数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Minkowski’s Lemma on Convex Bodies

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代数数论是数论的一个分支,它使用抽象代数的技术来研究整数、有理数及其泛化。数论问题用代数对象的属性来表达,如代数数域及其整数环、有限域和函数域。这些属性,如一个环是否允许唯一的因式分解,理想的行为,以及场的伽罗瓦群,可以解决数论中最重要的问题,如狄方达方程的解的存在。

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数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Minkowski’s Lemma on Convex Bodies

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Minkowski’s Lemma on Convex Bodies

The Dirichlet’s unit theorem asserts that, up to the roots of unity in $K$, the group $\mathcal{O}{K}^{\times}$of units of $K$ is a free Abelian group of rank $r=r{1}+r_{2}-1$. [We shall define the non-negative integers $r_{1}$ and $r_{2}$ in the next section.] It is not very difficult to show that $r \leq r_{1}+r_{2}-1$. The harder part that $r=r_{1}+r_{2}-1$ follows from the famous lemma of Minkowski on convex bodies.

A subset $X \subseteq \mathbb{R}^{n}$ is convex if for all $\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}$ in $X$ and all real $t$ in the interval $[0,1]$, the vector $t \boldsymbol{u}+(1-t) \boldsymbol{v}$ is in $X$. That is, the line segment joining $\boldsymbol{u}$ to $\boldsymbol{v}$ is entirely in $X$. It is easy to see that if $X$ is convex in $\mathbb{R}^{m}$ and $Y$ is convex in $\mathbb{R}^{n}$, then $X \times Y$ is convex in $\mathbb{R}^{m+n}$. We call $X \subseteq \mathbb{R}^{n}$ centrally symmetric if $\boldsymbol{v} \in X$ implies $-\boldsymbol{v} \in X$.

Let $\mu$ be the Lebesgue measure on $\mathbb{R}^{n}$, that is, the measure on $\mathbb{R}^{n}$, such that for a cube $X \subseteq \mathbb{R}^{n}$ given by
$$
\begin{gathered}
X=\left{\boldsymbol{x}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n} \mid a_{j} \leq x_{j} \leq b_{j}\right} \
\mu(X)=\operatorname{vol}(X)=\prod_{j=1}^{n}\left(b_{j}-a_{j}\right)
\end{gathered}
$$
Let $L$ be a full lattice with a fundamental parallelepiped $P$, as in (5.4) and (5.5). Of course, $P$ depends on the choice of the $\mathbb{Z}$-basis $\left{\boldsymbol{v}{1}, \ldots, \boldsymbol{v}{n}\right}$ of $L$. However, any two $\mathbb{Z}$-bases of $L$ are related by a unimodular matrix, that is a matrix of determinant $\pm 1$ with entries in $\mathbb{Z}$. Since $\mu(P)$ is the absolute value of the determinant, whose rows are $\boldsymbol{v}{1}, \ldots, \boldsymbol{v}{n}$, it follows that the volume $\mu(P)$ of $P$ is independent of the choice of the basis. Thus, we may denote $\mu(P)$ also by $\mu(L)$.

Theorem $5.4$ (Minkowski’s Lemma). Suppose $X \subseteq \mathbb{R}^{n}$ is a bounded, centrally symmetric convex set and $L \subseteq \mathbb{R}^{n}$ is a full lattice. If $\mu(X)>2^{n} \mu(L)$, then $X$ contains a nonzero vector of $L$.

Proof. First we show that if $Y \subseteq \mathbb{R}^{n}$ is a bounded set, such that ${\boldsymbol{v}+Y \mid \boldsymbol{v} \in$ $L}$ is a family of disjoint subsets of $\mathbb{R}^{n}$, then $\mu(Y) \leq \mu(P)$, where $P$ is a fundamental parallelepiped of $L$. This is almost immediate, because writing $Y$ as the disjoint union
$$
Y=\cup_{v \in L} Y \cap(v+P),
$$
we have by $(5.6), \mu(Y)=\sum_{v \in L} \mu(Y \cap(v+P))$.
Since $\mu$ is translation invariant, $\mu(Y \cap(v+P))=\mu((-v+Y) \cap P)$. Hence $\mu(Y)=\sum_{v \in L} \mu((-v+Y) \cap P) \leq \mu(P)$, because the sets $-v+Y$ are also pairwise disjoint.

