数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MTH2141

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交换代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数数论中,代数整数的环是Dedekind环,因此它构成了一类重要的换元环。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MTH2141

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Tor Modules

In the following we want to apply the constructions of Section $5.1$ in order to study the functor
$$
\cdot \otimes_{R} E: R-\operatorname{Mod} \longrightarrow R-\operatorname{Mod}, \quad M \longmapsto M \otimes_{R} E
$$
for a fixed $R$-module $E$. Note that this is a covariant additive functor which is right exact due to $4.2 / 1$.

Definition 1. The nth left derived functor of $\otimes_{R} E$ is denoted by $\operatorname{Tor}{n}^{R}(\cdot, E)$. Thus, if $M{} \longrightarrow M$ is a projective homological resolution of an $R$-module $M$, we have $$ \operatorname{Tor}{n}^{R}(M, E)=H{n}\left(M_{} \otimes_{R} E\right), \quad n \in \mathbb{N},
$$
and the latter is called the $n$th Tor module, associated to $M$ and E. In particular, $\operatorname{Tor}{0}^{R}(M, E)=M \otimes{R} E$ by $5.1 / 11 .$
Rewriting $5.1 / 12$ in our special setting, we arrive at the following fact:
Proposition 2 (First long exact Tor sequence). Let $E$ be an $R$-module. Then every short exact sequence of $R$-modules
$$
0 \longrightarrow M^{\prime} \longrightarrow M \longrightarrow M^{\prime \prime} \longrightarrow 0
$$
induces a long exact sequence
$$
\begin{gathered}
\cdots, \operatorname{Tor}{2}^{R}\left(M^{\prime \prime}, E\right) \ \longrightarrow \operatorname{Tor}{1}^{R}\left(M^{\prime}, E\right) \longrightarrow \operatorname{Tor}{1}^{R}(M, E) \longrightarrow \operatorname{Tor}{1}^{R}\left(M^{\prime \prime}, E\right) \
\longrightarrow M^{\prime} \otimes_{R} E \longrightarrow \otimes_{R} E \longrightarrow M^{\prime \prime} \otimes_{R} E \quad \longrightarrow 0 .
\end{gathered}
$$

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Injective Resolutions

Let $M$ and $N$ be $R$-modules. Then we can look at the covariant additive functor
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Hom}{R}(M, \cdot): R-\operatorname{Mod} & \longrightarrow R-\operatorname{Mod}, \ E & \longmapsto \operatorname{Iom}{R}(M, E), \
\left(f: E \longrightarrow E^{\prime \prime}\right) & \longmapsto\left(\varphi \longmapsto f \circ \varphi, \varphi \in \operatorname{Hom}{R}(M, E)\right), \end{aligned} $$ which is easily seen to be left exact in the sense that it transforms exact sequences of type $$ 0 \longrightarrow E^{\prime} \longrightarrow E \longrightarrow E^{\prime \prime} $$ into exact sequences $$ 0 \longrightarrow \operatorname{Hom}{R}\left(M, E^{\prime}\right) \longrightarrow \operatorname{Hom}{R}(M, E) \longrightarrow \operatorname{Hom}{R}\left(M, E^{\prime \prime}\right) .
$$
On the other hand, Hom can be viewed as a functor in the first variable as well,
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Hom}{R}(\cdot, N): R-\operatorname{Mod} & \longrightarrow R-\operatorname{Mod}, \ E & \longmapsto \operatorname{Hom}{R}(E, N), \
\left(f: E^{\prime} \longrightarrow E\right) \longmapsto &\left(\varphi \longmapsto \varphi \circ f, \varphi \in \operatorname{Hom}{R}(E, N)\right), \end{aligned} $$ and we see that $\operatorname{Hom}{R}(\cdot, N)$ is an additive, in this case contravariant functor, which is left exact in the sense that it transforms exact sequences of type
$$
E^{\prime} \longrightarrow E \longrightarrow E^{\prime \prime} \longrightarrow 0
$$
into exact sequences
$$
0 \longrightarrow \operatorname{Hom}{R}\left(E^{\prime \prime}, N\right) \longrightarrow \operatorname{Hom}{R}(E, N) \longrightarrow \operatorname{Hom}_{R}\left(E^{\prime}, N\right)
$$
just use the Fundamental Theorem on Homomorphisms 1.4/6.
We already know from Section $5.1$ that an $R$-module $P$ is called projective if for each surjective morphism of $R$-modules $E \longrightarrow E^{\prime \prime}$ the associated map

$\operatorname{Hom}{R}(P, E) \longrightarrow \operatorname{Hom}{R}\left(P, E^{\prime \prime}\right)$ is surjective, a property which is characterized by the following diagram:
Passing to the “dual” diagram
we obtain the notion of an injective $R$-module.

