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代数数论是数论的一个分支，它使用抽象代数的技术来研究整数、有理数及其泛化。数论问题用代数对象的属性来表达，如代数数域及其整数环、有限域和函数域。这些属性，如一个环是否允许唯一的因式分解，理想的行为，以及场的伽罗瓦群，可以解决数论中最重要的问题，如狄方达方程的解的存在。
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数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Factoring Rational Primes in Z
Let $A$ be the ring $\mathbb{Z}[i]$ of Gaussian integers and $p=2,3,4, \ldots$ a rational prime. This $p$ may or may not be a prime element of $A$. To find exactly when it is, recall the famous theorem of Fermat on the sum of two squares, which was proved by Euler (cf. [8, p. 48]).
Theorem 2.14 (Fermat). An odd prime $p$ in $\mathbb{Z}$ is a sum of two squares $\left(p=a^{2}+b^{2}\right)$ if and only if $p=4 k+1$ for $k$ in $\mathbb{N}$.
The norm of any divisor of $\alpha=a+i b$ must be a divisor of $N(\alpha)=a^{2}+b^{2}$, and for $\alpha=\beta \gamma$ with $\beta, \gamma$ both non-units, $1<N(\beta)<N(\alpha)$ (only the units have norm 1). Therefore, if $a^{2}+b^{2}$ is a prime, then $\alpha$ has to be a prime in $\mathbb{Z}[i]$. We have thus proved the following fact:
Theorem 2.15. A prime $p$ is a sum of two squares, $p=a^{2}+b^{2} \Leftrightarrow p$ is a product $(a+i b)(a-i b)$ of two primes $a \pm i b$ in $\mathbb{Z}[i]$.
For $p=2$, its two prime factors $1+i, 1-i$ in $\mathbb{Z}[i]$ are associates: $1+i=i(1-i)$. Therefore,
$$
2=i(1-i)^{2} .
$$
We say that 2 ramifies in $\mathbb{Z}[i]$. By Fermat’s Theorem (Theorem 2.15), $p \equiv 1$ $(\bmod 4) \Leftrightarrow p$ is a product
$$
p=\pi_{1} \pi_{2}
$$
of two primes $\pi_{1}, \pi_{2}$ in $\mathbb{Z}[i]$. Moreover, $\pi_{1}$ and $\pi_{2}$ are complex conjugates of each other and hence they are distinct. This discussion can be wrapped up as follows: In order to do that, observe that ${1, i}$ is a $\mathbb{Z}$-bases of $\mathbb{Z}[i]$ and so is its conjugate ${1,-i}$. These two bases make a $2 \times 2$ matrix
$$
A=\left(\begin{array}{cc}
1 & i \
1 & -i
\end{array}\right)
$$
with $|\operatorname{det}(A)|=2$, called the discriminant of $\mathbb{Q}(i)$.
Theorem 2.16. Let $p$ be a prime. Then
i) $p$ ramifies in $\mathbb{Z}[i] \Leftrightarrow$ it divides the discriminant of $\mathbb{Q}(i)$,ii) $p$ factors into two distinct primes of $\mathbb{Z}[i] \Leftrightarrow p \equiv 1(\bmod 4)$, and iii) $p$ stays prime in $\mathbb{Z}[i] \Leftrightarrow p \equiv 3(\bmod 4)$.
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Let $K / k$ be a field extension and suppose $\alpha$ is an element of $K$. We say that $\alpha$ is algebraic over $k$ if $\alpha$ satisfies a nonzero polynomial over $k$. Suppose $n=\operatorname{dim}{k}(K)$ is finite and $\alpha$ is in $K$. Then the $n+1$ vectors $1, \alpha, \ldots, \alpha^{n}$ cannot be linearly independent and hence satisfy a nontrivial linear relation $$ c{0}+c_{1} \alpha+\cdots+c_{n} \alpha^{n}=0
$$
with $c_{j}$ in $k$. This not only shows that $\alpha$ is algebraic over $k$ but also proves that it is a root of a nonzero polynomial of degree at most $n$ over $k$. The smallest degree of a polynomial over $k$ satisfied by $\alpha$ is called the degree of $\alpha$ over $k$. It is denoted by $\operatorname{deg}_{k}(\alpha)$.
数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Algebraic Integers
The subject of algebraic number theory originated with Gauss, who studied the arithmetic in the ring $\mathbb{Z}[i]={x+i y \mid x, y \in \mathbb{Z}}$ of the so called Gaussian integers. We begin with a useful fact about field extensions which is true for the ones to be dealt with in this book.
Definition 3.1. A field extension $K / k$ is a simple extension if there is an element $\alpha$ in $K$ such that $K=k(\alpha)$.
Here $k(\alpha)$ is the field of all quotients of polynomials in $\alpha$ over $k$. It is the smallest field containing $k$ and $\alpha$. We say that $K$ has been obtained by adjoining $\alpha$ to $k$. We also say that $\alpha$ generates $K$ over $k$.
From now on, we shall regard $\mathbb{C}$, the field of complex numbers, as our universal domain. This essentially means that all fields, unless stated otherwise, shall be subfields of $\mathbb{C}$. A field must have at least two distinct elements, namely, 0 and 1. Therefore, a subfield of $\mathbb{C}$ must contain $\mathbb{Z}$, and hence it must be an
extension of $\mathbb{Q}$. The following is a standard result from field theory (cf. $[8, \mathrm{p}$. $72]$ ).
