数学代写|优化算法代写optimization algorithms代考| Algebraic Computing Complexity

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优化算法可分为使用导数的算法和不使用导数的算法。经典的算法使用目标函数的一阶导数,有时也使用二阶导数。

优化算法对深度学习很重要。一方面,训练一个复杂的深度学习模型可能需要数小时、数天甚至数周。优化算法的性能直接影响到模型的训练效率。另一方面,了解不同优化算法的原理及其超参数的作用,我们就能有针对性地调整超参数,提高深度学习模型的性能。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
Conceptual Framework Computational cost, Complexity, Accuracy are... |  Download Scientific Diagram
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数学代写|优化算法代写optimization algorithms代考|Formal Computational Models

Turing machines (TM) [3] is a class of the most well-known formal models for the analysis of the problem of limited complexity. The problem is considered to be algorithmically solved if its solution can be built using the corresponding TM. It

should be noted that the class of problems that can be solved with TM is left to be solved moving from TM to another formal model [3,241, 271]. All problems of algebraic complexity are divided into two classes (the class $\mathrm{P}$ is a problem that can be solved with polynomial complexity on deterministic Turing machines (DTM), and the NP class is the class where the problems can be solved with polynomial complexity on nondeterministic Turing machines (NTM) [3]). As the characteristics of the computational complexity, computing time (number of steps that are necessary to use the solving problem of the algorithm) and memory (the amount of operating domain that is used by the algorithm) are used.

Here are some known relations between the time complexity $(T(n), n$ is the amount of input data) and by the amount of memory $(S(n))$ [249] that are obtained for TM.

Let DTIME $(T(n))$ (DSPACE $(S(n)))$ be a class of problem that suppose DTM per hour $T(n)$ (with a memory $(S(n)$ ). The classes of problems are determined likewise NTIME $(\cdot)$, NSPACE $(\cdot)$ for HTM. Then
$$
\begin{gathered}
\operatorname{DTIME}(T(n)) \subseteq \operatorname{NTIME}(T(n)) \
\operatorname{NTIME}(T(n)) \subseteq \operatorname{DTIME}\left(2^{O(T(n))}\right) \
\operatorname{DSPACE}(S(n)) \subseteq \operatorname{NSPACE}(S(n)) \
\operatorname{NSPACE}(S(n)) \subseteq \operatorname{DSPACE}\left(S^{2}(n)\right) \
\operatorname{NTIME}(T(n)) \subseteq \operatorname{DSPACE}(T(n)) \
\operatorname{DTIME}(T(n)) \subseteq \operatorname{DSPACE}\left(T(n) / \log _{2}(T(n))\right) \
\operatorname{NSPACE}(T(n)) \subseteq \operatorname{DTIME}\left(2^{O(S(n))}\right)
\end{gathered}
$$
An important example of complex problems is NP-complete problems. The problem $f$ is considered to be NP-completed if it belongs to the NP class and each NP problem can be polynomial complexity that is reduced to $f$. The central point in the theory of NP-completeness is whether or not the classes $\mathrm{P}$ and NP are congruent, in other words if the problem (from the class NP) is provided by practice that is related to problems (of class P) that can be solved. There are reasons to assume that the solution of the most complex problems of the NP class (NP-complete problems) requires (as it can be seen from the estimates) the deterministic exponential time; in other words, the classes P and NP are different. The NP-completeness of many problems is proved $[3,48]$. The difficulty is to prove that each NP problem can be polynomially transformed to this problem.

It should be noted that the definition of the NP class and the proof of the polynomial complexity of many “reset” problems had great practical importance. Together with practical valuation, it destroyed some illusions regarding the practical constructing of solving a problem that has a solution; it has been found that the existence of only one algorithm for solving a certain mass issue is not enough for

practice. On the other hand, the algorithms for which acceptable polynomial upper estimated were proved and found some practical use.

The basic possibility of classification by complexity is provided by the so-called theorems on the hierarchy. The hierarchy theorem for a given complexity (by time or memory) determines which decrease in the upper complexity estimate leads to the narrowing of the class of functions that can be computed with this complexity.

数学代写|优化算法代写optimization algorithms代考|Asymptotic Qualities of “Fast” Algorithms

The purpose of a lower complexity estimate construction is to prove that none of the algorithms in this computational model has less complexity of computation than the given function $\varphi(t)$. Unfortunately, the well-known “high” (nontrivial) lower estimates are perhaps the exception, not the rule.

The scheme of upper estimates of complexity constructing is as following. Based on some methods of solving problem, CA is built in a particular computational model, and it is proved that the computational complexity does not exceed some function from input data in the class. This function is called the upper estimate of the computational complexity of solving problem constructing.

There are several types of CA (which these estimates are implemented on). They are optimal, order optimal, and asymptotically optimal. Optimal CA corresponds to the case when the upper and lower boundaries are congruent. Two other types of CA concem, respectively, the estimates with the “accuracy to the multiplicative constant” and “accuracy to additive constants.” The practical use of algorithms is based on estimates that have an explicit specificity.

