数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Integral Bases

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代数数论是数论的一个分支,它使用抽象代数的技术来研究整数、有理数及其泛化。数论问题用代数对象的属性来表达,如代数数域及其整数环、有限域和函数域。这些属性,如一个环是否允许唯一的因式分解,理想的行为,以及场的伽罗瓦群,可以解决数论中最重要的问题,如狄方达方程的解的存在。

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数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Integral Bases

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Integral Bases

Let $A$ be a commutative ring with 1 . Suppose $M \neq{0}$ is an $A$-module. We say that $M$ is a free $A$ – module of rank $n$ ( $n$ being an integer $\geq 1$ ) if there are $n$ elements $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}$ in $M$ such that every element $\alpha$ of $M$ can be uniquely written as
$$
\alpha=a_{1} \alpha_{1}+\cdots+a_{n} \alpha_{n}
$$
with $a_{j}$ in $A$. We write it as
$$
M=A \alpha_{1} \oplus \ldots \oplus A \alpha_{n}
$$
The set $\left{\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right}$ is called a basis of $M$ over $A$. If the elements of a basis are taken in a fixed order, it is called an ordered basis. In this section, we shall prove that for a number field $K$, its ring of integers $\mathcal{O}_{K}$ is a free $\mathbb{Z}$-module of rank $[K: k]$. We recall some basic facts needed from linear algebra and Galois theory.

Suppose $x=\left(x_{i j}\right)$ is in $M(n, A)$, that is $x$ is an $n$ by $n$ matrix with entries in $A$.

Definition 3.13. The trace $\operatorname{tr}(x)$ of $x$ is the sum $x_{11}+\cdots+x_{n n}$ of the diagonal entries of $x$.
The following theorem is obvious.
Theorem 3.14. Let $x, y$ be in $M(n, A)$ and $a$ in $A$. Then
(1) $\operatorname{tr}(x+y)=\operatorname{tr}(x)+\operatorname{tr}(y)$.
(2) $\operatorname{tr}(a x)=a \operatorname{tr}(x)$
(3) $\operatorname{tr}(x y)=\operatorname{tr}(y x)$.
Now suppose $M$ a free $A$-module of rank $n$ over $A$. Let $\lambda: M \rightarrow M$ be a homomorphism of $A$-modules, or simply an A-homomorphism. We associate a matrix $L$ over $A$ to $\lambda$ with respect to an ordered basis $\left{\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right}$ of $M$ over $A$ in the same way as to a linear transformation. If $L_{1}$ and $L_{2}$ are the matrices of $\lambda$ with respect to two ordered bases, then $L_{2}=P^{-1} L_{1} P$ for some $P$ in $G L(n, A)$, that is, for a matrix $P$ over $A$ whose determinant has multiplicative inverse in $A$.

For the rest of the section, let $K / k$ be an extension of number fields. Since the dimension $\operatorname{dim}{k}(K)$ cannot be more than $\operatorname{dim}{\mathrm{Q}}(K)$, it is clear that $K / k$ is a finite extension. We may regard $K$ as a $k$-module of rank $n=[K: k]$. For $\alpha$ in $K$, the multiplication by $\alpha$ is a $k$-homomorphism $m_{\alpha}: K \rightarrow K$. Let $L_{\alpha}$ be the matrix of $m_{\alpha}$ with respect to an ordered basis of $K$ over $k$.

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Quadratic Fields

A number field $K$ is a quadratic field if the degree $[K: \mathbb{Q}]=2$. By Theorem $3.18, K=\mathbb{Q}(\alpha)$, where $\alpha$ is a root of an irreducible polynomial $f(x)=a x^{2}+$ $b x+c$ of degree 2 over $\mathbb{Q}$. Since $\alpha$ is not a rational number, the discriminant $D=b^{2}-4 a c$ of $f(x)$ cannot be zero or a perfect square. Write $D=d m^{2}$, with the integer $d \neq 0,1$, having no square factor larger than 1. From the quadratic formula for solving quadratic polynomial equations, it is clear that $\mathbb{Q}(\alpha)=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$. We summarize this as

Proposition 3.30. A quadratic field $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ for a square-free integer $d \neq 0,1$.