Theorem 3.2. If $k$ is a subfield of $\mathbb{C}$, then any finite extension $K / k$ is $a$ simple extension.
Definition 3.3. A number field is a finite extension of $\mathbb{Q}$. A number field $K$ is a quadratic field or a cubic field according as $[K: \mathbb{Q}]$ is 2 or 3 . We call a field extension $K / k$ an extension of number fields if $k$ is a subfield of the number field $K$. Clearly, $k$ is also a number field.
Definition 3.4. A complex number $\alpha$ is an algebraic number if it is algebraic over Q.
It is not hard to see that the set of all algebraic numbers is a subfield of $\mathbb{C}$. It is called the algebraic closure of $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{C}$ and is denoted by $\overline{\mathbb{Q}}$.
Every element of a number field $K$ with $[K: \mathbb{Q}]=n$ is an algebraic number of degree at most $n$. By Theorem $3.2$, there is always an $\alpha$ in $K$ with deg $(\alpha)=$ $n$.
The following definition is crucial to what follows.
代数数论代考
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让一个成为戒指从[一世]高斯整数和p=2,3,4,…一个有理素数。这个p可能是也可能不是一个. 要准确找出它的确切时间，请回想关于两个平方和的著名的费马定理，该定理已被欧拉证明（参见 [8, p. 48]）。
定理 2.14（费马）。一个奇怪的素数p在从是两个平方的和(p=一个2+b2)当且仅当p=4ķ+1为了ķ在ñ.
的任何除数的范数一个=一个+一世b必须是的除数ñ(一个)=一个2+b2，并且对于一个=bC和b,C都是非单位，1<ñ(b)<ñ(一个)（只有单位有范数1）。因此，如果一个2+b2是素数，那么一个必须是素数从[一世]. 因此，我们证明了以下事实：
定理 2.15。一个素数p是两个平方的和，p=一个2+b2⇔p是一个产品(一个+一世b)(一个−一世b)两个素数一个±一世b在从[一世].
为了p=2, 它的两个素数1+一世,1−一世在从[一世]是联营公司：1+一世=一世(1−一世). 所以，
2=一世(1−一世)2.
我们说 2 分支在从[一世]. 由费马定理（定理 2.15），p≡1 (反对4)⇔p是一个产品
p=圆周率1圆周率2
两个素数圆周率1,圆周率2在从[一世]. 而且，圆周率1和圆周率2是彼此的复共轭，因此它们是不同的。这个讨论可以总结如下：为了做到这一点，请注意1,一世是一个从- 基地从[一世]它的共轭也是1,−一世. 这两个基地构成了一个2×2矩阵
一个=(1一世 1−一世)
和|这(一个)|=2，称为判别式问(一世).
定理 2.16。让p成为素数。然后
我）p延伸到从[一世]⇔它将判别式划分为问(一世),ii)p分解为两个不同的质数从[一世]⇔p≡1(反对4), 和 iii)p保持主要状态从[一世]⇔p≡3(反对4).
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让ķ/ķ是一个字段扩展并假设一个是一个元素ķ. 我们说一个是代数结束ķ如果一个满足一个非零多项式ķ. 认为n=暗淡ķ(ķ)是有限的并且一个在ķ. 然后n+1矢量图1,一个,…,一个n不能是线性独立的，因此满足非平凡的线性关系
C0+C1一个+⋯+Cn一个n=0
和Cj在ķ. 这不仅表明一个是代数结束ķ但也证明它至多是一个非零多项式的根n超过ķ. 多项式的最小次数ķ满足于一个被称为程度一个超过ķ. 它表示为你ķ(一个).
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代数数论的学科起源于研究环中算术的高斯从[一世]=X+一世是∣X,是∈从所谓的高斯整数。我们从一个关于字段扩展的有用事实开始，这对于本书将要讨论的内容是正确的。
定义 3.1。字段扩展ķ/ķ如果有一个元素是一个简单的扩展一个在ķ这样ķ=ķ(一个).
这里ķ(一个)是多项式的所有商的域一个超过ķ. 它是包含的最小字段ķ和一个. 我们说ķ已通过毗邻获得一个至ķ. 我们也说一个生成ķ超过ķ.
从现在开始，我们将视C，复数域，作为我们的通用域。这实质上意味着，除非另有说明，否则所有字段都应是C. 一个字段必须至少有两个不同的元素，即 0 和 1。因此，一个子字段C必须包含从，因此它必须是
的扩展问. 以下是场论的标准结果（cf.[8,p. 72] ).
定理 3.2。如果ķ是一个子域C, 然后任何有限扩展ķ/ķ是一个简单的扩展。
定义 3.3。数域是问. 一个数字字段ķ是二次场或三次场，根据[ķ:问]是 2 或 3 。我们称之为字段扩展ķ/ķ数字字段的扩展，如果ķ是数字字段的子字段ķ. 清楚地，ķ也是一个数字字段。
定义 3.4。一个复数一个是一个代数数，如果它是 Q 上的代数数。
不难看出，所有代数数的集合是C. 称为代数闭包问在C并表示为问¯.
数字字段的每个元素ķ和[ķ:问]=n最多是度的代数数n. 按定理3.2，总有一个一个在ķ带度(一个)= n.
以下定义对接下来的内容至关重要。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。