Consider these questions briefly. Let $A(0, X) \neq \varnothing A$ consider the computer model of sequential computations. Then
$$
T\left(I_{n}(f), X, Y\right)=T_{I}\left(I_{n}(f), Y\right)+T_{a}(X, Y),
$$
where $T_{I}(\cdot)=\sum_{1}^{r} \alpha_{i} n_{i}(n), T_{a}(\cdot)=\sum_{1}^{r} \alpha_{i} m_{i}(n, a), \alpha_{i}$ is a price of the $i$-operation from the model $c ; n_{i}(n), m_{i}(n, a)$ is the number of operations of the $i$-type that are necessary for the computation of the set of functionals $I_{n}(f)$ and the solution of the problem $f$ by the algorithm $a \in A$, provided that the set $I_{n}(f)$ is known; and $n$ is a number of functionals in the set. The values $T_{l}, T_{a}$ are called, respectively, informational and combinatorial (computational) complexities (solving computation) [270].

Note that the value $T$ depends essentially on $n$ and the character of the dependence $\left{n_{i}, m_{i}\right}$ from $n$. For example, by solving a system of $n$ linear equations, $A x=b$ by Gaussian elimination (for given $A, b) n_{i}=0, m_{i}=O\left(n^{3}\right), i=1,2$ (there is about the operations of addition and multiplication of two numbers).

In the general case, there is a possibility to assume that $n_{i}=O(n)$ (the functional $I_{n}(f)$ has a limited complexity) and $m_{i}(n)$ can be functions of $n$, for example, polynomial or exponential (or higher) complexity. Then the question arises on the

possibility of a solution computation with less computational complexity (see, for example, the class of NP-complete problems).

Of course, the character of dependence $m_{i}$ from $n$ is not determinative in the practical acceptability of the algorithm for solving a specific problem. It must be also considered that the constants in the functional dependences $m_{i}(n)$ can be that sort of algorithms with a lower order of complexity increasing, and advantage will be only for infinite values $n$. For example, offered algorithms of solving systems of linear algebraic equations for which $m_{i}=O\left(n^{\beta}\right), \beta<3$, have advantages over the complexity of Gaussian elimination for infinite values $n$. In addition, it is needed to pay attention to the possible loss of numerical stability of the algorithm. The fast Fourier transform (FFT) algorithm is used to multiply two numbers, and it has the complexity $O(n \log n)$ where $n$ is the number of binary digit bits for the number notation. The practical advantage of a high speed next to the traditional way of multiplication $\left(O\left(n^{2}\right)\right)$ is achieved for $n>100$.

数学代写|优化算法代写optimization algorithms代考|Accuracy and Complexity of Computations

The theory of analytic complexity is closely related to the theory of errors in the approximate solving problem. The value of the processing time is often determined by the requirements to the accuracy of the approximate solution; the relation of the components of the global error; the dependence of the error on the type, structure, volume of input data and their accuracy, bit grid of computer, and rounding rules; the type of error estimates; and the method of estimates constructing from below and from above. Therefore, there is a good reason to consider advisably these two characteristics: the error of the approximate solution and the process time [297, 301$]$.
Considering that it is difficult to build high lower and lower upper estimates in the given model of computation (when $E$ is a global error), some idealized models are considered that to consider only individual components of the global error (more often the errors of the method) and the influence of the individual components of computational models on error and complexity. For such incomplete models, it is possible to conclude the impossibility of constructing $\varepsilon$-solution based on this information.

The dependence of the approximate solution accuracy and the complexity of the $\varepsilon$-solution computation from the various components of the computational model will be considered next.

Solving quasiparticle band spectra of real solids using neural-network  quantum states | Communications Physics
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优化算法代写

数学代写|优化算法代写optimization algorithms代考|Formal Computational Models

图灵机 (TM) [3] 是一类最著名的形式模型,用于分析有限复杂性问题。如果可以使用相应的 TM 构建解决方案,则认为该问题已通过算法解决。它

应该注意的是,可以用 TM 解决的问题类别有待从 TM 转移到另一个正式模型 [3,241, 271] 来解决。代数复杂度的所有问题都分为两类(类磷是可以在确定性图灵机 (DTM) 上用多项式复杂度解决的问题,而 NP 类是可以在非确定性图灵机 (NTM) 上用多项式复杂度解决问题的类 [3])。作为计算复杂度的特征,使用计算时间(使用算法解决问题所需的步骤数)和内存(算法使用的操作域的数量)。

