数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Discriminant and Ramification

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代数数论是数论的一个分支,它使用抽象代数的技术来研究整数、有理数及其泛化。数论问题用代数对象的属性来表达,如代数数域及其整数环、有限域和函数域。这些属性,如一个环是否允许唯一的因式分解,理想的行为,以及场的伽罗瓦群,可以解决数论中最重要的问题,如狄方达方程的解的存在。

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数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Discriminant and Ramification

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Discriminant and Ramification

Finally we arrive at the main result of this chapter, a criterion for ramification, proved by Dedekind in $1882 .$

Theorem 4.37. Suppose $K / k$ is an extension of degree $n$ of number fields. A prime $\mathfrak{p}$ of $k$ ramifies in $K$ if and only if $\mathfrak{p} \mid \mathfrak{o}{K / k}$. Proof. Let $$ \mathfrak{p O}=\mathfrak{P}{1}^{c_{1}} \ldots \mathfrak{P}{g}^{c{g}}
$$
be the factorization of $\mathfrak{p}$ into powers of distinct primes in $\mathcal{O}$. Since the ring
$$
\mathcal{O} / \mathrm{pO}=\mathcal{O} / \mathfrak{P}{1}^{e{1}} \ldots \mathfrak{P}{g}^{e{g}} \cong \mathcal{O} / \mathfrak{P}{1}^{e{1}} \times \ldots \times \mathcal{O} / \mathfrak{P}{g}^{e{g}}
$$

$\mathfrak{p}$ is ramified $\Leftrightarrow$ some $e_{j}>1 \Leftrightarrow \mathcal{O} / \mathfrak{P}{j}^{\epsilon{j}}$ is not reduced $\Leftrightarrow \mathcal{O} / \mathfrak{p O}$ is not reduced $\Leftrightarrow \mathfrak{d}{(\mathcal{O} / p \mathcal{O}) /(0 / p)}=(0)$. Thus we need to show that $\mathfrak{d}{(\mathcal{O} / p \mathcal{O}) /(\mathfrak{o} / \mathfrak{p})}=(0) \Leftrightarrow$ $p \mid \mathfrak{o}_{K / k}$.

Let $S=\mathfrak{o} \backslash \mathfrak{p}, A$ the localization of $\mathfrak{o}$ at $\mathfrak{p}, B=S^{-1} \mathcal{O}, \mathfrak{P}=S^{-1} \mathfrak{p}$, the maximal ideal of $A$. Since $\mathcal{O}$ is a finitely generated (but not necessarily free) o-module, $B$ is a finitely generated $A$-module, generated by the same elements. Now since $A$ is a principal ideal domain, $B$ has a basis over $A$, easily seen to consist of $n=[K: k]$ elements $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}$. Since $S$ does not intersect any of the prime ideals of $\mathcal{O}$ lying above $\mathfrak{p}$, we have the following diagram:
$$
\begin{array}{ccc}
\mathcal{O} / \mathfrak{p O} & \cong & B / \mathfrak{P} B \
\mid & & \mid \
0 / \mathfrak{p} & \cong & A / \mathfrak{P}
\end{array}
$$
For $\beta$ in $B$, we denote by $\bar{\beta}$ its residue class in $B / \mathfrak{P B}$. The dimension of $\mathcal{O} / \mathfrak{p O}$ over $o / \mathfrak{p}$ is $n$ and so is the dimension of $B / \mathfrak{P B}$ over $A / \mathfrak{P}$. Since $\bar{\alpha}{1}, \ldots, \bar{\alpha}{n}$ generate $B / \mathfrak{P B}$ over $A / B$, by comparing dimensions, they must form a basis of $B / \mathfrak{P} B$ over $A / \mathfrak{P}$. Thus by Theorem $4.26$ and the diagram above, $\mathfrak{d}{(\mathcal{O} / \mathrm{pO}) /(\mathrm{o} / \mathrm{p})}=(0)$ if and only if $\Delta\left(\alpha{1}, \ldots, \alpha_{n}\right)=0$. Thus we show that $\mathfrak{p} \mid \mathfrak{d}{K / k}$ if and only if $\Delta\left(\alpha{1}, \ldots, \alpha_{n}\right) \in \mathfrak{P}$.

