数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Review of the Prerequisite Material

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代数数论是数论的一个分支,它使用抽象代数的技术来研究整数、有理数及其泛化。数论问题用代数对象的属性来表达,如代数数域及其整数环、有限域和函数域。这些属性,如一个环是否允许唯一的因式分解,理想的行为,以及场的伽罗瓦群,可以解决数论中最重要的问题,如狄方达方程的解的存在。

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  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Review of the Prerequisite Material

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Basic Concepts

A group is a pair $(G, )$ of a nonempty set $G$ and a binary operation $$ on $G$, i.e. a map $G \times G \ni(x, y) \rightarrow x * y \in G$, called the group law on $G$ with the following properties:
i) The group law is associative: for all $x y, z$ in $G,(x * y) * z=x *(y * z)$,
ii) there is an element $e$ in $G$, called the identity, such that $e * x=x * e=x$ for all $x$ in $G$ and
iii) for each $x$ in $G$ there is a $y$ in $G$, such that $x * y=y * x=e$.
We denote $y$ by $x^{-1}$, the inverse of $x$. We call the group $(G, *)$ Abelian if for all $x, y$ in $G, x * y=y * x$. In this case $*$ is usually denoted by $+x^{-1}$ by $-x$, and $e$ by 0 . We call $-x$ the additive inverse of $x$. Often the product $x * y$ is written simply as $x y$ and $x^{-1}$ is called the multiplicative inverse of $x$.

It turns out that $e$ and $x^{-1}$ are unique. The most familiar examples of Abelian groups are $(G,+)$ with $G=\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$ and $\mathbb{C}$. An example of a nonAbelian group is the general linear group $G L(n, \mathbb{Z})$ of $n \times n$ matrices with integer entries and determinant $\pm 1$ under matrix multiplication.

A ring is set $A$ with at least two distinct elements, denoted by 0 and 1 having two binary operations (addition and multiplication) such that
i) $(A,+)$ is an Abelian group with 0 as its identity,

ii) $1 x=x 1=x$ for all $x$ in $A$ and
iii) the multiplication is associative and distributive over the addition:
$$
x(y+z)=x y+x z \text { and }(x+y) z=x z+y z .
$$

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Galois Extensions

We assume all our fields to be subfields of $\mathbb{C}$. Let $K / k$ be a field extension. The set $\mathrm{Gal}(K / k)$ of the field automorphisms $\sigma$ of $K$ such that $\sigma(a)=a$ for all $a$ in $k$ is a (usually non-Abelian) group under the composition of maps. It is called the Galois group of $K$ over $k$. In general, for a finite extension $K / k$, $|\operatorname{Gal}(K / k)| \leq[K: k]$. We call $K / k$ a Galois extension if the equality holds.
Examples of Galois Groups
First, let $K / k$ be any field extension, not necessarily finite. Let $\alpha$ in $K$ be a root of a polynomial
$$
f(x)=c_{0}+c_{1} x+\cdots+c_{n} x^{n}
$$
over $k$. If $\sigma \in \operatorname{Gal}(K / k)$, then
$$
\begin{aligned}
f(\sigma(\alpha)) &=c_{0}+c_{1} \sigma(\alpha)+\cdots+c_{n}(\sigma(\alpha))^{n} \
&=\sigma(f(\alpha))=\sigma(0)=0
\end{aligned}
$$
Thus $\sigma(\alpha)$ is also a root of $f(x)$. This simple observation will be crucial to what follows.

Let $K$ be a quadratic field, a field extension of $\mathbb{Q}$ of degree 2 . Then one checks that (Exercise 16 ) $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})={r+s \sqrt{d} \mid r, s \in \mathbb{Q}}$ for a square-free integer $d \neq 0,1$.

Example 2.1. Let us take $d=-1$. There are exactly two automorphisms of $K$ whose restrictions to $\mathbb{Q}$ is the identity map on $Q$. The identity map 1 on $K$ itself and $\sigma$ which takes $i$ to its conjugate, the other root $-i$ of $x^{2}+1$. Thus $\operatorname{Gal}(K / k) \cong{\pm 1}$ and $Q(i)$ is a Galois extension of $\mathbb{Q}$.

Example 2.2. Now take $d=-3$. Then $\mathbb{Q}(\omega)={r+s \omega \mid r, s \in \mathbb{Q}}$. The Galois group $\operatorname{Gal}(K / k)$ consists of two elements, the identity automorphism 1 of $K$ and the automorphism $\sigma$ of $K$ such that $\sigma(\omega)=\bar{\omega}$. [Note that $\bar{\omega}=\omega^{2}=\frac{1}{\omega}$.] Hence $\mathbb{Q}(\omega) / \mathbb{Q}$ is also an Abelian extension.

