数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|What Is Number Theory

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代数数论是数论的一个分支,它使用抽象代数的技术来研究整数、有理数及其泛化。数论问题用代数对象的属性来表达,如代数数域及其整数环、有限域和函数域。这些属性,如一个环是否允许唯一的因式分解,理想的行为,以及场的伽罗瓦群,可以解决数论中最重要的问题,如狄方达方程的解的存在。

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数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|What Is Number Theory

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|What Is Number Theory

Number Theory is the study of numbers, in particular the whole numbers $1,2,3, \ldots$, also called the natural numbers. The set of natural numbers is denoted by $\mathbb{N}$. Leaving aside the unit 1 , these numbers fall into two categories: The indivisible numbers $2,3,5,7, \ldots$ are the primes, and the rest $4,6,8,9,10, \ldots$ composed of primes, are the composite numbers. The following basic facts, with proofs, about these numbers were already known to Euclid around 300 B.C.
Theorem 1.1. There are infinitely many primes.
Theorem 1.2 (Fundamental Theorem of Arithmetic). Every natural number $n>1$ is a unique product
$$
n=p_{1}^{e_{1}} \ldots p_{r}^{c_{r}} \quad(r \geq 1)
$$
of powers of distinct primes $p_{1}, \ldots, p_{r}$, taken in some order.
By looking at the list of primes, one can ask several naive but still unanswered questions. For example, is there an endless supply of twin primes? We call a pair of primes $q, p$ twin primes if $p=q+2$. [This is the closest two odd primes can be to each other.] A glance at the list
$$
3,5 ; 5,7 ; 11,13 ; 17,19 ; 29,31 ; \ldots
$$
suggests that there are infinitely many pairs of twin primes, but no one has ever been able to prove this so far. Another big problem in number theory is the unproven conjecture of Goldbach, which asserts that every even number larger than 2 is a sum of two primes.

Many questions in number theory arise naturally in the study of geometry. The most fundamental fact in Euclidean geometry is the theorem of Pythagoras, which may be called the fundamental theorem of geometry. Actually, it was known to the Egyptians and Babylonians about two thousand years earlier, but they had no rigorous proof of it like Euclid did.

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Methods of Proving Theorems in Number Theory

The method that has been used since antiquity is the unique factorization. Let us recall Euclid’s proof of Theorem 1.1.

It follows from the unique factorization (1.1) that any $n>1$ is either a prime or has a prime factor. To prove Theorem $1.1$ by contradiction, suppose there are only finitely many primes, say $p_{1}, \ldots, p_{r}$. Now consider the number $n=p_{1} \ldots p_{\mathrm{r}}+1$. It is not a prime because it is larger than every prime $p_{j}$. So, it has a prime factor, say $p_{1}$. Therefore $n=p_{1} a$ for an integer $a$. This implies that $1=p\left(a-p_{2} \ldots p_{r}\right)$. This is a contradiction because 1 has no prime factor.

Another example of such a proof is the proof below by Euler (1770) of the following claim of Fermat (1657): 27 is the only cube that exceeds a square by 2. In modern terminology, $(3, \pm 5)$ are the only points with integer coordinates on the elliptic curve
$$
y^{2}=x^{3}-2 .
$$
Proof. In the ring $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]={a+b \sqrt{-2} \mid a, b \in \mathbb{Z}}$, which is a UFD (see Exercise 8, Chapter 2), we use the factorization
$$
x^{3}=y^{2}+2=(y+\sqrt{-2})(y-\sqrt{-2}) .
$$
In general, in a UFD, if $\alpha, \beta$ have no common factor other than units, and $\alpha \beta=\gamma^{m}$ for an integer $m>0$, then $\alpha=\alpha_{1}^{m}$ and $\beta=\beta_{1}^{m}$ for some $\alpha_{1}, \beta_{1}$ in it. Therefore
$$
y+\sqrt{-2}=(a+b \sqrt{-2})^{3} \text { for } a, b \in \mathbb{Z} .
$$
By expanding $(a+b \sqrt{-2})^{3}$ and comparing the real/imaginary parts, we get
$$
1=b\left(3 a^{2}-2 b^{2}\right), y=a^{3}-6 a b^{2} .
$$
But the first equation in (1.7) can hold only if $b=1$ and $a=\pm 1$. This implies $y=\pm 5$.