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Ext Modules

In the following we want to introduce Ext functors as right derived functors of the Hom functor. To do this, let $M, N$ be two $R$-modules. Choosing a projective homological resolution $M_{} \longrightarrow M$ of $M$, we can apply the functor $\operatorname{Hom}{R}(\cdot, N)$ to it. Since the functor is contravariant and additive, it transforms $M{}$ into a cochain complex
$\operatorname{Hom}{R}\left(M{}, N\right): 0 \quad-\operatorname{Hom}{R}\left(M{0}, N\right) \quad-\operatorname{Hom}{R}\left(M{1}, N\right) \quad-\ldots$
and we can define
$$
\operatorname{Ext}{R}^{n}(M, N)=H^{n}\left(\operatorname{Hom}{R}\left(M_{}, N\right)\right), \quad n \in \mathbb{N},
$$
as the $n$th Ext module associated to $M$ and $N$. Of course, we have to check that $\operatorname{Ext}{R}^{n}(M, N)$ is well-defined. Proceeding as in the proof of $5.1 / 10$, consider a second projective homological resolution $M{}^{\prime} \longrightarrow M$ of $M$. Then we conclude from $5.1 / 9$ that the chain complexes $M_{}$ and $M_{}^{\prime}$ are homotopy equivalent. As an additive functor, $\operatorname{Hom}{R}(\cdot, N)$ transfers this equivalence into a homotopy equivalence between $\operatorname{Hom}{R}\left(M_{}, N\right)$ and $\operatorname{Hom}{R}\left(M{*}^{\prime}, N\right)$. Indeed, as the latter complexes are cochain complexes, we adapt the definition of a homotopy, known from $5.1 / 3$ for chain complexes, to our situation as follows:

Definition 1. Let $f, g: C^{} \longrightarrow D^{}$ be homomorphisms of cochain complexes. $A$ homotopy between $f$ and $g$ is a module homomorphism $C^{} \longrightarrow D^{}$ of degree $-1$, in other words, a system of $R$-module homomorphisms $h^{n}: C^{n} \longrightarrow D^{n-1}$, such that the maps of the diagram
satisfy the relation $f-g=h \circ d+d \circ h$. Just as in the setting of chain complexes, $f$ and $g$ will be called homotopic in this case.

Notice that the above diagram coincides with the one given in $5.1 / 3$, except for the fact that in chain complexes passing through arrows of boundary maps

decreases module indices, whereas the contrary is the case in cochain complexes. In any case, we thereby see that the Ext modules are well-defined. In particular, we have
$$
\operatorname{Ext}{R}^{0}(M, N)=\operatorname{Hom}{R}(M, N)
$$
since $\operatorname{Hom}{R}(\cdot, N)$ is left exact. Alternatively, we can take an injective cohomological resolution $N \longrightarrow N^{}$ of $N$ and consider the cohomology modules $$ \operatorname{Ext}{R}^{\prime n}(M, N)=H^{n}\left(\operatorname{Hom}_{R}\left(M, N^{}\right)\right), \quad n \in \mathbb{N} .
$$

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MTH2141

交换代数代考

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Tor Modules

下面我们要应用 Section 的结构5.1为了研究函子

⋅⊗R和:R−反对⟶R−反对,米⟼米⊗R和
对于一个固定的R-模块和. 请注意,这是一个协变加法函子,由于4.2/1.