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Logarithmic Embedding

Suppose $K \subseteq \mathbb{C}$ is a number field of degree $n$ over $\mathbb{Q}$. Consider a ring homomorphism $\sigma: K \rightarrow \mathbb{C}$. We require that $\sigma(1)=1$. Hence $\sigma_{\mid \mathbb{Q}}=1_{\mathrm{Q}}$, the identity map on $\mathbb{Q}$. Such a $\sigma$ is clearly injective. [Its kernel Ker $(\sigma)$ is an ideal of the field $K$, which can only be ${0}$ or $K$.] Hence, we call $\sigma$ a Q-isomorphism of $K$ into $\mathbb{C}$. There are exactly $n \mathbb{Q}$-isomorphisms of $K$ into $\mathbb{C}$. To see this, write $K=\mathbb{Q}(\alpha)$. If $\sigma$ is a $\mathbb{Q}$-isomorphism of $K$ into $\mathbb{C}$, it is determined by $\sigma(\alpha)$, which is a conjugate of $\alpha$. But there are exactly $n$ conjugates of $\alpha$ over $\mathbb{Q}$.
One may regard such a $\sigma: K \rightarrow \mathbb{C}$ also an injective linear transformation of vector spaces, when $K$ and $\mathbb{C}$ are viewed as vector spaces over $\mathbb{Q}$. Unless stated to the contrary $\sigma: K \rightarrow \mathbb{C}$ will be a $\mathbb{Q}$-isomorphism.

If $\sigma(K) \subseteq \mathbb{R}$, we call $\sigma$ a real imbedding, otherwise it is a complex imbedding. If $\sigma$ is complex, the map $\bar{\sigma}: K \rightarrow \mathbb{C}$, given by $\bar{\sigma}(x)=\overline{\sigma(x)}$ is also a $\mathbb{Q}$ isomorphism. Thus, the complex $\mathbb{Q}$-isomorphisms occur in pairs. We shall denote the real $\mathbb{}$ complex ones by $\sigma_{r_{1}+1}, \overline{\sigma_{r_{1}+1}}, \ldots ; \sigma_{r_{1}+r_{2}}, \overline{\sigma_{r_{1}+r_{2}}}$. In particular, $n=r_{1}+2 r_{2}$.
Consider $\mathbb{C}$ as a vector space of dimension two over $\mathbb{R}$ with ${1, i}$ as the standard basis. If $z=x+i y \in \mathbb{C}$, the multiplication by $z$ is a linear transformation of $\mathbb{C}$ into itself over $\mathbb{R}$. Its matrix relative to the basis ${1, i}$ is easily seen to be $T=\left(\begin{array}{cc}x & y \ -y & x\end{array}\right)$ with determinant
$$
\operatorname{det}(T)=x^{2}+y^{2}=|z|^{2}
$$
If we identify $\mathbb{C}$, as a vector space over $\mathbb{R}$ with $\mathbb{R}^{2}$, via the map $x+i y \rightarrow\left(\begin{array}{l}x \ y\end{array}\right)$, then $\mathbb{R}^{r_{1}} \times \mathbb{C}^{r_{2}} \cong \mathbb{R}^{n}$.

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Units of a Quadratic Field

Let $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})(d \neq 0,1$, a square-free integer $)$ be a quadratic field. We call $K$ a real quadratic field or an imaginary quadratic field according as $d>0$ or $d<0$. If $K$ is an imaginary quadratic field, then $r_{1}=0, r_{2}=1$, so $r=r_{1}+r_{2}-1=0$. In this case, $\mathcal{O}{K}^{\times}=W{K}$, the roots of unity in $K$. We leave it as an exercise to determine this finite group $W_{K}$.

For the real quadratic field, $r=1$ and the group of units is given by the following corollary.

Corollary 5.15. If $d>1$ is a square-free integer and $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$, then the group
$$
\mathcal{O}_{K}^{\times} \cong{\pm 1} \times \mathbb{Z} .
$$
In particular, the Pell equation $x^{2}-d y^{2}=1$ has infinitely many solutions in integers.
EXERCISES

  1. Determine the structure of $\mathcal{O}_{K}^{\times}$when $[K: \mathbb{Q}]=3$ and 4 .
  2. Use Dirichlet’s unit theorem to find all integer solutions of $5 x^{2}-$ $5 y^{2}=y^{4}$.
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代数数论代考

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Minkowski’s Lemma on Convex Bodies

狄利克雷单位定理断言,直到单位的根ķ, 群组○ķ×的单位ķ是一个自由阿贝尔秩群r=r1+r2−1. [我们将定义非负整数r1和r2在下一节中。] 证明这一点并不难r≤r1+r2−1. 更难的部分r=r1+r2−1遵循凸体上著名的 Minkowski 引理。

一个子集X⊆Rn如果对所有人都是凸的在,在在X而且都是真实的吨在区间[0,1], 向量吨在+(1−吨)在在X. 也就是加入的线段在至在完全在X. 很容易看出,如果X是凸的R米和是是凸的Rn, 然后X×是是凸的R米+n. 我们称之为X⊆Rn中心对称如果在∈X暗示−在∈X.

