数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MTH2121

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交换代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数数论中,代数整数的环是Dedekind环,因此它构成了一类重要的换元环。

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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MTH2121

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Faithfully Flat Descent of Modules and of their Mor-phisms

Let $R$ and $R^{\prime}$ be two rings and $p^{}: R \longrightarrow R^{\prime}$ a ring homomorphism. The somewhat exotic notation $p^{}$ for a ring homomorphism has been chosen with care; it is motivated by the algebraic-geometric background of affine schemes. As we have already pointed out in Section $4.5$, the category of affine schemes can be interpreted as the dual of the category of rings and vice versa. This way, $p^{}$ corresponds to a well-defined morphism $p: \operatorname{Spec} R^{\prime} \longrightarrow \operatorname{Spec} R$ between associated affine schemes, where as a map of sets on the underlying prime spectra $p$ is given by $\operatorname{Spec} R^{\prime} \ni \mathfrak{p}^{\prime} \longmapsto\left(p^{}\right)^{-1}\left(\mathfrak{p}^{\prime}\right) \in \operatorname{Spec} R$
In fact, our notation suggests to take the morphism $p$ as point of departure and to interpret $p^{}$ as the associated dual. As we will see in Chapter $5.4$, the ring homomorphism $p^{}$ admits a natural interpretation as a so-called pull back of functions on $\operatorname{Spec} R$ to functions on $\operatorname{Spec} R^{\prime}$, just by composition with $p$. In the same spirit we define for $R$-modules $M$, hence objects living on the level of Spec $R$, their pull-backs under $p$ by
$$
p^{} M=M \otimes_{R} R^{\prime} $$ and, likewise, for morphisms of $R$-modules $\varphi: M \longrightarrow N$ their pull-back under $p$ by $$ p^{} \varphi=\varphi \otimes \mathrm{id}{R^{\prime}}: M \otimes{R} R^{\prime} \longrightarrow N \otimes_{R} R^{\prime} .
$$
The notations $p^{} M$ and $p^{} \varphi$ have the advantage that they spell out in an explicit way, how to view $R^{\prime}$ as an $R$-module in the occurring tensor products. For questions of descent, this is of essential importance, as we will see below. Also note that if $p^{}: R \longrightarrow R^{\prime}$ is decomposable into the product $r^{} \circ s^{}$ of two ring homomorphisms $r^{}$ and $s^{}$, there is a canonical isomorphism $p^{} M \simeq r^{}\left(s^{} M\right)$ for $R$-modules $M$ by $4.3 / 2$. In the following such isomorphisms will occur as identifications, just writing $p^{} M=r^{}\left(s^{*} M\right)$. In the same way we will proceed with pull-backs of morphisms.

Now let us start descent theory by discussing the descent of module morphisms.

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Homological Methods: Ext and Tor

Consider a short exact sequence
() $0 \longrightarrow M^{\prime} \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} M \stackrel{\psi}{\longrightarrow} M^{\prime \prime} \longrightarrow 0$ of modules over some ring $R$ and fix an additional $R$-module $E$. Then it follows from the right exactness of tensor products $4.2 / 1$ that the corresponding sequence $$ 0 \longrightarrow M^{\prime} \otimes_{R} E \stackrel{\varphi \otimes \operatorname{id} E}{\longrightarrow} M \otimes_{R} E \stackrel{\psi \otimes \operatorname{id} E}{\longrightarrow} M^{\prime \prime} \otimes_{R} E \longrightarrow 0 $$ obtained by tensoring with $E$ over $R$ is right exact, but maybe not exact in terms of a short exact sequence. Indeed, unless $E$ is flat over $R$ (see $4.2 / 3$ ), the map $\varphi \otimes \mathrm{id}{E}$ might have a non-trivial kernel. For example, let us look at an exact sequence of type $$ \text { (*) } 0 \longrightarrow R \stackrel{-a}{\longrightarrow} R \longrightarrow R /(a) \longrightarrow 0
$$
where ” $\cdot a$ ” indicates multiplication by some element $a \in R$ that is not a zero divisor in $R$. Tensoring with $E$ over $R$ and identifying $R \otimes{R} E$ with $E$ produces the right exact sequence
$$
0 \longrightarrow E \stackrel{-a}{\longrightarrow} E \longrightarrow E / a E \longrightarrow 0,
$$
where similarly as before the map ” $a “$ is multiplication by $a$ on $E$. In particular, we get
$$
\operatorname{ker}(E \stackrel{\cdot a}{\longrightarrow} E)={x \in E ; a x=0},
$$
the latter being called the submodule of a-torsion in $E$. Clearly, this torsion module can be non-trivial, as the example $E=R /(a)$ shows.

