数学代写|优化算法作业代写optimisation algorithms代考| Multi-objective Optimization

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  • Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
  • (Generalized) Linear Models 广义线性模型
  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
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数学代写|优化算法作业代写optimisation algorithms代考| Multi-objective Optimization

数学代写|优化算法作业代写optimisation algorithms代考|Multi-objective Optimization

Many optimization problems in the real world have $k$ possibly contradictory objectives $f_{i}$ which must be optimized simultaneously. Furthermore, the solutions must satisfy $m$ inequality constraints $g$ and $p$ equality constraints $h$. A solution candidate $x$ is feasible, if and only if $g_{i}(x) \geq 0 \forall i=1,2, \ldots, m$ and $h_{i}(x)=0 \forall i=1,2, . ., p$ holds. A multi-objective optimization problem (MOP) can then be formally defined as follows:

Definition 7 (MOP). Find a solution candidate $x^{\star}$ in $\mathbb{X}$ which minimizes (or maximizes) the vector function $\mathbf{f}\left(x^{\star}\right)=\left(f_{i}\left(x^{\star}\right), f_{2}\left(x^{\star}\right), \ldots, f_{k}\left(x^{\star}\right)\right)^{T}$ and is feasible, (i.e., satisfies the $m$ inequality constraints $g_{i}\left(x^{\star}\right) \geq 0 \forall i=1,2, . ., m$, the $p$ equality constraints $\left.h_{i}\left(x^{\star}\right)=0 \forall i=1,2, . ., p\right)$.

As in single-objective optimization, nature-inspired algorithms are popular techniques to solve such problems. The fact that there are two or more objective functions implies additional difficulties. Due to the contradictory feature of the functions in a MOP and the fact that there exists no total order in $\mathbb{R}^{n}$ for $n>1$, the notions of “better than” and “optimum” have to be redefined. When comparing any two solutions $x_{1}$ and $x_{2}$, solution $x_{1}$ can have a better value in objective $f_{i}$, i.e., $f_{i}\left(x_{1}\right)<f_{i}\left(x_{2}\right)$, while solution $x_{2}$ can have a better value in objective $f_{j}$. The concepts commonly used here are Pareto dominance and Pareto optimality.

Definition 8 (Pareto Dominance). In the context of multi-objective global optimization, a solution candidate $x_{1}$ is said to dominate another solution candidate $x_{2}$ (denoted by $\left.x_{1} \preccurlyeq x_{2}\right)$ if and only if $\mathbf{f}\left(x_{1}\right)$ is partially less than $\mathbf{f}\left(x_{2}\right)$, i.e., $\forall i \in{1, \ldots, k} f_{i}\left(x_{1}\right) \leq f_{i}\left(x_{2}\right) \wedge \exists j \in{1, \ldots, k}: f_{j}\left(x_{1}\right)<f_{j}\left(x_{2}\right)$.

The dominance notion allows us to assume that if solution $x_{1}$ dominates solution $x_{2}$, then $x_{1}$ is preferable to $x_{2}$. If both solution are non-dominated (such as candidate (1) and (2) in Fig. 12), some additional criteria have to be used to choose one of them.

Definition 9 (Pareto Optimality). A feasible point $x^{\star} \in \mathbb{X}$ is Paretooptimal if and only if there is no feasible $x_{b} \in \mathbb{X}$ with $x_{b} \preccurlyeq x^{*}$.

This definition states that $x^{\star}$ is Pareto-optimal if there is no other feasible solution $x_{b}$ which would improve some criterion without causing a simultaneous worsening in at least one other criterion. The solution to a MOP.

数学代写|优化算法作业代写optimisation algorithms代考|Countermeasures

In order to obtain an accurate approximation to the true Pareto front, many nature-inspired multi-objective algorithms apply a fitness assignment scheme based on the concept of Pareto dominance, as commented before. For example, NSGA-II [61, 62], the most well-known multi-objective technique, assigns to each solution a rank depending on the number of solutions dominating it. Thus, solutions with rank 1 are non-dominated, solutions with rank 2 are dominated by one solution, and so on. Other algorithms, such as SPEA2 $[247,248]$ introduce the concept of strength, which is similar to the ranking but also considers the number of dominated solutions.

While the use of Pareto-based ranking methods allows the techniques to search in the direction of finding approximations with good convergence, additional strategies are needed to promote spread. The most commonly adopted approach is to include a kind of density estimator in order to select those solutions which are in the less crowded regions of the objective space. Thus, NSGA-II employs the crowding distance [61] and SPEA2 the distance to the $\mathrm{k}$-nearest neighbor [62].

数学代写|优化算法作业代写optimisation algorithms代考|Constraint Handling

How the constraints mentioned in Definition 7 are handled is a whole research area in itself with roots in single-objective optimization. Maybe one of the most popular approach for dealing with constraints goes back to Courant [48] who introduced the idea of penalty functions $[73,44,201]$ in 1943: Consider, for instance, the term $f^{\prime}(x)=f(x)+v[h(x)]^{2}$ where $f$ is the original objective

function, $h$ is an equality constraint, and $v>0$. If $f^{\prime}$ is minimized, an infeasible individual will always have a worse fitness than a feasible one with the same objective values.