Example 2.3. Let $\alpha$ be the real cube root of $2, \alpha=\sqrt[3]{2}, K=\mathbb{Q}(\alpha)$ the smallest subfield of $\mathbb{C}$ containing $\alpha$. The other cube roots of 2 which are $\omega \alpha$ and $\omega^{2} \alpha$ are not in $K$. Thus there is only one element in the Galois

group $\operatorname{Gal}(K / \mathbb{Q})$, namely the identity element of the group $\operatorname{Gal}(K / \mathbb{Q})$. Since $[K: \mathbb{Q}]=3$ but $|\operatorname{Gal}(K / \mathbb{Q})|=1$, the extension $K / \mathbb{Q}$ is not Galois.
The following is a standard result in field theory:
Theorem 2.4. If $K / k$ is a field extension of degree $d$, then there is an $\alpha$ in $K$ such that $1, \alpha, \alpha^{2}, \ldots, \alpha^{d-1}$ is a basis of $K$ as a vector space over $k$.
In fact, $\alpha$ is a root of an irreducible polynomial $f(x)$ over $k$ of degree $d$.
Definition 2.5. If all the $d$ roots of this $f(x)$ are in $K$, we call the extension $K / k$ normal.

Remark 2.6. i) According to our definition of the Galois extension, an extension is normal if and only if it is Galois.
ii) The Galois group Gal $(K / k)$ is often defined only for normal extensions, in which case $\operatorname{Gal}(K / k)$ is always equal to the degree $[K: k]$ of the field extension $K / k$.

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Integral Domains

A nonzero element $a$ of a ring $A$ (always commutative) is called a zero divisor if $a b=0$ for a nonzero $b$ in $A$. In the ring $\mathbb{Z} / 6 \mathbb{Z}, 2,3$, and 4 are the only divisors of zero. A field has no divisor of zero. A ring without zero divisors is called an integral domain or simply a domain. We have already discussed many integral domains which are not fields, e.g. $\mathbb{Z}, \mathbb{Z}[i], \mathbb{Z}[\omega]$ and $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ for $d \neq 0$, a square-free integer, which are relevant to our subject.

An element $u$ in $A$ is a unit if $u v=1$ for some $v$ in $B$. For example, the only units in the ring $\mathbb{Z}$ are $\pm 1$.

Definition 2.7. A domain $A$ is a Euclidean domain if there is a map which assigns to each nonzero element $\alpha$ of $A$ a non-negative integer $d(\alpha)$ such that for all nonzero $\alpha, \beta$ in $A$,
i) $d(\alpha) \leq d(\alpha \beta)$, and
ii) $A$ has elements $q$ (the quotient) and $\gamma$ (the remainder) so that $\alpha=q \beta+\gamma$ and either $\gamma=0$ or $d(\gamma)<d(\beta)$.

With the Euclidean algorithm, both $\mathbb{Z}$ and the ring $k[x]$ of polynomials over a field $k$ are Euclidean domains. For $\mathbb{Z}, d(\alpha)=|\alpha|$ and for $k[x], d(f(x))=$ $\operatorname{deg} f(x)$.

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代数数论代考

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Basic Concepts

一组是一对(G,)非空集G和一个二元运算 $$ onG,即地图G×G∋(X,是)→X∗是∈G,称为群定律G具有以下性质:
i) 群律是结合的:对于所有X是,和在G,(X∗是)∗和=X∗(是∗和),
ii) 有一个元素和在G,称为恒等式,这样和∗X=X∗和=X对所有人X在Giii
) 对于每个X在G有一个是在G, 这样X∗是=是∗X=和.
我们表示是经过X−1, 的倒数X. 我们叫群(G,∗)阿贝尔如果对所有人X,是在G,X∗是=是∗X. 在这种情况下∗通常表示为+X−1经过−X, 和和由 0 。我们称之为−X的加法逆X. 往往是产品X∗是简单地写成X是和X−1称为乘法逆X.

事实证明和和X−1是独一无二的。阿贝尔群最常见的例子是(G,+)和G=从,问,R和C. 非阿贝尔群的一个例子是一般线性群G大号(n,从)的n×n具有整数项和行列式的矩阵±1在矩阵乘法下。

设置了一个戒指一个具有至少两个不同的元素,用 0 和 1 表示,具有两个二元运算(加法和乘法),使得
i)(一个,+)是一个以 0 为恒等式的阿贝尔群,

ii)1X=X1=X对所有人X在一个
iii) 乘法对加法是关联和分布的:

X(是+和)=X是+X和 和 (X+是)和=X和+是和.

