数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Direct Product of Rings

如果你也在 怎样代写代数数论Algebraic number theory这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

代数数论是数论的一个分支,它使用抽象代数的技术来研究整数、有理数及其泛化。数论问题用代数对象的属性来表达,如代数数域及其整数环、有限域和函数域。这些属性,如一个环是否允许唯一的因式分解,理想的行为,以及场的伽罗瓦群,可以解决数论中最重要的问题,如狄方达方程的解的存在。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写代数数论Algebraic number theory方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写代数数论Algebraic number theory代写方面经验极为丰富,各种代写代数数论Algebraic number theory相关的作业也就用不着说。

我们提供的代数数论Algebraic number theory及其相关学科的代写,服务范围广, 其中包括但不限于:

  • Statistical Inference 统计推断
  • Statistical Computing 统计计算
  • Advanced Probability Theory 高等概率论
  • Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
  • (Generalized) Linear Models 广义线性模型
  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Direct Product of Rings

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Direct Product of Rings

Suppose $B_{1}, \ldots, B_{r}$ are commutative rings with 1 . We define their direct product as the Cartesian product $B=B_{1} \times \cdots \times B_{r}$, with addition and multiplication taken component-wise. Each $B_{j}$ may be regarded as a subring of $B$ via the obvious inclusion map, e.g. $B_{1} \ni b_{1} \rightarrow\left(b_{1}, 0, \ldots, 0\right) \in B$.

If $A$ is a subring of each $B_{j}$, then $A$ may be regarded as a subring of the direct product $B=B_{1} \times \cdots \times B_{r}$, via the map $A \ni a \rightarrow(a, \ldots, a) \in B$.

Theorem 4.25. Suppose $A$ with 1 is a subring of each $B_{j}$ and every $B_{j}$ is a free A-module of rank $n_{j}$. Then the direct product $B=B_{1} \times \cdots \times B_{r}$ is a free module of rank $n_{1}+\cdots+n_{r}$. Moreover
$$
\mathfrak{d}{B / A}=\mathfrak{d}{B_{1} / A} \cdots \mathfrak{d}{B{r} / A}
$$
Proof. We only need to prove (4.6). To simplify notation, we prove it for $r=2$. For $r>2$, the proof is similar.

Put $n_{1}=m$ and $n_{2}=n$. Let $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{m}$ be a basis of $B_{1}$ over $A$ and $\beta_{1}, \ldots, \beta_{n}$ be a basis of $B_{2}$ over $A$. As $A$-modules, if we identify $B_{1}$ and $B_{2}$ with the submodules $B_{1} \times{0}$ and ${0} \times B_{2}$ of $B=B_{1} \times B_{2}$, then $\left{\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{m} ; \beta_{1}, \ldots, \beta_{n}\right}$ is a basis of $B$ over $A$. Moreover, for all $i, j$, we have $\alpha_{i} \beta_{j}=0$. Hence $\Delta\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{m} ; \beta_{1}, \ldots, \beta_{n}\right)$ is the determinant of the matrix
$$
\left(\begin{array}{c|l}
\operatorname{tr}{B{1} / A}\left(\alpha_{i} \alpha_{j}\right) & \
\hline & \operatorname{tr}{B{2} / A}\left(\beta_{i} \beta_{j}\right)
\end{array}\right)
$$
This shows that
$$
\Delta\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{m} ; \beta_{1}, \ldots, \beta_{n}\right)=\Delta\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{m}\right) \Delta\left(\beta_{1}, \ldots, \beta_{n}\right)
$$
Therefore, $\mathfrak{d}{B / A}=\mathfrak{d}{B_{1} / A} \mathfrak{d}{B{2} / A}$.
Suppose $A$ is a subring of $B$. Let $\mathfrak{a}$ be an ideal of $A$ and $\mathfrak{b}=\mathfrak{a} B$ be the ideal of $B$ generated by a. For $\alpha$ in $A$ and $\beta$ in $B$, let $\bar{\alpha}$ and $\bar{\beta}$ denote the residue class of $\alpha$ in $A / a$ and that of $\beta$ in $B / \mathfrak{b}$, respectively.

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Nilradical

Definition 4.30. An element of a commutative ring $A$ with 1 is nilpotent if $a^{m}=0$ for some $m$ in $\mathbb{Z}$.