First, let $\Delta\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right) \in \mathfrak{P}$. If $\left{\beta_{1}, \ldots, \beta_{n}\right}$ is a basis of $K$ over $k$ consisting of elements in $\mathcal{O}$, then
$$
\beta_{i}=\sum_{j=1}^{n} a_{i j} \alpha_{j} \quad\left(a_{i j} \in A\right)
$$
which shows that $\Delta\left(\beta_{1}, \ldots, \beta_{n}\right)=\operatorname{det}\left(\operatorname{Tr}\left(\alpha_{i} \alpha_{j}\right)\right) \cdot\left(\operatorname{det}\left(a_{i j}\right)\right)^{2} \in \mathcal{O} \cap \mathfrak{P}=\mathfrak{p}$. Hence, $\mathfrak{o}{K / k} \subseteq \mathfrak{p}$, i.e. $\mathfrak{p} \mid \mathfrak{d}{K / k}$. Conversely, suppose $\mathfrak{p} \mid \mathfrak{v}{K / k}$. If $\alpha{1}, \ldots, \alpha_{n}$ is a basis of $B$ over $A$, write each $\alpha_{j}=\beta_{j} / s$ with $\beta_{j}$ in $\mathcal{O}$ and $s$ in $S$. Then
$$
\Delta\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right)=\operatorname{det}\left(\operatorname{tr}\left(\alpha_{i} \alpha_{j}\right)\right)=\frac{1}{s^{2 n}} \operatorname{det}\left(\operatorname{tr}\left(\beta_{i} \beta_{j}\right)\right)
$$
is in $A \mathfrak{o}_{K / k} \subseteq A \mathfrak{p} \subseteq \mathfrak{P}$.

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Lattices in R

If $\boldsymbol{a} \in \mathbb{R}^{n}$ and $r>0$, we call the subset
$$
B_{r}(\boldsymbol{a})=\left{\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n} \mid \operatorname{dist}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{a})=|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}|0$, such that $X \cap B_{r}(\boldsymbol{a})={\boldsymbol{a}}$. Consider $\mathbb{R}^{n}$ as an Abelian group under addition. A lattice in $\mathbb{R}^{n}$ is a discrete subgroup $L \neq{0}$ of $\mathbb{R}^{n}$. Let $d$ be the dimension of the subspace of $\mathbb{R}^{n}$ spanned by elements of a lattice $L \subseteq \mathbb{R}^{n}$. Clearly, $d \leq n$. We call $d$ the rank of the lattice $L$. A lattice $L \subseteq \mathbb{R}^{n}$ is a full lattice if its rank is $n$.

Remark 5.1. Topologically speaking, $L \subseteq \mathbb{R}^{n}$ is a full lattice if and only if the quotient space $\mathbb{R}^{n} / L$ is compact.
EXERCISE
Show that $L \subseteq \mathbb{R}^{n}$ is a lattice if and only if it is a $\mathbb{Z}$-module
$$
L=\mathbb{Z} v_{1} \oplus \ldots \oplus \mathbb{Z} v_{d}
$$
57

for some vectors $\boldsymbol{v}{1}, \ldots, \boldsymbol{v}{d}$ in $L$. The expression (5.2) means that each $\boldsymbol{v}$ in $L$ has a unique representation
$$
\boldsymbol{v}=a_{1} \boldsymbol{v}{1}+\cdots+a{d} \boldsymbol{v}{d} $$ with $a{j} \in \mathbb{Z}$.
Hint: If $d=1$, choose $\boldsymbol{v}{1} \neq \mathbf{0}$, a vector in $L$ nearest to $\mathbf{0}$. This is possible, because $L$ is discrete. Then, clearly every vector $v$ in $L$ has a unique representation $v=a \boldsymbol{v}{1}$ for $a$ in $\mathbb{Z}$, for if $\boldsymbol{v}=(a+r) \boldsymbol{v}{1}$ with $0{1} \in L$, contradicting the choice of $\boldsymbol{v}_{1}$. For $d>1$, use induction on $d$.

We now give a characterization for a lattice to be full, which is more suitable for our purpose.