  1. Analytic Methods
    Euler initiated what we call the analytic number theory. The study of infinite series (analysis) can lead to interesting results in number theory. Let us recall Euler’s proof of the infinitude of primes. Leaving aside the issue of convergence, by multiplying the infinite series formally, one sees that
    $$
    \begin{aligned}
    \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}=& \sum_{n=1} \frac{1}{p_{1}^{e_{1}} \ldots p_{r}^{e_{r}}}=\prod_{p}\left(1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^{2}}+\cdots\right), \text { i.e. } \
    & \frac{1}{n}=\prod_{p}^{\infty}\left(1-\frac{1}{p}\right)^{-1}
    \end{aligned}
    $$
    the product (called the Euler product) taken over all primes $p$. Note that the first equality is a consequence of the unique factorization (1.1).

The partial sums $\sum_{n=1}^{N-1} \frac{1}{n}$ of the series $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ are bounded from below by the area (cf. Figure 1.1) $\int_{1}^{N} \frac{d x}{x}=\ln N$, which goes to infinity as $N$ goes to infinity.

数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Techniques from Algebraic Geometry

Algebraic geometry is the study of the solutions of polynomial equations in a number of variables $x_{1}, \ldots, x_{n}$ with values of $x_{j}$ in a field $K$. Unless we assume $K$ to be algebraically closed, such as the field $\mathbb{C}$ of complex numbers, the subject is not satisfactory. For example, $x^{2}+y^{2}+1=0$ has no solution with $x, y$ even in such a big field as $\mathbb{R}$, the field of real numbers. Moreover, a line (equation of degree 1) is supposed to meet a circle (equation of degree 2) in two points. This rarely happens, but happens every time (in the projective plane $\mathbb{P}^{2}(\mathbb{C})$ ), thanks to Bezout’s Theorem: Two curves of degree $d_{1}, d_{2}$ with no component in common intersect in $d_{1} d_{2}$ points in the projective plane $\mathbb{P}^{2}(\mathbb{C})$, counted properly.

The arithmetic algebraic geometry is the subject in which algebraic geometric methods are used to answer questions in number theory. We illustrate it by finding the primitive Pythagorean triples, which is the same as finding the rational points (points with rational coordinates) on the unit circle
$$
X^{2}+Y^{2}=1
$$
with the rational numbers $X, Y$ in the lowest form. A primitive Pythagorean triple $(x, y, z)$ gives such a rational point with $X=\frac{x}{z}, Y=\frac{y}{z}$, and vice versa.

To obtain an algorithm to find all the primitive Pythagorean triples $(x, y, z)$, we parameterize the unit circle (1.9) by the slope $t$ of the line through the fixed point $(-1,0)$ and a variable point $(X, Y)$ on this circle (cf. Figure 1.2).
Substituting for $X$ from the equation $X=t Y-1$ of this line in equation (1.9) of the unit circle, an easy calculation shows that
$$
Y=\frac{2 t}{1+t^{2}} \text { and } X=t Y-1=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} .
$$
If we run $t$ through all rational numbers in the lowest form $t=\frac{a}{b}$, we get the following result:
FIGURE 1.2: Rational points on the unit circle.
Theorem 1.6. Every primitive Pythagorean triplet $(x, y, z)$ is of the form
$$
x=a^{2}-b^{2}, y=2 a b, z=a^{2}+b^{2},
$$
where $a, b(a>b)$ are positive integers of opposite parity (one odd, the other even) with no common factor.

Note that the condition of opposite parity is necessary because otherwise $x$, $y, z$ are all even, so $(x, y, z)$ is not primitive. We also remark that switching $x$ and $y$ does not produce a different Pythagorean triplet.

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代数数论代考

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数论是对数字的研究,尤其是整数1,2,3,…,也称为自然数。自然数集表示为ñ. 撇开单位 1 不谈,这些数字分为两类: 不可分割的数字2,3,5,7,…是素数,其余的4,6,8,9,10,…由质数组成,是合数。欧几里得在公元前 300 年左右就已经知道以下关于这些数字的基本事实和证明
。定理 1.1。有无穷多个素数。
定理 1.2(算术基本定理)。每个自然数n>1是独一无二的产品

n=p1和1…prCr(r≥1)
不同素数的幂p1,…,pr,按某种顺序排列。
通过查看素数列表,人们可以提出几个幼稚但仍然没有答案的问题。例如,是否有无穷无尽的孪生素数?我们称一对素数q,p孪生素数如果p=q+2. [这是最接近的两个奇数素数。] 一览表

3,5;5,7;11,13;17,19;29,31;…
表明存在无限多对孪生素数,但迄今为止没有人能够证明这一点。数论中的另一个大问题是未经证实的哥德巴赫猜想,它断言每个大于 2 的偶数都是两个素数的和。

