数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MTH2121

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交换代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数数论中,代数整数的环是Dedekind环,因此它构成了一类重要的换元环。

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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MTH2121

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Local rings and symbolic powers

If $P \subset R$ is a prime ideal and $\mathfrak{S}=R \backslash P$, then the ring $\mathfrak{S}^{-1} R$ contains a unique maximal ideal, namely $\varsigma^{-1} P$.

Denote $\mathcal{S}^{-1} R=R_{P}$, calling it the local ring of $R$ at $P$. Similarly, given an ideal $I \subset R$, set $\mathfrak{S}^{-1} I=I_{P}$. In this notation, the unique maximal ideal of $R_{P}$ is $P_{P}$ and, in particular, the prime ideals of $R_{P}$ correspond bijectively to those of $R$ contained in $P$. The passage from $R$ to $R_{P}$ via the natural homomorphism $t: R \longrightarrow R_{P}$ is called localization at $P$. (The newcomer is recommended not to use this terminology for other rings of fractions.)
The field $R_{P} / P_{P}$ is called the residue field of $P$ and hids a IIdjur role in the theury. Taking $\mathfrak{T}=R / P-{\overline{0}}$, this field is isomorphic to $\widetilde{T}^{-1}(R / P)$, the field of fractions of $R / P$.
Motivated by this, one introduces the following terminology.
Definition 2.1.6. A ring is local if it has a unique maximal ideal.
Quite often such a ring is called quasi-local, while local is used in the case where $R$ is moreover Noetherian (next chapter). Here, no such distinction in terminology will be made. A more relaxed condition requires that the ring have only finitely many maximal ideals, in which case it is called semilocal. Often a property of a local ring can be extended to a semilocal ring.

One great advantage of working with a Noetherian local ring $R$ is that the notion of minimal number of generators of an ideal $I \subset R$ is well-defined in the sense that any set of generators with no superfluous elements has the same cardinality. Such a property is better understood in terms of passage to the associated $(R / \mathrm{m})$-vector space $I / \mathrm{m} I$, where $\mathfrak{m} \subset R$ denotes the unique maximal ideal of $R$. The main result in this regard is Lemma 2.5.24, which delivers the basic techniques to handle these rings.
One important application of localization at a prime ideal is given by the notion of symbolic powers (see Theorem $2.4 .9$ for its geometric impact). The definition is surprisingly simple.

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Integral ring extensions

Let $R \subset S$ be a ring extension.
An element $b \in S$ is said to be integral over $R$ if it is a root of a MONIC polynomial $f(X) \in R[X]$. Equivalently, $b$ is integral over $R$ if the kernel of the $R$-algebra map $R[X] \rightarrow S$, such that $X \mapsto b$, contains a monic polynomial. If this is the case, the resulting relation obtained by substituting for $b$ is called an equation of integral dependence.
The following criterion of integrality opens the gates to the theory. One should note its similarity to a well-known test for algebraic elements in a field extension. To state it, one recurs to the notion of a module and of a set of generators (see Chapter 3 ). Although it may look abstruse to introduce this notion at this early point, think about the elegance and quickness it affords in the argument below.

Proposition 2.2.1. Let $R \subset S$ be a ring extension and let $b \in S$. The following conditions are equivalent:
(i) $b$ is integral over $R$.
(ii) The subring $R[b] \subset S$ is a finitely generated R-module.
(iii) $R[b]$ is contained in a subring $T \subset S$ which is a finitely generated R-module.
Proof. (i) $\Rightarrow$ (ii) Say, $b^{n}+a_{1} b^{n-1}+\cdots+a_{0}=0$, where $a_{i} \in R$. Clearly, then $b^{n} \in$ $\sum_{i=0}^{n-1} R b^{i}$, the latter meaning the $R$-linear combinations of the powers $1, b, \ldots, b^{n-1}$, i.e., the $R$-submodule generated by them. By recurrence, multiplying both members of the above equation of integral dependence by $b$ yields $b^{m} \in \sum_{i=0}^{n-1} R b^{i}$ for every $m \geq 0$. This gives $R[b]=\sum_{i=0}^{n-1} R b^{i}$, as stated.
(ii) $\Rightarrow$ (iii) Obvious.