以下是时间复杂度之间的一些已知关系(吨(n),n是输入数据量)和内存量(小号(n))[249] 是为 TM 获得的。

让 DTIME(吨(n))(空间(小号(n)))是假设每小时 DTM 的一类问题吨(n)(有记忆(小号(n))。问题的类别同样由 NTIME 确定(⋅), 空间(⋅)对于 HTM。然后
时间⁡(吨(n))⊆新时代⁡(吨(n)) 新时代⁡(吨(n))⊆时间⁡(2这(吨(n))) 空间⁡(小号(n))⊆空间⁡(小号(n)) 空间⁡(小号(n))⊆空间⁡(小号2(n)) 新时代⁡(吨(n))⊆空间⁡(吨(n)) 时间⁡(吨(n))⊆空间⁡(吨(n)/日志2⁡(吨(n))) 空间⁡(吨(n))⊆时间⁡(2这(小号(n)))
复杂问题的一个重要例子是 NP 完全问题。问题F如果它属于 NP 类,则认为它是 NP 完全的,并且每个 NP 问题都可以是多项式复杂度,可以简化为F. NP 完全性理论的中心点是类是否磷和 NP 是一致的,换句话说,如果问题(来自 NP 类)是由与可以解决的(P 类)问题相关的实践提供的。有理由假设解决最复杂的 NP 类问题(NP 完全问题)需要(从估计中可以看出)确定性指数时间;换句话说,类 P 和 NP 是不同的。证明了许多问题的NP完全性[3,48]. 难点在于证明每个 NP 问题都可以多项式转化为这个问题。

需要注意的是,NP 类的定义和许多“重置”问题的多项式复杂性的证明具有重要的实际意义。与实际评估一起,它打破了一些关于解决有解决方案的问题的实际构建的幻想;已经发现,仅存在一种算法来解决某个质量问题是不够的

实践。另一方面,证明了可接受多项式上估计的算法并发现了一些实际用途。

所谓的层次定理提供了按复杂性分类的基本可能性。给定复杂度(按时间或内存)的层次定理决定了上层复杂度估计中的哪个降低导致可以用这种复杂度计算的函数类别的缩小。

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较低复杂度估计构造的目的是证明该计算模型中没有一个算法的计算复杂度低于给定函数披(吨). 不幸的是,众所周知的“高”(非平凡)较低估计可能是例外,而不是规则。

构造复杂度的上估计方案如下。基于一些求解问题的方法,CA建立在特定的计算模型中,从类中的输入数据证明计算复杂度不超过某个函数。该函数称为求解问题构造的计算复杂度的上估计。

有几种类型的 CA(这些估计是在其上实现的)。它们是最优的、阶最优的和渐近最优的。最佳 CA 对应于上下边界一致的情况。其他两种类型的 CA 分别涉及“乘法常数的准确性”和“加法常数的准确性”的估计。算法的实际使用基于具有明确特异性的估计。

简要考虑这些问题。让一种(0,X)≠∅一种考虑顺序计算的计算机模型。然后
吨(一世n(F),X,是)=吨一世(一世n(F),是)+吨一种(X,是),
在哪里吨一世(⋅)=∑1r一种一世n一世(n),吨一种(⋅)=∑1r一种一世米一世(n,一种),一种一世是价格一世- 从模型操作C;n一世(n),米一世(n,一种)是操作的次数一世- 计算泛函集所必需的类型一世n(F)以及问题的解决方案F通过算法一种∈一种, 假设集合一世n(F)已知;和n是集合中的许多泛函。价值吨l,吨一种分别称为信息和组合(计算)复杂性(求解计算)[270]。

请注意,该值吨本质上取决于n和依赖的性质\left{n_{i}, m_{i}\right}\left{n_{i}, m_{i}\right}从n. 例如,通过求解一个系统n线性方程组,一种X=b通过高斯消去(对于给定的一种,b)n一世=0,米一世=这(n3),一世=1,2(关于两个数字的加法和乘法运算)。

在一般情况下,有可能假设n一世=这(n)(功能性一世n(F)具有有限的复杂性)和米一世(n)可以是n,例如,多项式或指数(或更高)复杂度。那么问题就出现在

计算复杂度较低的解计算的可能性(例如,参见 NP 完全问题的类别)。

当然,依赖的性格米一世从n在解决特定问题的算法的实际可接受性方面不是决定性的。还必须考虑函数依赖中的常数米一世(n)可以是具有较低复杂度增加的那种算法,并且优势将仅适用于无限值n. 例如,提供求解线性代数方程组的算法米一世=这(nb),b<3, 比无穷值的高斯消元的复杂性有优势n. 此外,需要注意算法可能会失去数值稳定性。快速傅里叶变换 (FFT) 算法用于将两个数相乘,它具有复杂性这(n日志⁡n)在哪里n是数字符号的二进制位数。与传统乘法方式相比,高速的实际优势(这(n2))实现了n>100.

数学代写|优化算法代写optimization algorithms代考|Accuracy and Complexity of Computations

解析复杂性理论与近似求解问题的误差理论密切相关。处理时间的取值往往由对近似解的精度要求决定;全局误差分量的关系;误差对输入数据的类型、结构、数量及其准确性、计算机的位网格和舍入规则的依赖性;误差估计的类型;以及自下而上构建的估算方法。因此,有充分的理由考虑这两个特征:近似解的误差和处理时间 [297, 301].
考虑到在给定的计算模型中很难建立高低和低上估计(当和是全局误差),一些理想化模型被认为只考虑全局误差的单个分量(更常见的是方法的误差)以及计算模型的单个分量对误差和复杂性的影响。对于这种不完整的模型,可以得出结论是不可能构建的e- 基于此信息的解决方案。

近似解精度和复杂度的依赖关系e-接下来将考虑来自计算模型的各个组件的解计算。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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