Theorem 5.2. A lattice $L \subseteq \mathbb{R}^{n}$ is full if and only if there is a bounded set $Y \subseteq \mathbb{R}^{n}$ such that
$$
\mathbb{R}^{n}=\cup_{\boldsymbol{v} \in L}(\boldsymbol{v}+Y)
$$
Here, $\boldsymbol{v}+Y={v+\boldsymbol{y} \mid \boldsymbol{y} \in Y}$. Before proving the proposition, we define a useful term.
Definition 5.3. Let
$$
L=\mathbb{Z} \boldsymbol{v}{1} \oplus \ldots \oplus \mathbb{Z} \boldsymbol{v}{n}
$$
be a full lattice in $\mathbb{R}^{n}$. The set
$$
P=\left{c_{1} \boldsymbol{v}{1}+\cdots+c{n} \boldsymbol{v}{n} \mid 0 \leq c{j}<1\right}
$$
is called a fundamental parallelepiped of $L$. It depends on the $\mathbb{Z}$-basis $\left{v_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}{n}\right}$ of $L$. Clearly $P$ is bounded and $$ \mathbb{R}^{n}=\cup{\boldsymbol{v} \in L}(\boldsymbol{v}+P),
$$
a disjoint union of translates $v+P$ of $P$ by elements of $L$.
Proof. If $L$ is full, we can take $Y$ to be a fundamental parallelepiped of $L$.
Conversely, suppose a bounded set $Y \subseteq \mathbb{R}^{n}$ exists with the property (5.3) and $L$ is not full. We show that this leads to a contradiction.

Let $W$ be the subspace of $\mathbb{R}^{n}$ spanned by the vectors in $L$. Then $d=$ $\operatorname{dim} W<n$. Consider $\mathbb{R}^{n}$ as an inner product space with the dot product of vectors. Choose a unit vector $\boldsymbol{v}{d+1}$ (by the Gram-Schmidt Process) which is perpendicular to every vector of $W$. Let $r>0$ such that $Y \subseteq B{r}(\mathbf{0})$. It is easy to see that if $\boldsymbol{w}=a \boldsymbol{v}{d+1}$ is a vector in $\mathbb{R}^{n}$ with $a>r$, then $\boldsymbol{w} \notin \cup{\boldsymbol{v} \in L}(\boldsymbol{v}+Y)$. This is a contradiction.

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代数数论代考

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最后,我们得出了本章的主要结果,即分枝标准,由 Dedekind 在1882.

定理 4.37。认为ķ/ķ是学位的延伸n的数字字段。一个素数p的ķ延伸到ķ当且仅当p∣○ķ/ķ. 证明。让

p○=磷1C1…磷GCG
是因式分解p成不同素数的幂○. 自从戒指

○/p○=○/磷1和1…磷G和G≅○/磷1和1×…×○/磷G和G

p是分枝的⇔一些和j>1⇔○/磷jεj不减少⇔○/p○不减少⇔d(○/p○)/(0/p)=(0). 因此我们需要证明d(○/p○)/(○/p)=(0)⇔ p∣○ķ/ķ.

让小号=○∖p,一个的本地化○在p,乙=小号−1○,磷=小号−1p, 的最大理想一个. 自从○是一个有限生成的(但不一定是自由的)o-module,乙是一个有限生成的一个-module,由相同的元素生成。现在自从一个是一个主理想域,乙有一个基础一个,很容易看出由n=[ķ:ķ]元素一个1,…,一个n. 自从小号不与任何主要理想相交○躺在上面p,我们有下图:

○/p○≅乙/磷乙 ∣∣ 0/p≅一个/磷
为了b在乙,我们表示为b¯它的残基类在乙/磷乙. 的维度○/p○超过○/p是n的维度也是如此乙/磷乙超过一个/磷. 自从一个¯1,…,一个¯n产生乙/磷乙超过一个/乙,通过比较维度,它们必须形成一个基础乙/磷乙超过一个/磷. 因此由定理4.26和上图,d(○/p○)/(○/p)=(0)当且仅当Δ(一个1,…,一个n)=0. 因此我们证明p∣dķ/ķ当且仅当Δ(一个1,…,一个n)∈磷.