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Cohen–Seidenberg theorems

Next is a fundamental property of integral extensions $R \subset S$ with respect to multiplicatively closed subsets $\mathfrak{\Im} \subset R$. This single theorem unifies all other related results, often proved separately ( $c f$. [36] for the main source).

Theorem 2.2.6 (Unified Cohen-Seidenberg theorem). Let $R \subset S$ be an integral extension, let $\mathfrak{\Im} \subset R$ be a multiplicatively closed subset and let $Q \subset S$ be a prime ideal not intersecting $\mathfrak{S}$. Then $Q \cap R$ does not intersect $\mathfrak{S}$ and the following conditions are equivalent:
(i) $Q$ is maximal among the ideals of $S$ not intersecting $\mathfrak{S}$.
(ii) $Q \cap R$ is maximal among the ideals of $R$ not intersecting $\mathfrak{S}$.
Proof. Clearly, $Q \cap R$ does not intersect $\mathfrak{S}$ since $(Q \cap R) \cap \mathfrak{S}=Q \cap \mathfrak{S}$.
(i) $\Rightarrow$ (ii) Assuming the contrary, let $Q \cap R \varsubsetneqq I$, where $I \subset R$ is an ideal not intersecting $\mathfrak{S}$. Say, $a \in I \backslash(Q \cap R)$. Clearly, $a \notin Q$, so $Q \subset(Q, a)$ is a proper inclusion, hence $(Q, a) \cap \mathfrak{S} \neq \emptyset$ by assumption. Thus, let $\mathfrak{s} \in(Q, a) \cap \mathfrak{S}$, say, $\mathfrak{s}=q+a b$, with $q \in Q$ and $b \in S$. Since $R \subset S$ is integral, there is an equation of integral dependence for $b$ over $R$
$$
b^{n}+a_{1} b^{n-1}+\cdots+a_{n-1} b+a_{n}=0, \quad a_{i} \in R
$$ Multiplying out by $a^{n}$, yields an equation of integral dependence for $a b$ over $R$. Taking in account the form of $s$, one can see that the element $c=: \mathfrak{s}^{n}+\left(a_{1} a\right) \mathfrak{s}^{n-1}+\cdots+a_{n} a^{n}$ belongs to $Q$ and, clearly, to $R$, hence $c \in Q \cap R \subset I$. On the other hand, $c$ is of the form $\mathfrak{s}^{n}+a^{\prime} a$, for a suitable $a^{\prime} \in R$. Since $a \in I$ to start with, then $\mathfrak{s}^{n} \in I$. Since $\mathfrak{S}$ is multiplicatively closed, then $\mathfrak{s}^{n} \in S$. Therefore, $\mathfrak{s}^{n} \in I \cap \mathfrak{S}$, thus contradicting the assumption $I \cap \mathfrak{S}=\emptyset$.

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交换代数代考

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Local rings and symbolic powers

如果磷⊂R是一个素理想并且小号=R∖磷,然后环小号−1R包含一个唯一的极大理想,即ε−1磷.

表示小号−1R=R磷,称其为本地环R在磷. 同样,给定一个理想我⊂R, 放小号−1我=我磷. 在这个符号中,唯一的极大理想R磷是磷磷尤其是主要理想R磷双射地对应于那些R包含在磷. 通道从R至R磷通过自然同态吨:R⟶R磷被称为本地化磷. (建议新手不要将此术语用于其他分数环。
)R磷/磷磷称为残差场磷并在理论中隐藏了 IIdjur 的角色。服用吨=R/磷−0¯, 这个域同构于吨~−1(R/磷), 分数域R/磷.
受此启发,引入以下术语。
定义 2.1.6。如果环具有唯一的极大理想,则环是局部的。
这种环经常被称为准局部环,而局部环则用于R而且是诺特式的(下一章)。在这里,不会在术语上做出这种区分。更宽松的条件要求环只有有限多个最大理想,在这种情况下,它被称为半局部。通常,局部环的属性可以扩展到半局部环。