Theorem 4.31. The set nil $(A)$ of all nilpotent elements of $A$ is an ideal of A.

The ideal nil $(A)$ is called the nilradical of $A$.
Proof. Let $x, y \in \operatorname{nil}(A)$. Then for some $m, n$ in $\mathbb{N}, x^{m}=y^{n}=0$. If $l=m+n$, then it follows from the Binomial Theorem, that $(x+y)^{l}=0$. On the other hand, if $a \in A$, then $(a x)^{m}=a^{m} x^{m}=0$. This proves that nil $(A)$ is an ideal of $A$.

Theorem 4.32. The nilradical, $\operatorname{nil}(A)$, is the intersection of all prime ideals of $A$.

Proof. If $x$ in $A$ is nilpotent, then for some $m$ in $\mathbb{N}, x^{m}=0$. Hence $x \in \mathfrak{p}$, for all prime ideals $p$ of $A$.

Conversely, suppose $x$ is not nilpotent, that is $x^{m} \neq 0$ for all $m$ in $\mathbb{N}$. We show that there is at least one prime ideal $\mathfrak{p}$ such that $x \notin p$. Let $S$ be the set of ideals a of $A$, such that $x^{m} \notin \mathfrak{a}$ for all $m$ in $\mathbb{N}$. Clearly, $S$ is not empty, since the zero ideal $(0) \in S$. By Zorn’s Lemma, let $p$ be a maximal element of $S$. We shall show that $\mathfrak{p}$ is prime. If not, then there are $x, y$ in $A \backslash \mathfrak{p}$ with $x y$ in $\mathfrak{p}$. Then the ideals $\boldsymbol{a}=(\mathfrak{p}, x)$ and $\mathbf{b}=(\mathfrak{p}, y)$ both properly contain $\mathfrak{p}$. By the choice of $\mathfrak{p}$, for some $m, n$ in $\mathbb{N}, x^{m} \in \mathfrak{a}, x^{n} \in \mathfrak{b}$. This shows that $x^{m+n} \in \mathfrak{a b} \subseteq \mathfrak{p}$, implying $\mathfrak{p} \notin S$. This contradiction proves that $\mathfrak{p}$ is prime.

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Reduced Rings

Definition 4.33. A commutative ring $A$ with 1 is reduced if $\operatorname{nil}(A)=(0)$.
Example 4.34.

  1. An integral domain is reduced.
  2. The product $A_{1} \times \ldots \times A_{r}$ is reduced if all $A_{j}$ are reduced.
    Theorem 4.35. Suppose $K$ is a number field and $\mathfrak{P}$ a prime ideal of $\mathcal{O}=\mathcal{O}_{K}$. The quotient ring $\mathcal{O} / \mathfrak{P}^{e}$ is reduced if and only if $e=1$.

Proof. If $e=1$, then $\mathcal{O} / \mathfrak{F}$ is a field, hence reduced. On the other hand, if $e>0$, choose $\pi$ in $\mathfrak{P}-\mathfrak{P}^{2}$. Then $\pi \neq 0$ in $\mathcal{O} / \mathfrak{P}^{e}$, but $\pi^{e}=0$ in $\mathcal{O} / \mathfrak{P}^{e}$. Therefore, $\mathcal{O} / \mathfrak{P}^{e}$ is not reduced.

Now let $A$ be a subring of a commutative ring $B$, both with 1 . Suppose $B$ is a free $A$-module of rank $n$.

Theorem 4.36. If $A$ is a finite field, then $B$ is reduced if and only if $\mathfrak{D}_{B / A} \neq$ $(0)$.