数论中的许多问题在几何研究中自然而然地出现。欧几里得几何中最基本的事实是毕达哥拉斯定理,可以称为几何基本定理。实际上,大约两千年前,埃及人和巴比伦人就知道了,但他们没有像欧几里得那样严格的证据。

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自古以来一直使用的方法是独特的因式分解。让我们回顾一下欧几里得对定理 1.1 的证明。

从唯一的因式分解(1.1)可以得出,任何n>1要么是素数,要么有素因子。证明定理1.1通过矛盾,假设只有有限多个素数,比如说p1,…,pr. 现在考虑数字n=p1…pr+1. 它不是素数,因为它比所有素数都大pj. 所以,它有一个主要因素,比如说p1. 所以n=p1一个对于一个整数一个. 这意味着1=p(一个−p2…pr). 这是一个矛盾,因为 1 没有素因数。

这种证明的另一个例子是 Euler (1770) 对 Fermat (1657) 的以下主张的证明: 27 是唯一一个超过正方形 2 的立方体。在现代术语中,(3,±5)是椭圆曲线上唯一具有整数坐标的点

是2=X3−2.
证明。在环中从[−2]=一个+b−2∣一个,b∈从,这是一个 UFD(参见练习 8,第 2 章),我们使用分解

X3=是2+2=(是+−2)(是−−2).
通常,在 UFD 中,如果一个,b除了单位之外没有公因数,并且一个b=C米对于一个整数米>0, 然后一个=一个1米和b=b1米对于一些一个1,b1在里面。所以

是+−2=(一个+b−2)3 为了 一个,b∈从.
通过扩展(一个+b−2)3并比较实部/虚部,我们得到

1=b(3一个2−2b2),是=一个3−6一个b2.
但是(1.7)中的第一个方程只有当b=1和一个=±1. 这意味着是=±5.

  1. 解析方法
    欧拉开创了我们所说的解析数论。对无穷级数(分析)的研究可以在数论中产生有趣的结果。让我们回顾一下欧拉关于素数无穷大的证明。撇开收敛问题不谈,通过形式上的无限级数相乘,可以看到
    ∑n=1∞1n=∑n=11p1和1…pr和r=∏p(1+1p+1p2+⋯), IE  1n=∏p∞(1−1p)−1
    取所有素数的乘积(称为欧拉乘积)p. 请注意,第一个等式是唯一因式分解 (1.1) 的结果。

部分金额∑n=1ñ−11n该系列的∑n=1∞1n从下方以该区域为界(参见图 1.1)∫1ñdXX=ln⁡ñ, 无穷大为ñ走向无穷大。

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代数几何是研究多项式方程在多个变量中的解X1,…,Xn值为Xj在一个领域ķ. 除非我们假设ķ是代数封闭的,例如域C复数,题目不令人满意。例如,X2+是2+1=0没有解决方案X,是即使在这么大的领域R,实数域。此外,一条线(1 次方程)应该在两点与圆(2 次方程)相交。这很少发生,但每次都会发生(在投影平面磷2(C)),感谢 Bezout 定理:两条度数曲线d1,d2没有共同的组件相交d1d2投影平面上的点磷2(C),正确计算。

算术代数几何是使用代数几何方法来回答数论问题的学科。我们通过寻找原始毕达哥拉斯三元组来说明它,这与在单位圆上寻找有理点(具有有理坐标的点)相同

X2+是2=1
有理数X,是以最低的形式。一个原始的毕达哥拉斯三元组(X,是,和)给出了这样一个合理的观点X=X和,是=是和,反之亦然。

获得一种算法来找到所有原始毕达哥拉斯三元组(X,是,和),我们通过斜率参数化单位圆(1.9)吨通过固定点的线(−1,0)和一个可变点(X,是)在这个圆圈上(参见图 1.2)。
代替X从方程X=吨是−1在单位圆的方程(1.9)中的这条线,一个简单的计算表明

是=2吨1+吨2 和 X=吨是−1=1−吨21+吨2.
如果我们跑吨通过所有最低形式的有理数吨=一个b,我们得到以下结果:
图 1.2:单位圆上的有理点。
定理 1.6。每个原始毕达哥拉斯三元组(X,是,和)是形式

X=一个2−b2,是=2一个b,和=一个2+b2,
在哪里一个,b(一个>b)是相反奇偶性的正整数(一个奇数,另一个偶数),没有公因数。

请注意,相反奇偶性的条件是必要的,否则X, 是,和都是偶数,所以(X,是,和)不是原始的。我们还注意到,切换X和是不会产生不同的毕达哥拉斯三元组。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

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