使用 Noetherian 本地环的一大优势R是理想的生成器数量最少的概念我⊂R在任何没有多余元素的生成器集合具有相同的基数的意义上,是明确定义的。这样的属性可以更好地理解为通过相关联的(R/米)-向量空间我/米我, 在哪里米⊂R表示唯一的最大理想R. 这方面的主要成果是引理 2.5.24,它提供了处理这些环的基本技术。
符号幂的概念给出了在素理想处局部化的一个重要应用(参见定理2.4.9因为它的几何影响)。这个定义出奇的简单。

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Integral ring extensions

让R⊂小号做一个环分机。
一个元素b∈小号据说是积分超过R如果它是 MONIC 多项式的根F(X)∈R[X]. 等效地,b是积分超过R如果内核R-代数映射R[X]→小号, 这样X↦b, 包含一个单项多项式。如果是这种情况,则通过代入得到的结果关系b称为积分依赖方程。
以下完整性标准打开了该理论的大门。人们应该注意到它与一个众所周知的域扩展中的代数元素测试相似。为了说明这一点,人们会回到模块和一组生成器的概念(参见第 3 章)。虽然在早期引入这个概念可能看起来很深奥,但想想它在下面的论证中提供的优雅和快速。

命题 2.2.1。让R⊂小号做一个环分机,让b∈小号. 以下条件是等效的:
(i)b是积分超过R.
(ii) 子环R[b]⊂小号是一个有限生成的 R 模。
㈢R[b]包含在子环中吨⊂小号这是一个有限生成的 R 模。
证明。(一世)⇒(ii) 说,bn+一个1bn−1+⋯+一个0=0, 在哪里一个一世∈R. 很明显,那么bn∈ ∑一世=0n−1Rb一世, 后者的意思是R- 权力的线性组合1,b,…,bn−1,即R-由他们生成的子模块。通过递归,将上述积分依赖方程的两个成员乘以b产量b米∈∑一世=0n−1Rb一世对于每个米≥0. 这给R[b]=∑一世=0n−1Rb一世, 就像声明的那样。
(二)⇒(iii) 显而易见。

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Cohen–Seidenberg theorems

接下来是积分扩展的基本属性R⊂小号关于乘法闭子集ℑ⊂R. 这个单一定理统一了所有其他相关结果,通常单独证明(CF. [36] 为主要来源)。

定理 2.2.6(统一的 Cohen-Seidenberg 定理)。让R⊂小号是一个完整的扩展,让ℑ⊂R是一个乘法闭子集并且让问⊂小号是一个不相交的素理想小号. 然后问∩R不相交小号并且下列条件是等价的:
(i)问在理想中是最大的小号不相交小号.
(二)问∩R在理想中是最大的R不相交小号.
证明。清楚地,问∩R不相交小号自从(问∩R)∩小号=问∩小号.
(一世)⇒(ii) 假设相反,让问∩R⫋我, 在哪里我⊂R是不相交的理想小号. 说,一个∈我∖(问∩R). 清楚地,一个∉问, 所以问⊂(问,一个)是一个适当的包含,因此(问,一个)∩小号≠∅通过假设。因此,让s∈(问,一个)∩小号, 说,s=q+一个b, 和q∈问和b∈小号. 自从R⊂小号是积分,有一个积分依赖方程b超过R

bn+一个1bn−1+⋯+一个n−1b+一个n=0,一个一世∈R乘以一个n, 产生一个积分依赖方程一个b超过R. 考虑到形式s, 可以看出元素C=:sn+(一个1一个)sn−1+⋯+一个n一个n属于问并且,显然,R, 因此C∈问∩R⊂我. 另一方面,C是形式sn+一个′一个, 为一个合适的一个′∈R. 自从一个∈我开始,然后sn∈我. 自从小号是乘法闭的,那么sn∈小号. 所以,sn∈我∩小号,因此与假设相矛盾我∩小号=∅.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

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