The following theorem exhibits an integral basis of the ring of integers of a quadratic field explicitly.
Theorem 3.31. Suppose $d \neq 0,1$ is a square-free integer. Put
$$
\omega= \begin{cases}\sqrt{d} & \text { if } d \equiv 2,3 \quad(\bmod 4) \ \frac{1+\sqrt{d}}{2} & \text { if } d \equiv 1 \quad(\bmod 4)\end{cases}
$$
Then ${1, \omega}$ is an integral basis of $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$.
Proof. First we show that $\mathcal{O}{K} \supseteq \mathbb{Z}+\mathbb{Z}$. For this, all we need to show is that in case of $d \equiv 1(\bmod 4), \omega=(1+\sqrt{d}) / 2$ is a root of a monic polynomial of degree 2 over $\mathbb{Z}$. It is easy to see that $x^{2}-\operatorname{tr}{K / Q}(\omega) x+N_{K / k}(\omega) \in \mathbb{Z}[x]$ is such a polynomial. Next we show that $\mathcal{O}{K} \subseteq \mathbb{Z}+\mathbb{Z}$. Suppose $\alpha=a+b \sqrt{d} \in \mathcal{O}{K}$ with $a, b \in \mathbb{Q}$. We know that $n=N_{K / k}(\alpha)=a^{2}-d b^{2}, m=\operatorname{tr}_{K / k}(\alpha)=2 a \in \mathbb{Z}$. Now if $m$ is even, then $a \in \mathbb{Z} \Rightarrow d b^{2} \in \mathbb{Z}$. Since $d$ is square-free, this implies that $b \in \mathbb{Z}$. This shows that $\alpha \in \mathbb{Z}+\mathbb{Z} \omega$. If $m$ is odd, then $d b^{2}-\frac{1}{4} \in \mathbb{Z}$. Since $d$ is square-free, $b=c / 2$ with $c$ odd. This gives $\omega=\frac{1+\sqrt{d}}{2}$ and $d \equiv 1$ $(\bmod 4)$.

Corollary 3.32. The discriminant of the quadratic field $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$, where $d \neq 0,1$ is square-free, is given by
$$
d_{K}= \begin{cases}4 d & \text { if } d \equiv 2,3 \quad(\bmod 4) \ d & \text { if } d \equiv 1 \quad(\bmod 4)\end{cases}
$$
Proof. The two $\mathbb{Q}$-homomorphisms $\sigma_{i}: K \rightarrow \mathbb{C}$ are the identity $\sigma_{1}=1_{K}$ and the conjugation $\sigma_{2}$ defined by $\sigma_{2}(x+y \sqrt{d})=x-y \sqrt{d}$. Let $\left{\alpha_{1}, \alpha_{2}\right}$ be the integral basis of $K$ given by Theorem 3.31. Using $d_{K}=\left(\operatorname{det}\left(\sigma_{i}\left(\alpha_{j}\right)\right)\right)^{2}$, a short calculation is all we need.

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Unique Factorization Property for Ideals

Let $A$ be a commutative ring with 1. We recall the definition of an ideal of $A$. Suppose $a$ is a nonempty subset of $A$. We say that a is an ideal of $A$, if for every $a \in A$ and $x, y \in a, a x$ and $x+y \in a$. Every ideal contains 0 , the zero element of $A$. The whole ring $A$ itself is an ideal. An ideal a of $A$ is a proper ideal if $A \geqslant a$. If $a \geqslant{0}$, then we call a nonzero ideal.

Theorem 3.34. If $\mathfrak{A}$ is a nonzero ideal of $\mathcal{O}_{K}$, then $a=\mathfrak{2} \cap \mathbb{Z}$ is a nonzero ideal of $Z$.

