数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Analytic Methods

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代数数论是数论的一个分支,它使用抽象代数的技术来研究整数、有理数及其泛化。数论问题用代数对象的属性来表达,如代数数域及其整数环、有限域和函数域。这些属性,如一个环是否允许唯一的因式分解,理想的行为,以及场的伽罗瓦群,可以解决数论中最重要的问题,如狄方达方程的解的存在。

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数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Analytic Methods

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Analytic Methods

In this chapter, we shall prove Dedekind’s famous formula of 1877 for the class number $h_{K}$ of a number field $K$, namely
$$
\lim {s \rightarrow 1+}(s-1) \zeta{K}(s)=h_{K} \cdot \kappa,
$$
where $\zeta_{K}(s)$ is the Dedekind zeta function
$$
\zeta_{K}(s)=\sum \frac{1}{N(a)^{s}}
$$
The summation is over all nonzero integral ideals a of $\mathcal{O}{K}$. We shall show that the series on the right of (6.2) converges absolutely for real $s$ in the open interval $11$, $$ \zeta{K}(s)=\prod_{p}\left(1-\frac{1}{N(p)^{s}}\right)^{-1}
$$
where the product is over all the nonzero prime ideals $p$ of $K$.
Proof. We only sketch the proof, leaving the details to be filled in by the reader.
First, because $N(\mathfrak{p})^{s}>1$,
$$
\left(1-\frac{1}{N(p)^{s}}\right)^{-1}=1+\frac{1}{N(p)^{s}}+\frac{1}{N(p)^{2 s}}+\cdots
$$
We formally multiply these series, one for each prime $\mathfrak{p}$, to obtain
$$
\prod_{p}\left(1-\frac{1}{N(p)^{s}}\right)^{-1}=\sum \frac{1}{N\left(p_{1}^{c_{1}} \cdots p_{g}^{c_{g}}\right)^{s}}
$$
In the summation, each product $p_{1}^{c_{1}} \ldots p_{g}^{e_{g}}$ occurs exactly once. Therefore, by Dedekind’s unique factorization theorem for ideals,
$$
\sum \frac{1}{N\left(p_{1}^{e_{1}} \cdots p_{g}^{c_{g}}\right)^{s}}=\sum \frac{1}{N(a)^{s}}
$$the summation being over all nonzero integral ideals of $K$. Hence, the Euler product formula follows.

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Preliminaries

In Chapter 5, we proved that the group $\mathcal{O}{K}^{\times}$of units (of the ring of integers) of a number field $K$ is isomorphic to $W{K} \times \mathbb{Z}^{r}$. Here $W_{K}$ is the group of roots of unity in $K$ and $r=r_{1}+r_{2}-1$. Recall that $r_{1}$ (resp. $r_{2}$ ) is the number of real (resp. pairs of complex) $\mathbb{Q}$-isomorphisms of $K$ into $\mathbb{C}$, so that $[K: \mathbb{Q}]=r_{1}+2 r_{2}$. Let $u_{1}, \ldots, u_{r}$ be a fundamental system of units in $K$, that is to say, any $u$ in $\mathcal{O}{K}^{\times}$can be uniquely expressed as $$ u=\eta u{1}^{a_{1}} \ldots u_{r}^{a_{r}},
$$
with $\eta$ in $W_{K}$ and $a_{1}, \ldots, a_{r}$ in $\mathbb{Z}$. We now use the set $\left{u_{1}, \ldots, u_{r}\right}$ of fundamental units in $K$ to define an important invariant of $K$, called its regulator, which is intimately related to its class number $h_{K}$.
The hyperplane
$$
V=\left{\boldsymbol{v}=\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{r_{1}+r_{2}}\right) \in \mathbb{R}^{r_{1}+r_{2}} \mid \lambda_{1}+\cdots+\lambda_{r_{1}+r_{2}}=0\right}
$$
is a $r$-dimensional subspace of $\mathbb{R}^{r_{1}+r_{2}}$. Let $\sigma_{1}, \ldots, \sigma_{r_{1}} ; \sigma_{r_{1}+1}, \bar{\sigma}{r{1}+1}, \ldots, \sigma_{r_{1}+r_{2}}$, $\bar{\sigma}{r{1}+r_{2}}$ be all the Q-isomorphisms of $K$ into $\mathbb{C}$. In Chapter 5 , we defined a map $\lambda: K^{\times} \rightarrow \mathbb{R}^{r_{1}+r_{2}}$ by $\lambda(\alpha)=\left(\log \left|\sigma_{1}(\alpha)\right|, \ldots, \log \left|\sigma_{r_{1}}(\alpha)\right|, \log \left|\sigma_{r_{1}+1}(\alpha)\right|^{2}, \ldots\right.$ $\left.\log \left|\sigma_{r_{1}+r_{2}}(\alpha)\right|^{2}\right)$, which is a group homomorphism from the multiplicative group $K^{\times}$into the additive group $\mathbb{R}^{r_{1}+r_{2}}$. We proved that $\lambda\left(\mathcal{O}{K}^{\times}\right)$is a full lattice in the $r$-dimensional subspace $V$ of $\mathbb{R}^{r{1}+r_{2}}$, defined above. To define the regulator, we need to compute the $r$-dimensional volume $\mu\left(\lambda\left(\mathcal{O}{K}^{\times}\right)\right)$of a fundamental parallelepiped of $\lambda\left(\mathcal{O}{K}^{\times}\right)$.