Proof. First suppose that $B$ is not reduced, that is, it has a nilpotent element $\alpha \neq 0$. $A$ being a field, $\alpha$ can be completed into a basis $\alpha_{1}=\alpha, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}$ of the vector space $B$ over $A$. Now all the elements $\alpha_{1} \alpha_{j}, j=1, \ldots, n$ are also nilpotent and since the matrix for a nilpotent element is also nilpotent, its trace is zero (why?). Hence the first row of the matrix $\left(\operatorname{tr}\left(\alpha_{1} \alpha_{j}\right)\right)$ consists of zeros only, which shows that
$$
\Delta\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right)=\operatorname{det}\left(\operatorname{tr}\left(\alpha_{i} \alpha_{j}\right)\right)=0
$$
Therefore, $\mathfrak{o}{B / A}=(0)$. Conversely, suppose $B$ is reduced, i.e. $\operatorname{nil}(B)={0}$. Since $\operatorname{nil}(B)$ is the intersection of all prime ideals and $B$ is finite, $$ (0)=\mathfrak{F}{1} \cap \ldots \cap \mathfrak{P}{r}\left(\mathfrak{P}{i} \neq \mathfrak{P}{j} \text { for } i \neq j\right) . $$ Every $B / \mathfrak{P}{j}$, being a finite integral domain, is a field, hence all $\mathfrak{P}{j}$ are maximal and therefore coprime in pairs, and $$ \mathfrak{F}{1} \cap \ldots \cap \mathfrak{P}{r}=\mathfrak{P}{1} \ldots \mathfrak{P}{r} $$ By the Corollary $4.28$, $$ B=B /(0)=B / \mathfrak{P}{1} \ldots \mathfrak{P}{r} \cong B / \mathfrak{P}{1} \times \ldots \times B / \mathfrak{P}{r} . $$ By Theorem 4.25, $$ \mathfrak{o}{B / A}=\mathfrak{o}{\left(B / \mathfrak{F}{1}\right) / A} \cdots \mathfrak{o}{\left(B / \mathfrak{F}{\mathrm{r}}\right) / A} .
$$
Since $A$ is a field, each $\mathfrak{o}{\left(B / \mathfrak{P}{j}\right) / A} \neq(0)$. Hence $\mathfrak{d}_{B / A} \neq(0)$.

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Direct Product of Rings

代数数论代考

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Direct Product of Rings

认为乙1,…,乙r是与 1 的交换环。我们将他们的直积定义为笛卡尔积乙=乙1×⋯×乙r, 加法和乘法是按分量计算的。每个乙j可以看作是一个子环乙通过明显的包含图,例如乙1∋b1→(b1,0,…,0)∈乙.

如果一个是每个的子环乙j, 然后一个可视为直积的子环乙=乙1×⋯×乙r, 通过地图一个∋一个→(一个,…,一个)∈乙.

定理 4.25。认为一个其中 1 是每个的子环乙j和每一个乙j是秩的自由 A 模nj. 然后是直接产品乙=乙1×⋯×乙r是一个免费的等级模块n1+⋯+nr. 而且

d乙/一个=d乙1/一个⋯d乙r/一个
证明。我们只需要证明(4.6)。为了简化符号,我们证明它r=2. 为了r>2,证明类似。

放n1=米和n2=n. 让一个1,…,一个米成为基础乙1超过一个和b1,…,bn成为基础乙2超过一个. 作为一个-modules,如果我们确定乙1和乙2与子模块乙1×0和0×乙2的乙=乙1×乙2, 然后\left{\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{m} ; \beta_{1}, \ldots, \beta_{n}\right}\left{\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{m} ; \beta_{1}, \ldots, \beta_{n}\right}是一个基础乙超过一个. 此外,对于所有一世,j, 我们有一个一世bj=0. 因此Δ(一个1,…,一个米;b1,…,bn)是矩阵的行列式

\left(\begin{array}{c|l} \operatorname{tr}{B{1} / A}\left(\alpha_{i} \alpha_{j}\right) & \ \hline & \operatorname{ tr}{B{2} / A}\left(\beta_{i} \beta_{j}\right) \end{array}\right)\left(\begin{array}{c|l} \operatorname{tr}{B{1} / A}\left(\alpha_{i} \alpha_{j}\right) & \ \hline & \operatorname{ tr}{B{2} / A}\left(\beta_{i} \beta_{j}\right) \end{array}\right)
这表明

Δ(一个1,…,一个米;b1,…,bn)=Δ(一个1,…,一个米)Δ(b1,…,bn)
所以,d乙/一个=d乙1/一个d乙2/一个.
认为一个是一个子环乙. 让一个做一个理想的人一个和b=一个乙成为理想的乙由 a 生成。为了一个在一个和b在乙, 让一个¯和b¯表示剩余类一个在一个/一个和那个b在乙/b, 分别。

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Nilradical

定义 4.30。交换环的一个元素一个如果 1 是幂零的一个米=0对于一些米在从.