Returning to the general case of a short exact sequence $(*)$ as above, one might ask if there is a natural way to characterize the kernel of the morphism
$$
\varphi \otimes \mathrm{id}{E}: M^{\prime} \otimes{R} E \longrightarrow M \otimes_{R} E .
$$
Of course, keeping $E$ fixed for a moment, $\operatorname{ker}\left(\varphi \otimes \mathrm{id}_{E}\right)$ will be determined by $\varphi$ and thereby depends on both, $M^{\prime}$ and $M$. This dependence is most naturally clarified by the so-called long exact Tor sequence 5.2/2. Indeed, the striking fact we will discuss in $5.1 / 10$ and $5.2 / 1$ is that there exist so-called left derived functors $\operatorname{Tor}{i}^{R}(\cdot, E)$ of the tensor product $\cdot \otimes{R} E$. These are functors on the category of $R$-modules such that any short exact sequence (*) will canonically lead to an infinite exact sequence of $R$-modules

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Complexes, Homology, and Cohomology

Let $R$ be a ring. In the following we will consider $R$-modules and homomorphisms between these, indicating the latter by arrows, as usual. We have already mentioned in Section $1.5$ that a complex, or as we like to say, chain complex of $R$-modules is a sequence of $R$-module homomorphisms
$$
\ldots \longrightarrow M_{n+1} \stackrel{d_{n+1}}{\longrightarrow} M_{n} \stackrel{d_{n}}{\longrightarrow} M_{n-1} \longrightarrow \ldots
$$
satisfying $d_{n} \circ d_{n+1}=0$ when $n$ varies over $\mathbb{Z}$. One calls
$$
Z_{n}=\operatorname{ker}\left(M_{n} \stackrel{d_{n}}{\longrightarrow} M_{n-1}\right) \subset M_{n}
$$
the submodule of $n$-cycles,

$$
B_{n}=\operatorname{im}\left(M_{n+1} \stackrel{d_{n+1}}{\longrightarrow} M_{n}\right) \subset M_{n}
$$
the submodule of n-boundaries, and
$$
H_{n}=Z_{n} / B_{n}
$$
the $n$th homology or the $n$th homology module of the complex. We will use the notation $M_{}$ for such a chain complex and write more specifically $H_{n}\left(M_{}\right)$ for its homology. In many cases, complexes will satisfy $M_{n}=0$ for all $n<0$.

Viewing $M_{}$ as a direct sum $\bigoplus_{n \in \mathbb{Z}} M_{n}$, we can combine the homomorphisms $d_{n}: M_{n} \longrightarrow M_{n-1}$, also known as boundary maps, to yield an $R$-module homomorphism $d: M_{} \longrightarrow M_{*}$. The latter is said to be of degree $-1$ since its application lowers thee index of eaach dirēct summand by 1. In most cãsess, we will just write $d$ instead of $d_{n}$.

Passing to the dual notion of a chain complex, we arrive at the notion of a cochain complex $M^{}$. It is of type $$ \ldots \longrightarrow M^{n-1} \stackrel{d^{n-1}}{\longrightarrow} M^{n} \stackrel{d^{n}}{\longrightarrow} M^{n+1} \longrightarrow \ldots, $$ where its $n$-cocycles are given by $$ Z^{n}=\operatorname{ker}\left(M^{n} \stackrel{d^{n}}{\longrightarrow} M^{n+1}\right) \subset M^{n} $$ its $n$-coboundaries by $$ B^{n}=\operatorname{im}\left(M^{n-1} \stackrel{d^{n-1}}{\longrightarrow} M^{n}\right) \subset M^{n} $$ and its $n$th cohomology module by $$ H^{n}\left(M^{}\right)=Z^{n} / B^{n}
$$

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交换代数代考

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Faithfully Flat Descent of Modules and of their Mor-phisms