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|The Regulator of a Number Field

We now state and prove a theorem that leads to the definition of regulator. For $u$ in $\mathcal{O}{K}^{\times}$, let $\lambda{j}(u)$ denote the $j$-th component of the vector $\lambda(u)$ of $\mathbb{R}^{r_{1}+r_{2}}$.
Theorem 6.2. The $r$-dimensional volume $\mu\left(\lambda\left(\mathcal{O}{K}^{\times}\right)\right)$of any fundamental parallelepiped of the (full) lattice $\lambda\left(\mathcal{O}{K}^{\times}\right)$in $V$ is given by
$$
\mu\left(\lambda\left(\mathcal{O}{K}^{\times}\right)\right)=\sqrt{r{1}+r_{2}}\left|\operatorname{det}\left(\phi_{i}\left(u_{j}\right)\right)\right|
$$

where $\left{\phi_{1}, \ldots, \phi_{r}\right}$ is an arbitrarily chosen subset of $\left{\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{r_{1}+r_{2}}\right}$ of cardinality $r$.
In particular the quantity
$$
R_{K}=\left|\operatorname{det}\left(\phi_{i}\left(u_{j}\right)\right)\right|
$$
depends only on $K$, and not on the choice of $\phi_{1}, \ldots, \phi_{r}$.
Definition 6.3. The regulator of a number field $K$ is the absolute value
$$
R_{K}=\left|\operatorname{det}\left(\phi_{i}\left(u_{j}\right)\right)\right|
$$
of the $r \times r$ determinant $\operatorname{det}\left(\phi_{i}\left(u_{j}\right)\right)$.
Proof. Consider the unit vector
$$
\boldsymbol{u}=\frac{1}{\sqrt{r_{1}+r_{2}}}(1, \ldots, 1)
$$
in $\mathbb{R}^{r_{1}+r_{2}}$. By the definition of $V$, the inner product $\langle\boldsymbol{u}, \boldsymbol{x}\rangle=0$ for all $\boldsymbol{x}$ in $V$. Hence $\boldsymbol{u} \perp V(\boldsymbol{u}$ is perpendicular to $V)$. If
$$
L=\lambda\left(\mathcal{O}{K}^{\times}\right) \oplus \mathbb{Z} \boldsymbol{u} $$ then $L$ is a full lattice in $\mathbb{R}^{r{1}}+r_{2}$ and the $r$-dimensional volume $\mu\left(\lambda\left(\mathcal{O}{K}^{\times}\right)\right)$of $\lambda\left(\mathcal{O}{K}^{\times}\right)$is equal to the $\left(r_{1}+r_{2}\right)$-dimensional volume of $L$, which is the absolute value of the $\left(r_{1}+r_{2}\right) \times\left(r_{1}+r_{2}\right)$ determinant
$$
\frac{1}{\sqrt{r_{1}+r_{2}}} \cdot\left|\begin{array}{ccc}
1 & \cdots & 1 \
\lambda_{1}\left(u_{1}\right) & \cdots & \lambda_{r_{1}+r_{2}}\left(u_{1}\right) \
\vdots & & \
\lambda_{1}\left(u_{r}\right) & \vdots & \lambda_{r_{1}+r_{2}}\left(u_{r}\right)
\end{array}\right|
$$
For all $u$ in $\mathcal{O}{K}^{\times}$, we have $$ \sum{j=1}^{r_{1}+r_{2}} \lambda_{j}(u)=0
$$

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代数数论代考

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在本章中,我们将证明 Dedekind 著名的类数公式 1877Hķ数字字段的ķ,即