首先,让Δ(一个1,…,一个n)∈磷. 如果\left{\beta_{1}, \ldots, \beta_{n}\right}\left{\beta_{1}, \ldots, \beta_{n}\right}是一个基础ķ超过ķ由元素组成○, 然后

b一世=∑j=1n一个一世j一个j(一个一世j∈一个)
这表明Δ(b1,…,bn)=这⁡(Tr⁡(一个一世一个j))⋅(这⁡(一个一世j))2∈○∩磷=p. 因此,○ķ/ķ⊆p, IEp∣dķ/ķ. 相反,假设p∣在ķ/ķ. 如果一个1,…,一个n是一个基础乙超过一个,写每个一个j=bj/s和bj在○和s在小号. 然后

Δ(一个1,…,一个n)=这⁡(tr⁡(一个一世一个j))=1s2n这⁡(tr⁡(b一世bj))
在一个○ķ/ķ⊆一个p⊆磷.

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如果一个∈Rn和r>0, 我们称子集
$$
B_{r}(\boldsymbol{a})=\left{\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n} \mid \operatorname{dist}(\boldsymbol{x }, \boldsymbol{a})=|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}|0,s在CH吨H一个吨X \cap B_{r}(\boldsymbol{a})={\boldsymbol{a}}.C○ns一世d和r\mathbb{R}^{n}一个s一个n一个b和l一世一个nGr○在p在nd和r一个dd一世吨一世○n.一个l一个吨吨一世C和一世n\mathbb{R}^{n}一世s一个d一世sCr和吨和s在bGr○在pL \ neq {0}○F\mathbb{R}^{n}.大号和吨db和吨H和d一世米和ns一世○n○F吨H和s在bsp一个C和○F\mathbb{R}^{n}sp一个nn和db是和l和米和n吨s○F一个l一个吨吨一世C和L \subseteq \mathbb{R}^{n}.Cl和一个rl是,d \leq n.在和C一个lld吨H和r一个nķ○F吨H和l一个吨吨一世C和大号.一个l一个吨吨一世C和L \subseteq \mathbb{R}^{n}一世s一个F在lll一个吨吨一世C和一世F一世吨sr一个nķ一世sn$。

备注 5.1。从拓扑上讲,大号⊆Rn是满格当且仅当商空间Rn/大号紧凑。
锻炼
证明大号⊆Rn是格当且仅当它是从-模块

大号=从在1⊕…⊕从在d
57

对于一些向量在1,…,在d在大号. 表达式 (5.2) 意味着每个在在大号具有独特的代表性

在=一个1在1+⋯+一个d在d和一个j∈从.
提示:如果d=1, 选择在1≠0,一个向量在大号最接近0. 这是可能的,因为大号是离散的。然后,显然每个向量在在大号具有独特的代表性在=一个在1为了一个在从, 如果在=(一个+r)在1和01∈大号, 与选择相矛盾在1. 为了d>1, 使用归纳法d.

我们现在给出一个满格的特征,这更适合我们的目的。

定理 5.2。一个格子大号⊆Rn是满的当且仅当有一个有界集合是⊆Rn这样

Rn=∪在∈大号(在+是)
这里,在+是=在+是∣是∈是. 在证明命题之前,我们定义一个有用的术语。
定义 5.3。让

大号=从在1⊕…⊕从在n
成为一个完整的格子Rn. 套装

P=\left{c_{1} \boldsymbol{v}{1}+\cdots+c{n} \boldsymbol{v}{n} \mid 0 \leq c{j}<1\right}P=\left{c_{1} \boldsymbol{v}{1}+\cdots+c{n} \boldsymbol{v}{n} \mid 0 \leq c{j}<1\right}
被称为基本平行六面体大号. 这取决于从-基础\left{v_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}{n}\right}\left{v_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}{n}\right}的大号. 清楚地磷是有界的并且

Rn=∪在∈大号(在+磷),
翻译的脱节联合在+磷的磷通过元素大号.
证明。如果大号满了,我们可以拿是成为一个基本的平行六面体大号.
相反,假设一个有界集是⊆Rn与属性 (5.3) 并存大号未满。我们证明这会导致矛盾。

让在成为的子空间Rn由向量跨越大号. 然后d= 暗淡⁡在<n. 考虑Rn作为向量点积的内积空间。选择单位向量在d+1(通过 Gram-Schmidt 过程),它垂直于在. 让r>0这样是⊆乙r(0). 很容易看出,如果在=一个在d+1是一个向量Rn和一个>r, 然后在∉∪在∈大号(在+是). 这是一个矛盾。

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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