定义 1. 的第 n 个左派生函子⊗R和表示为托尔⁡nR(⋅,和). 因此,如果米⟶米是一个射影同调分辨率R-模块米, 我们有

托尔⁡nR(米,和)=Hn(米⊗R和),n∈ñ,
后者被称为nth Tor 模块,关联到米E. 特别是,托尔⁡0R(米,和)=米⊗R和经过5.1/11.
重写5.1/12在我们的特殊设置中,我们得出以下事实:
命题 2(第一个长精确 Tor 序列)。让和豆R-模块。然后每个短的精确序列R-模块

0⟶米′⟶米⟶米′′⟶0
诱导一个长的精确序列

⋯,托尔⁡2R(米′′,和) ⟶托尔⁡1R(米′,和)⟶托尔⁡1R(米,和)⟶托尔⁡1R(米′′,和) ⟶米′⊗R和⟶⊗R和⟶米′′⊗R和⟶0.

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Injective Resolutions

让米和ñ是R-模块。然后我们可以看一下协变加法函子

他⁡R(米,⋅):R−反对⟶R−反对, 和⟼一点⁡R(米,和), (F:和⟶和′′)⟼(披⟼F∘披,披∈他⁡R(米,和)),很容易看出它是精确的,因为它转换了类型的精确序列

0⟶和′⟶和⟶和′′成精确的序列

0⟶他⁡R(米,和′)⟶他⁡R(米,和)⟶他⁡R(米,和′′).
另一方面,Hom 也可以看作是第一个变量中的函子,

他⁡R(⋅,ñ):R−反对⟶R−反对, 和⟼他⁡R(和,ñ), (F:和′⟶和)⟼(披⟼披∘F,披∈他⁡R(和,ñ)),我们看到了他⁡R(⋅,ñ)是一个加法,在这种情况下是逆变函子,在它转换类型的精确序列的意义上是精确的

和′⟶和⟶和′′⟶0
成精确的序列

0⟶他⁡R(和′′,ñ)⟶他⁡R(和,ñ)⟶他R⁡(和′,ñ)
只需使用关于同态 1.4/6 的基本定理。
我们已经从 Section 知道了5.1那一个R-模块磷被称为射影如果对于每个满射态射R-模块和⟶和′′相关地图

他⁡R(磷,和)⟶他⁡R(磷,和′′)是满射的,一个由下图表征的属性:
传递到“对偶”图
,我们得到单射的概念R-模块。

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Ext Modules

下面我们要介绍 Ext 函子作为 Hom 函子的右派生函子。为此,让米,ñ成为两个R-模块。选择射影同调分辨率米⟶米的米,我们可以应用函子他⁡R(⋅,ñ)给它。由于函子是逆变和加法的,它变换米进入协同链复合体
他⁡R(米,ñ):0−他⁡R(米0,ñ)−他⁡R(米1,ñ)−…
我们可以定义

分机⁡Rn(米,ñ)=Hn(他⁡R(米,ñ)),n∈ñ,
作为nth Ext 模块关联到米和ñ. 当然,我们必须检查分机⁡Rn(米,ñ)是明确的。按照证明的方式进行5.1/10, 考虑第二个射影同调分辨率米′⟶米的米. 然后我们得出结论5.1/9链络合物米和米′是同伦等价的。作为加法函数,他⁡R(⋅,ñ)将这种等价转化为之间的同伦等价他⁡R(米,ñ)和他⁡R(米∗′,ñ). 事实上,由于后一种复合物是共链复合物,我们调整了同伦的定义,从5.1/3对于链式复合体,我们的情况如下:

定义 1. 让F,G:C⟶D是cochain复合物的同态。一个同伦F和G是模同态C⟶D学位−1,换句话说,一个系统R-模同态Hn:Cn⟶Dn−1,使得图的映射
满足关系F−G=H∘d+d∘H. 就像在连锁复合体的设置中一样,F和G在这种情况下将被称为同伦。

请注意,上图与中给出的图一致5.1/3,除了在通过边界图箭头的链复合体中

降低模块指数,而在 cochain 复合物中则相反。无论如何,我们由此看到 Ext 模块是定义良好的。特别是,我们有

分机⁡R0(米,ñ)=他⁡R(米,ñ)
自从他⁡R(⋅,ñ)是准确的。或者,我们可以采用单射上同调分辨率ñ⟶ñ的ñ并考虑上同调模块

分机⁡R′n(米,ñ)=Hn(他R⁡(米,ñ)),n∈ñ.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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