让R和R′是两个环和p:R⟶R′环同态。有点异国情调的符号p因为环同态被小心选择了;它是由仿射方案的代数几何背景推动的。正如我们在章节中已经指出的那样4.5,仿射方案的范畴可以解释为环范畴的对偶,反之亦然。这边走,p对应于定义明确的态射p:规格⁡R′⟶规格⁡R在相关的仿射方案之间,其中作为基础素数光谱上的集合图p是(谁)给的规格⁡R′∋p′⟼(p)−1(p′)∈规格⁡R
事实上,我们的符号建议采用态射p作为出发点和解释p作为关联的对偶。正如我们将在章节中看到的5.4, 环同态p承认一种自然解释为所谓的功能回撤规格⁡R发挥作用规格⁡R′, 只需与p. 本着同样的精神,我们定义为R-模块米,因此对象生活在 Spec 级别R, 他们的回调低于p经过

p米=米⊗RR′同样,对于态射R-模块披:米⟶ñ他们的回调p经过

p披=披⊗一世dR′:米⊗RR′⟶ñ⊗RR′.
符号p米和p披优点是它们以明确的方式拼写,如何查看R′作为一个R- 出现的张量积中的模块。对于血统的问题,这是至关重要的,我们将在下面看到。另请注意,如果p:R⟶R′可分解成产品r∘s两个环同态r和s, 有一个典型的同构p米≃r(s米)为了R-模块米经过4.3/2. 在下文中,此类同构将作为标识出现,只需编写p米=r(s∗米). 以同样的方式,我们将继续进行态射的回调。

现在让我们通过讨论模态射的下降来开始下降理论。

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Homological Methods: Ext and Tor

考虑一个短的精确序列
()0⟶米′⟶披米⟶ψ米′′⟶0一些环上的模块R并修复一个额外的R-模块和. 然后从张量积的正确精确性得出4.2/1对应的序列

0⟶米′⊗R和⟶披⊗ID⁡和米⊗R和⟶ψ⊗ID⁡和米′′⊗R和⟶0通过张量获得和超过R是正确的,但就短的精确序列而言可能不精确。确实,除非和是平的R(看4.2/3), 地图披⊗一世d和可能有一个不平凡的内核。例如,让我们看一下类型的精确序列

 (*) 0⟶R⟶−一个R⟶R/(一个)⟶0
在哪里 ”⋅一个” 表示乘以某个元素一个∈R这不是零除数R. 张紧与和超过R并识别R⊗R和和和产生正确的精确序列

0⟶和⟶−一个和⟶和/一个和⟶0,
和之前的地图一样”一个“是乘以一个上和. 特别是,我们得到

克尔⁡(和⟶⋅一个和)=X∈和;一个X=0,
后者被称为 a-torsion 的子模块和. 显然,这个扭转模块可以是不平凡的,例如和=R/(一个)显示。

回到短精确序列的一般情况(∗)如上所述,有人可能会问是否有一种自然的方式来表征态射的核

披⊗一世d和:米′⊗R和⟶米⊗R和.
当然,保持和固定片刻,克尔⁡(披⊗一世d和)将由披因此取决于两者,米′和米. 所谓的长精确 Tor 序列 5.2/2 最自然地阐明了这种依赖关系。事实上,我们将在5.1/10和5.2/1是否存在所谓的左派生函子托尔⁡一世R(⋅,和)张量积的⋅⊗R和. 这些是类的函子R-模块使得任何短的精确序列 (*) 将规范地导致无限的精确序列R-模块

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Complexes, Homology, and Cohomology

让R轴承。下面我们将考虑R- 模和它们之间的同态,像往常一样用箭头表示后者。我们已经在章节中提到1.5一个复合体,或者我们喜欢说的,链式复合体R-modules 是一个序列R-模同态

…⟶米n+1⟶dn+1米n⟶dn米n−1⟶…
令人满意的dn∘dn+1=0什么时候n变化超过从. 一呼

从n=克尔⁡(米n⟶dn米n−1)⊂米n
的子模块n-周期,

乙n=在里面⁡(米n+1⟶dn+1米n)⊂米n
n-边界的子模块,和

Hn=从n/乙n
这n同源性或n复数的同调模。我们将使用符号米对于这样一个复杂的连锁店,写得更具体Hn(米)因为它的同源性。在许多情况下,配合物将满足米n=0对所有人n<0.

查看米作为直接总和⨁n∈从米n,我们可以结合同态dn:米n⟶米n−1,也称为边界图,以产生R-模同态d:米⟶米∗. 后者据说是度数−1因为它的应用将每个直接求和的索引降低了 1。在大多数情况下,我们将只写d代替dn.

传递到链复合体的双重概念,我们得到了协同链复合体的概念米. 它是类型

…⟶米n−1⟶dn−1米n⟶dn米n+1⟶…,它在哪里n-cocycles 由下式给出

从n=克尔⁡(米n⟶dn米n+1)⊂米n它的n-coboundaries by

乙n=在里面⁡(米n−1⟶dn−1米n)⊂米n及其nth上同调模块

Hn(米)=从n/乙n

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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