Proof. If $0 \neq \alpha \in \mathfrak{A}$, then $\alpha$ satisfies a nonzero monic polynomial over $\mathbb{Z}$, i.e.
$$
a_{0}+a_{1} \alpha+\cdots+\alpha^{n}=0
$$
with $a_{j}$ in $\dddot{Z}$ and $a_{0} \neq 0$. Using the defining properties of an ideal, we see that $a_{0}=-a_{1} \alpha-\cdots-a_{n} \alpha^{n} \in \mathfrak{a} \cap \mathbb{Z}=a$.

Let $a$ be an ideal. The relation $x \sim y \Leftrightarrow x-y \in a$ is an equivalence relation which partitions $A$ into disjoint sets of the form $x+a={x+a \mid a \in a}$, called the cosets of a in $A$. This set of cosets is a ring, called the quotient of $A$ by a and is denoted by $A / a$. The ring operations on $A /$ a are defined in an obvious way, namely,
$$
(x+\mathbf{a})+(y+\mathbf{a})=(x+y)+\mathbf{a},(x+\mathbf{a})(y+\mathbf{a})=x y+\mathfrak{a}
$$
Remark 3.35. Let a be an ideal of $A$. The notation $x \equiv y$ (mod a) means that $x-y \in \mathfrak{a}$.

Definition 3.36. Suppose $m$ is a proper ideal of $A$. We call $m$ a maximal ideal if for no other proper ideal a, we can have $m \varsubsetneqq a$. We call a proper ideal $\mathfrak{p}$ a prime ideal, if $a, b \in A, a b \in \mathfrak{p}$ implies that either $a \in \mathfrak{p}$ or $b \in \mathfrak{p}$.
Theorem 3.37. Suppose a is an ideal of A. Then

  1. $a$ is maximal if and only if $A / a$ is a field.
  2. $a$ is prime if and only if $A / a$ is an integral domain.
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代数数论代考

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让A是与 1 的交换环。认为M≠0是一个A-模块。我们说M是免费的A– 等级模块n ( n是一个整数≥1) 如果有n元素α1,…,αn在M这样每个元素α的M可以唯一地写为

α=a1α1+⋯+anαn
和aj在A. 我们把它写成

M=Aα1⊕…⊕Aαn
套装\left{\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right}\left{\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right}被称为基础M超过A. 如果一个基的元素按固定顺序排列,则称为有序基。在本节中,我们将证明对于一个数域K, 它的整数环OK是免费的Z- 等级模块[K:k]. 我们回顾了线性代数和伽罗瓦理论所需的一些基本事实。

认为x=(xij)在M(n,A), 那是x是一个n经过n包含条目的矩阵A.

定义 3.13。痕迹tr⁡(x)的x是总和x11+⋯+xnn的对角线条目x.
下面的定理是显而易见的。
定理 3.14。让x,y在M(n,A)和a在A. 那么
(一)tr⁡(x+y)=tr⁡(x)+tr⁡(y).
(2) tr⁡(ax)=atr⁡(x)
(3) tr⁡(xy)=tr⁡(yx).
现在假设M免费A- 等级模块n超过A. 让λ:M→M是的同态A-modules,或者只是一个 A-同态。我们关联一个矩阵L超过A至λ关于有序基础\left{\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right}\left{\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right}的M超过A与线性变换相同。如果L1和L2是矩阵λ对于两个有序碱基,则L2=P−1L1P对于一些P在GL(n,A),也就是说,对于一个矩阵P超过A其行列式在A.

对于本节的其余部分,让K/k是数字字段的扩展。由于维度dim⁡k(K)不能超过dim⁡Q(K), 很清楚K/k是一个有限的扩展。我们可以认为K作为一个k- 等级模块n=[K:k]. 为了α在K,乘以α是一个k-同态mα:K→K. 让Lα是矩阵mα关于有序的基础K超过k.