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Galois Extensions

我们假设我们所有的领域都是C. 让ķ/ķ是一个字段扩展。套装G一个l(ķ/ķ)域自同构σ的ķ这样σ(一个)=一个对所有人一个在ķ是映射组成下的一个(通常是非阿贝尔)群。称为伽罗瓦群ķ超过ķ. 一般来说,对于有限扩展ķ/ķ, |加尔⁡(ķ/ķ)|≤[ķ:ķ]. 我们称之为ķ/ķ如果等式成立,则为伽罗瓦扩展。
伽罗瓦群的例子
首先,让ķ/ķ是任何域扩展,不一定是有限的。让一个在ķ是多项式的根

F(X)=C0+C1X+⋯+CnXn
超过ķ. 如果σ∈加尔⁡(ķ/ķ), 然后

F(σ(一个))=C0+C1σ(一个)+⋯+Cn(σ(一个))n =σ(F(一个))=σ(0)=0
因此σ(一个)也是一个根F(X). 这个简单的观察对于接下来的内容至关重要。

让ķ是一个二次场,一个场扩展问2 级。然后检查(练习 16)ķ=问(d)=r+sd∣r,s∈问对于无平方整数d≠0,1.

例 2.1。让我们采取d=−1. 恰好有两个自同构ķ谁的限制问是身份图在问. 身份图 1 上ķ本身和σ这需要一世与其共轭,另一个根−一世的X2+1. 因此加尔⁡(ķ/ķ)≅±1和问(一世)是一个伽罗瓦扩展问.

例 2.2。现在拿d=−3. 然后问(ω)=r+sω∣r,s∈问. 伽罗瓦群加尔⁡(ķ/ķ)由两个元素组成,恒等自同构 1ķ和自同构σ的ķ这样σ(ω)=ω¯. [注意ω¯=ω2=1ω。] 因此问(ω)/问也是阿贝尔扩展。

例 2.3。让一个是真正的立方根2,一个=23,ķ=问(一个)的最小子域C包含一个. 2的其他立方根是ω一个和ω2一个不在ķ. 因此伽罗瓦中只有一个元素

团体加尔⁡(ķ/问),即群的标识元素加尔⁡(ķ/问). 自从[ķ:问]=3但|加尔⁡(ķ/问)|=1, 扩展ķ/问不是伽罗瓦。
以下是场论的标准结果:
定理 2.4。如果ķ/ķ是学位的领域延伸d, 那么有一个一个在ķ这样1,一个,一个2,…,一个d−1是一个基础ķ作为一个向量空间ķ.
实际上,一个是不可约多项式的根F(X)超过ķ学位d.
定义 2.5。如果所有的d这个的根源F(X)在ķ, 我们称之为扩展ķ/ķ普通的。

备注 2.6。i) 根据我们对伽罗瓦扩展的定义,一个扩展是正规的当且仅当它是伽罗瓦。
ii) 伽罗瓦群 Gal(ķ/ķ)通常只为正常扩展定义,在这种情况下加尔⁡(ķ/ķ)总是等于度数[ķ:ķ]字段扩展ķ/ķ.

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Integral Domains

一个非零元素一个一个戒指一个(总是可交换的)被称为零除数,如果一个b=0对于非零b在一个. 在环中从/6从,2,3, 和 4 是唯一的零除数。一个字段没有零除数。没有零因数的环称为整数域或简称域。我们已经讨论了许多不是域的整数域,例如从,从[一世],从[ω]和从[d]为了d≠0,一个与我们的主题相关的无平方整数。

一个元素在在一个是一个单位,如果在在=1对于一些在在乙. 例如,环中唯一的单位从是±1.

定义 2.7。一个域一个如果存在分配给每个非零元素的映射,则为欧几里得域一个的一个一个非负整数d(一个)这样对于所有非零一个,b在一个,
我)d(一个)≤d(一个b), 和
ii)一个有元素q(商)和C(余数)这样一个=qb+C并且要么C=0或者d(C)<d(b).

使用欧几里得算法,两者从和戒指ķ[X]域上的多项式ķ是欧几里得域。为了从,d(一个)=|一个|并且对于ķ[X],d(F(X))= 你⁡F(X).

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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