定理 4.31。设置为零(一个)的所有幂零元素一个是A的理想。

理想的零(一个)被称为 nilradical一个.
证明。让X,是∈零⁡(一个). 然后对于一些米,n在ñ,X米=是n=0. 如果l=米+n,那么从二项式定理可以得出,(X+是)l=0. 另一方面,如果一个∈一个, 然后(一个X)米=一个米X米=0. 这证明了零(一个)是一个理想的一个.

定理 4.32。非激进的,零⁡(一个), 是所有素理想的交集一个.

证明。如果X在一个是幂零的,那么对于一些米在ñ,X米=0. 因此X∈p, 对于所有素理想p的一个.

相反,假设X不是幂零的,即X米≠0对所有人米在ñ. 我们证明至少存在一个素理想p这样X∉p. 让小号是一组理想 a 的一个, 这样X米∉一个对所有人米在ñ. 清楚地,小号不为空,因为零理想(0)∈小号. 根据 Zorn 引理,让p成为的最大元素小号. 我们将证明p是素数。如果没有,那么有X,是在一个∖p和X是在p. 然后是理想一个=(p,X)和b=(p,是)两者都正确包含p. 通过选择p, 对于一些米,n在ñ,X米∈一个,Xn∈b. 这表明X米+n∈一个b⊆p, 暗示p∉小号. 这个矛盾证明p是素数。

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Reduced Rings

定义 4.33。交换环一个与 1 减少如果零⁡(一个)=(0).
例 4.34。

  1. 减少了一个积分域。
  2. 产品一个1×…×一个r如果全部减少一个j被减少。
    定理 4.35。认为ķ是一个数字字段并且磷的首要理想○=○ķ. 商圈○/磷和当且仅当和=1.

证明。如果和=1, 然后○/F是一个场,因此减少了。另一方面,如果和>0, 选择圆周率在磷−磷2. 然后圆周率≠0在○/磷和, 但圆周率和=0在○/磷和. 所以,○/磷和没有减少。

现在让一个是交换环的子环乙, 都为 1 。认为乙是免费的一个- 等级模块n.

定理 4.36。如果一个是一个有限域,那么乙当且仅当D乙/一个≠ (0).

证明。首先假设乙不减少,即它有一个幂零元素一个≠0. 一个作为一个领域,一个可以完成成基础一个1=一个,一个2,…,一个n向量空间的乙超过一个. 现在所有元素一个1一个j,j=1,…,n也是幂零的,因为幂零元素的矩阵也是幂零的,所以它的迹为零(为什么?)。因此矩阵的第一行(tr⁡(一个1一个j))仅由零组成,这表明

Δ(一个1,…,一个n)=这⁡(tr⁡(一个一世一个j))=0
所以,○乙/一个=(0). 相反,假设乙减少,即零⁡(乙)=0. 自从零⁡(乙)是所有素理想的交集,并且乙是有限的,

(0)=F1∩…∩磷r(磷一世≠磷j 为了 一世≠j).每一个乙/磷j,作为有限积分域,是一个域,因此所有磷j是最大的,因此成对互质,并且

F1∩…∩磷r=磷1…磷r由推论4.28,

乙=乙/(0)=乙/磷1…磷r≅乙/磷1×…×乙/磷r.根据定理 4.25,

○乙/一个=○(乙/F1)/一个⋯○(乙/Fr)/一个.
自从一个是一个场,每个○(乙/磷j)/一个≠(0). 因此d乙/一个≠(0).

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考 请认准statistics-lab™

统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。

金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构,多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务,包括但不限于Essay代写,Assignment代写,Dissertation代写,Report代写,小组作业代写,Proposal代写,Paper代写,Presentation代写,计算机作业代写,论文修改和润色,网课代做,exam代考等等。写作范围涵盖高中,本科,研究生等海外留学全阶段,辐射金融,经济学,会计学,审计学,管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者,也有海外名校硕博留学生,每位写作老师都拥有过硬的语言能力,专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创,100%专业,100%准时,100%满意。

随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
PYTHON代写回归分析与线性模型代写
MATLAB代写方差分析与试验设计代写
STATA代写机器学习/统计学习代写
SPSS代写计量经济学代写
EVIEWS代写时间序列分析代写
EXCEL代写深度学习代写
SQL代写各种数据建模与可视化代写

发表回复

您的电子邮箱地址不会被公开。