Besides such static penalty functions, dynamic terms incorporating the generation counter $[111,157]$ or adaptive approaches utilizing additional population statistics $[95,199]$ have been proposed. Rigorous discussions on penalty functions have been contributed by Fiacco and McCormick [73] and Smith and Coit [201].

During the last fifteen years, many approaches have been developed which incorporate constraint handling and multi-objectivity. Instead of using penalty terms, Pareto ranking can also be extended by additionally comparing individuals according to their feasibility, for instance. Examples for this approach are the Method of Inequalities (MOI) of Zakian [245] as used by Pohlheim [164] and the Goal Attainment method defined in [76]. Deb $[56,58]$ even suggested to simply turn constraints into objective functions in his MOEA version of Goal Programming.

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现实世界中的许多优化问题都有ķ可能相互矛盾的目标F一世必须同时优化。此外,解决方案必须满足米不等式约束G和p等式约束H. 解决方案候选者X是可行的,当且仅当G一世(X)≥0∀一世=1,2,…,米和H一世(X)=0∀一世=1,2,..,p持有。然后可以将多目标优化问题(MOP)正式定义如下:

定义 7(澳门币)。寻找解决方案候选者X⋆在X最小化(或最大化)向量函数F(X⋆)=(F一世(X⋆),F2(X⋆),…,Fķ(X⋆))吨并且是可行的,(即满足米不等式约束G一世(X⋆)≥0∀一世=1,2,..,米, 这p等式约束H一世(X⋆)=0∀一世=1,2,..,p).

与单目标优化一样,受自然启发的算法是解决此类问题的流行技术。有两个或多个目标函数的事实意味着额外的困难。由于 MOP 中函数的矛盾特征以及在 MOP 中不存在全序的事实Rn为了n>1,必须重新定义“优于”和“最佳”的概念。比较任何两种解决方案时X1和X2, 解决方案X1可以在客观上有更好的价值F一世, IE,F一世(X1)<F一世(X2), 而解决方案X2可以在客观上有更好的价值Fj. 这里常用的概念是帕累托优势和帕累托最优。

定义 8(帕累托优势)。在多目标全局优化的背景下,一个候选解X1据说主导另一个解决方案候选者X2(表示为X1≼X2)当且仅当F(X1)部分小于F(X2), IE,∀一世∈1,…,ķF一世(X1)≤F一世(X2)∧∃j∈1,…,ķ:Fj(X1)<Fj(X2).

支配性概念允许我们假设,如果解决方案X1主导解决方案X2, 然后X1最好是X2. 如果两个解决方案都是非支配的(例如图 12 中的候选(1)和(2)),则必须使用一些额外的标准来选择其中一个。

定义 9(帕累托最优)。一个可行的点X⋆∈X当且仅当不存在可行时是帕累托最优的Xb∈X和Xb≼X∗.

这个定义表明X⋆如果没有其他可行的解决方案是帕累托最优的Xb这将改善某些标准,而不会导致至少一个其他标准同时恶化。MOP 的解决方案。

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为了获得对真实帕累托前沿的准确近似,许多受自然启发的多目标算法应用了基于帕累托优势概念的适应度分配方案,如前所述。例如,最著名的多目标技术 NSGA-II [61, 62] 根据支配它的解决方案的数量为每个解决方案分配一个等级。因此,秩为 1 的解是非支配的,秩为 2 的解由一个解支配,以此类推。其他算法,例如 SPEA2[247,248]引入强度的概念,它类似于排名,但也考虑了被支配的解决方案的数量。

虽然使用基于 Pareto 的排序方法允许这些技术在寻找具有良好收敛性的近似值的方向上进行搜索,但需要额外的策略来促进传播。最常用的方法是包含一种密度估计器,以选择那些位于目标空间较不拥挤区域的解决方案。因此,NSGA-II 使用拥挤距离 [61] 和 SPEA2 到ķ-最近的邻居[62]。

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如何处理定义 7 中提到的约束本身就是一个完整的研究领域,其根源在于单目标优化。也许最流行的处理约束的方法之一可以追溯到 Courant [48],他引入了惩罚函数的概念[73,44,201]1943 年:例如,考虑术语F′(X)=F(X)+在[H(X)]2在哪里F是最初的目标

功能,H是一个等式约束,并且在>0. 如果F′被最小化,一个不可行的个体总是比具有相同目标值的可行个体更差。

除了这样的静态惩罚函数,包含生成计数器的动态项[111,157]或利用额外人口统计数据的适应性方法[95,199]已被提议。Fiacco 和 McCormick [73] 以及 Smith 和 Coit [201] 对惩罚函数进行了严格的讨论。

在过去的 15 年中,已经开发了许多结合了约束处理和多目标性的方法。除了使用惩罚项,Pareto 排序还可以通过根据个人的可行性进行额外比较来扩展,例如。这种方法的例子是 Pohlheim [164] 使用的 Zakian [245] 的不等式方法 (MOI) 和 [76] 中定义的目标实现方法。德布[56,58]甚至建议在他的 MOEA 版本的目标编程中简单地将约束转换为目标函数。

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术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。



有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。





随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。


多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。


MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。



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