林s→1+(s−1)Gķ(s)=Hķ⋅ķ,
在哪里Gķ(s)是 Dedekind zeta 函数

Gķ(s)=∑1ñ(一个)s
求和是对所有非零积分理想 a 的○ķ. 我们将证明 (6.2) 右边的级数绝对收敛s在开区间11,

Gķ(s)=∏p(1−1ñ(p)s)−1
其中乘积超过所有非零素理想p的ķ.
证明。我们只画出证明,细节由读者填写。
首先,因为ñ(p)s>1,

(1−1ñ(p)s)−1=1+1ñ(p)s+1ñ(p)2s+⋯
我们正式将这些系列相乘,每个素数一个p, 获得

∏p(1−1ñ(p)s)−1=∑1ñ(p1C1⋯pGCG)s
总之,每个产品p1C1…pG和G恰好发生一次。因此,由 Dedekind 独特的理想因式分解定理,

∑1ñ(p1和1⋯pGCG)s=∑1ñ(一个)s总和是对所有非零积分理想的ķ. 因此,欧拉乘积公式如下。

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在第 5 章中,我们证明了群○ķ×数字字段的单位(整数环)ķ同构于在ķ×从r. 这里在ķ是单位根群ķ和r=r1+r2−1. 回顾r1(分别。r2) 是实数(复数对)问- 的同构ķ进入C, 以便[ķ:问]=r1+2r2. 让在1,…,在r是一个基本的单位制ķ,也就是说,任何在在○ķ×可以唯一地表示为

在=这在1一个1…在r一个r,
和这在在ķ和一个1,…,一个r在从. 我们现在使用集合\left{u_{1}, \ldots, u_{r}\right}\left{u_{1}, \ldots, u_{r}\right}的基本单位ķ定义一个重要的不变量ķ,称为它的调节器,与它的类号密切相关Hķ.
超平面

V=\left{\boldsymbol{v}=\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{r_{1}+r_{2}}\right) \in \mathbb{R}^{r_{ 1}+r_{2}} \mid \lambda_{1}+\cdots+\lambda_{r_{1}+r_{2}}=0\right}V=\left{\boldsymbol{v}=\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{r_{1}+r_{2}}\right) \in \mathbb{R}^{r_{ 1}+r_{2}} \mid \lambda_{1}+\cdots+\lambda_{r_{1}+r_{2}}=0\right}
是一个r-维子空间Rr1+r2. 让σ1,…,σr1;σr1+1,σ¯r1+1,…,σr1+r2, σ¯r1+r2是的所有 Q-同构ķ进入C. 在第 5 章中,我们定义了一个映射λ:ķ×→Rr1+r2经过λ(一个)=(日志⁡|σ1(一个)|,…,日志⁡|σr1(一个)|,日志⁡|σr1+1(一个)|2,… 日志⁡|σr1+r2(一个)|2),它是乘法群的群同态ķ×进入添加剂组Rr1+r2. 我们证明了λ(○ķ×)是一个完整的格子r维子空间在的Rr1+r2,定义如上。为了定义调节器,我们需要计算r维体积μ(λ(○ķ×))一个基本的平行六面体λ(○ķ×).

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我们现在陈述并证明一个导致调节器定义的定理。为了在在○ķ×, 让λj(在)表示j-向量的第一个分量λ(在)的Rr1+r2.
定理 6.2。这r维体积μ(λ(○ķ×))(完整)晶格的任何基本平行六面体λ(○ķ×)在在是(谁)给的

μ(λ(○ķ×))=r1+r2|这⁡(φ一世(在j))|

在哪里\left{\phi_{1}, \ldots, \phi_{r}\right}\left{\phi_{1}, \ldots, \phi_{r}\right}是任意选择的子集\left{\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{r_{1}+r_{2}}\right}\left{\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{r_{1}+r_{2}}\right}基数的r.
特别是数量

Rķ=|这⁡(φ一世(在j))|
只取决于ķ,而不是关于φ1,…,φr.
定义 6.3。数域的调节器ķ是绝对值

Rķ=|这⁡(φ一世(在j))|
的r×r行列式这⁡(φ一世(在j)).
证明。考虑单位向量

在=1r1+r2(1,…,1)
在Rr1+r2. 根据定义在, 内积⟨在,X⟩=0对所有人X在在. 因此在⊥在(在垂直于在). 如果

大号=λ(○ķ×)⊕从在然后大号是一个完整的格子Rr1+r2和r维体积μ(λ(○ķ×))的λ(○ķ×)等于(r1+r2)-维体积大号,这是绝对值(r1+r2)×(r1+r2)行列式

1r1+r2⋅|1⋯1 λ1(在1)⋯λr1+r2(在1) ⋮ λ1(在r)⋮λr1+r2(在r)|
对所有人在在○ķ×, 我们有

∑j=1r1+r2λj(在)=0

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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