模块一个一世米为了一世∈ñ作为基本的开放社区0∈米. 现在如果米′是一个子模块米,我们可以将 a-adic 拓扑限制在米到一个拓扑米′通过交叉路口一个一世米∩米′作为基本的开放社区0∈米′. 因此,一个子集和⊂米′当且仅当对于每个X∈和存在一个指数一世∈ñ这样X+(一个一世米∩米′)⊂和

然而,在米′a-adic 拓扑也存在,我们可以尝试比较两种拓扑。显然,由于一个一世米′⊂一个一世米∩米′, 任何子集和⊂米′关于 a-adic 拓扑的限制是开放的米至米′将相对于 a-adic 拓扑打开米′. 此外,在 Artin-Rees 引理的情况下,两种拓扑都重合,如下包含

(一个一世米)∩米′=一个一世−ķ(一个ķ米∩米′)⊂一个一世−ķ米′
为了一世≥ķ.

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Krull Dimension

为了定义环的尺寸R,我们使用严格的升序链p0⊊p1⊊…⊊pn中的主要理想R, 其中整数n称为链的长度。备注 1. 让R成为一个戒指和p⊂R一个首要的理想。那么: (i) 中的主要理想链R从…开始p双射对应于素理想链R/p从零理想开始。(ii) 原始理想的链条R以p双射对应于本地化中的主要理想链Rp以pRp.
证明。断言 (i) 是微不足道的,而 (ii) 来自1.2/5.

p0⊊p1⊊…⊆pn,在哪里p一世是最理想的R, 表示为暗淡⁡R并称为克鲁尔维度或简称为R.

例如,字段的维度为 0,而主要理想域的维度为 1,前提是它不是字段。特别是,我们有暗淡⁡从=1, 也暗淡⁡ķ[X]=1对于域上的多项式环ķ. 我们也知道暗淡⁡ķ⌊X1,…,Xn⌋≥n, 因为多项式环ķ⌊X1,…,Xn⌋包含主要理想链0⊊(X1)⊊(X1,X2)⊊…⊊(X1,…,Xn). 事实上,我们将展示暗淡⁡ķ[X1,…,Xn]=n在下面的推论 16 中。同样,多项式环ķ[X1,X2,…]在一个无限的变量序列中是无限维的,而零环 0 是一个有维数的环−∞因为,按照惯例,上界的一个空子集ñ是−∞. 任何非零环至少包含一个素理想,因此有维数≥0.

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Background and Overview

回想一下字段的扩展ķ⊂大号如果每个元素称为代数X∈大号满足一个代数方程ķ,即类型方程

Xn+一个1Xn−1+…+一个n=0
适合的系数一个一世∈ķ. 更换ķ⟶大号通过任意(不一定是单射的)环同态披:R⟶R′, 刚才提到的类型的方程仍然有意义;它们被称为积分方程。此外,R′据说是积分超过R(通过披) 如果每个元素X∈R′满足一个积分方程R.

场的任何有限扩展都是代数的,这一事实是场论的基础。在3.1/5我们将把这个结果推广到环扩展并证明任何环同态披:R⟶R′在它装备的意义上它是有限的R′具有有限的结构R-module,是不可分割的。我们从模块设置方面的整体依赖性的非常普遍的表征中获得了这个断言;见引理 3.1/4。证明是基于 Cramer 规则的,并且比现场情况要费力得多。

举一个简单的例子来说明引理 3.1/4 的基本应用,考虑多项式环R[X]在一个变量中X在非零环上R并修正一元多项式

F=Xn+一个1Xn−1+…+一个n∈R[X]
有系数一个一世∈R. 对于第二个变量是看规范态射

披:R[是]⟶R[X],是⟼F.
我们声称披是有限的,因此是积分的。当然,等式

Xn+一个1Xn−1+…+(一个n−披(是))=0
表明X是积分超过R[是]. 由此我们通过归纳得出结论:R[是]-子模块由生成X0,…,Xn−1在R[X]包含所有权力X并且,因此,与R[X]. 换句话说,披是有限的。或者,我们可以直接从3.1/4(二)。此外,使用3.1/4(iii) 或3.1/5, 它遵循披是积分。后者是一个重要的事实,不能通过直接的临时计算得出。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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