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Quadratic Fields

一个数字字段K如果度数是二次域[K:Q]=2. 按定理3.18,K=Q(α), 在哪里α是不可约多项式的根f(x)=ax2+ bx+c2 级以上Q. 自从α不是有理数,判别式D=b2−4ac的f(x)不能为零或完全平方。写D=dm2, 与整数d≠0,1, 没有大于 1 的平方因子。从求解二次多项式方程的二次公式可以看出Q(α)=Q(d). 我们将其总结为

提案 3.30。二次场K=Q(d)对于无平方整数d≠0,1.

下面的定理明确地展示了二次域的整数环的积分基。
定理 3.31。认为d≠0,1是一个无平方整数。放

ω={d if d≡2,3(mod4) 1+d2 if d≡1(mod4)
然后1,ω是一个不可分割的基础K=Q(d).
证明。首先我们证明OK⊇Z+Z. 为此,我们需要证明的是,如果d≡1(mod4),ω=(1+d)/2是 2 次一元多项式的根Z. 很容易看出x2−tr⁡K/Q(ω)x+NK/k(ω)∈Z[x]是这样一个多项式。接下来我们展示OK⊆Z+Z. 认为α=a+bd∈OK和a,b∈Q. 我们知道n=NK/k(α)=a2−db2,m=trK/k⁡(α)=2a∈Z. 现在如果m是偶数,那么a∈Z⇒db2∈Z. 自从d是无平方的,这意味着b∈Z. 这表明α∈Z+Zω. 如果m是奇数,那么db2−14∈Z. 自从d是无正方形的,b=c/2和c奇怪的。这给ω=1+d2和d≡1 (mod4).

推论 3.32。二次场的判别式K=Q(d), 在哪里d≠0,1是无平方的,由下式给出

dK={4d if d≡2,3(mod4) d if d≡1(mod4)
证明。他们俩Q-同态σi:K→C是身份σ1=1K和共轭σ2被定义为σ2(x+yd)=x−yd. 让\left{\alpha_{1}, \alpha_{2}\right}\left{\alpha_{1}, \alpha_{2}\right}成为整体基础K由定理 3.31 给出。使用dK=(det⁡(σi(αj)))2,我们只需要一个简短的计算。

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Unique Factorization Property for Ideals

让A是一个与 1 的交换环。我们回忆一下理想的定义A. 认为a是一个非空子集A. 我们说a是一个理想A, 如果对于每个a∈A和x,y∈a,ax和x+y∈a. 每个理想都包含 0 ,即A. 整个戒指A本身就是一个理想。一个理想的A是一个适当的理想,如果A⩾a. 如果a⩾0,那么我们称其为非零理想。

定理 3.34。如果A是一个非零理想OK, 然后a=2∩Z是一个非零理想Z.

证明。如果0≠α∈A, 然后α满足一个非零单项多项式Z, IE

a0+a1α+⋯+αn=0
和aj在Z⃛和a0≠0. 使用理想的定义属性,我们看到a0=−a1α−⋯−anαn∈a∩Z=a.

让a成为一个理想。关系x∼y⇔x−y∈a是划分的等价关系A成不相交的形式集x+a=x+a∣a∈a,称为 a 的陪集A. 这组陪集是一个环,称为A由 a 和表示为A/a. 上环操作A/a 以一种明显的方式定义,即

(x+a)+(y+a)=(x+y)+a,(x+a)(y+a)=xy+a
备注 3.35。让a成为一个理想的A. 符号x≡y(mod a) 表示x−y∈a.

定义 3.36。认为m是一个适当的理想A. 我们称之为m一个最大理想如果没有其他适当的理想 a,我们可以有m⫋a. 我们称之为适当的理想p一个主要理想,如果a,b∈A,ab∈p意味着要么a∈p或者b∈p.
定理 3.37。假设 a 是 A 的一个理想。那么

  1. a是最大的当且仅当A/a是一个字段。
  2. a是素数当且仅当A/a是一个积分域。
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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

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