让μ成为 Lebesgue 测度Rn,也就是对Rn, 这样对于一个立方体X⊆Rn由

\begin{聚集} X=\left{\boldsymbol{x}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n} \mid a_{j } \leq x_{j} \leq b_{j}\right} \ \mu(X)=\operatorname{vol}(X)=\prod_{j=1}^{n}\left(b_{j} -a_{j}\right) \end{聚集}\begin{聚集} X=\left{\boldsymbol{x}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n} \mid a_{j } \leq x_{j} \leq b_{j}\right} \ \mu(X)=\operatorname{vol}(X)=\prod_{j=1}^{n}\left(b_{j} -a_{j}\right) \end{聚集}
让大号是一个具有基本平行六面体的完整格子磷,如(5.4)和(5.5)。当然,磷取决于选择的从-基础\left{\boldsymbol{v}{1}, \ldots, \boldsymbol{v}{n}\right}\left{\boldsymbol{v}{1}, \ldots, \boldsymbol{v}{n}\right}的大号. 然而,任何两个从- 基地大号由一个单模矩阵相关,即行列式矩阵±1与条目从. 自从μ(磷)是行列式的绝对值,其行是在1,…,在n,因此体积μ(磷)的磷与基的选择无关。因此,我们可以表示μ(磷)也由μ(大号).

定理5.4(闵可夫斯基引理)。认为X⊆Rn是有界的中心对称凸集,并且大号⊆Rn是一个完整的格子。如果μ(X)>2nμ(大号), 然后X包含一个非零向量大号.

证明。首先我们证明如果是⊆Rn是有界集,使得在+是∣在∈$$大号是一组不相交的子集Rn, 然后μ(是)≤μ(磷), 在哪里磷是一个基本的平行六面体大号. 这几乎是立竿见影的,因为写作是作为不相交的联盟

是=∪在∈大号是∩(在+磷),
我们有(5.6),μ(是)=∑在∈大号μ(是∩(在+磷)).
自从μ是平移不变的,μ(是∩(在+磷))=μ((−在+是)∩磷). 因此μ(是)=∑在∈大号μ((−在+是)∩磷)≤μ(磷), 因为集合−在+是也是成对不相交的。

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Logarithmic Embedding

认为ķ⊆C是度数域n超过问. 考虑环同态σ:ķ→C. 我们要求σ(1)=1. 因此σ∣问=1问, 上的恒等映射问. 这样一个σ显然是单射的。[它的内核Ker(σ)是一个理想的领域ķ, 这只能是0或者ķ.] 因此,我们称σ的 Q-同构ķ进入C. 正好有n问- 的同构ķ进入C. 要看到这个,写ķ=问(一个). 如果σ是一个问-同构ķ进入C,它由下式确定σ(一个),这是一个共轭一个. 但是确实有n的共轭一个超过问.
可以认为这样一个σ:ķ→C也是向量空间的单射线性变换,当ķ和C被视为向量空间问. 除非另有说明σ:ķ→C将是一个问-同构。

如果σ(ķ)⊆R, 我们称之为σ一个真正的嵌入,否则它是一个复杂的嵌入。如果σ很复杂,地图σ¯:ķ→C, 由σ¯(X)=σ(X)¯也是一个问同构。因此,复杂问-同构成对出现。我们将表示真实的复杂的由σr1+1,σr1+1¯,…;σr1+r2,σr1+r2¯. 尤其是,n=r1+2r2.
考虑C作为一个二维的向量空间R和1,一世作为标准依据。如果和=X+一世是∈C,乘以和是一个线性变换C进入自身R. 它的矩阵相对于基1,一世很容易被视为吨=(X是 −是X)与行列式

这⁡(吨)=X2+是2=|和|2
如果我们确定C, 作为一个向量空间R和R2, 通过地图X+一世是→(X 是), 然后Rr1×Cr2≅Rn.

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让ķ=问(d)(d≠0,1, 一个无平方整数)是一个二次场。我们称之为ķ一个实二次场或一个虚二次场,根据d>0或者d<0. 如果ķ是一个虚构的二次场,那么r1=0,r2=1, 所以r=r1+r2−1=0. 在这种情况下,$\mathcal{O} {K}^{\times}=W {K},吨H和r○○吨s○F在n一世吨是一世nķ.在和l和一个在和一世吨一个s一个n和X和rC一世s和吨○d和吨和r米一世n和吨H一世sF一世n一世吨和Gr○在pW_{K}$。

对于实二次场,r=1并且单元组由以下推论给出。

推论 5.15。如果d>1是一个无平方整数并且ķ=问(d), 那么组

○ķ×≅±1×从.
特别是,Pell 方程X2−d是2=1有无穷多个整数解。
练习

  1. 确定结构○ķ×什么时候[ķ:问]=3和 4 。
  2. 使用狄利克雷单位定理求所有整数解5X2− 5是2=是4.
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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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