数学代写|优化算法作业代写optimisation algorithms代考|Premature Convergence

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优化算法是一个通过比较各种解决方案来反复执行的程序,直到找到一个最佳或满意的解决方案。随着计算机的出现,优化已成为计算机辅助设计活动的一部分。

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  • Statistical Inference 统计推断
  • Statistical Computing 统计计算
  • Advanced Probability Theory 高等楖率论
  • Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
  • (Generalized) Linear Models 广义线性模型
  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
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数学代写|优化算法作业代写optimisation algorithms代考|Premature Convergence

数学代写|优化算法作业代写optimisation algorithms代考|Premature Convergenceuction

An optimization algorithm has converged if it cannot reach new solution candidates anymore or if it keeps on producing solution candidates from a “small” 2 subset of the problem space. Global optimization algorithms will usually converge at some point in time. One of the problems in global optimization is that it is often not possible to determine whether the best solution currently known is situated on a local or a global optimum and thus, if convergence is acceptable. In other words, it is usually not clear whether the optimization process can be stopped, whether it should concentrate on refining the current optimum, or whether it should examine other parts of the search space instead. This can, of course, only become cumbersome if there are multiple (local) optima, i.e., the problem is multimodal as depicted in Fig. 1.c.

A mathematical function is multimodal if it has multiple maxima or minima $[195,246]$. A set of objective functions (or a vector function) $\mathbf{f}$ is multimodal if it has multiple (local or global) optima – depending on the definition of “optimum” in the context of the corresponding optimization problem.

数学代写|优化算法作业代写optimisation algorithms代考|The Problem

An optimization process has prematurely converged to a local optimum if it is no longer able to explore other parts of the search space than the area currently being examined and there exists another region that contains a superior solution $[192,219]$. Fig. 3 illustrates examples of premature convergence.

The existence of multiple global optima itself is not problematic and the discovery of only a subset of them can still be considered as successful in many cases (see Section 9). The occurrence of numerous local optima, however, is more complicated.

The phenomenon of domino convergence has been brought to attention by Rudnick [184] who studied it in the context of his BinInt problem [184, 213]. In principle, domino convergence occurs when the solution candidates have features which contribute significantly to different degrees of the total fitness. If these features are encoded in separate genes (or building blocks) in the genotypes, they are likely to be treated with different priorities, at least in randomized or heuristic optimization methods.

Building blocks with a very strong positive influence on the objective values, for instance, will quickly be adopted by the optimization process (i.e., “converge”). During this time, the alleles of genes with a smaller contribution are ignored. They do not come into play until the optimal alleles of the more “important” blocks have been accumulated. Rudnick [184] called this sequential convergence phenomenon domino convergence due to its resemblance to a row of falling domino stones [213].

In the worst case, the contributions of the less salient genes may almost look like noise and they are not optimized at all. Such a situation is also an instance of premature convergence, since the global optimum which would involve optimal configurations of all blocks will not be discovered. In this situation, restarting the optimization process will not help because it will always turn out the same way. Example problems which are often likely to exhibit domino convergence are the Royal Road [139] and the aforementioned BinInt problem [184].

数学代写|优化算法作业代写optimisation algorithms代考|One Cause: Loss of Diversity

In biology, diversity is the variety and abundance of organisms at a given place and time $[159,133]$. Much of the beauty and efficiency of natural ecosystems is based on a dazzling array of species interacting in manifold ways. Diversification is also a good investment strategy utilized by investors in the economy in order to increase their profit.

In population-based global optimization algorithms as well, maintaining a set of diverse solution candidates is very important. Losing diversity means approaching a state where all the solution candidates under investigation are similar to each other. Another term for this state is convergence. Discussions about how diversity can be measured have been provided by Routledge $[183]$, Cousins $[49]$, Magurran $[133]$, Morrison and De Jong [148], and Paenke et al $[159]$.

Preserving diversity is directly linked with maintaining a good balance between exploitation and exploration $[159]$ and has been studied by researchers from many domains, such as

  • Genetic Algorithms $[156,176,177]$,
  • Evolutionary Algorithms $[28,29,123,149,200,206]$,
  • Genetic Programming $[30,38,39,40,53,93,94]$,
  • Tabu Search $[81,82]$, and
  • Particle Swarm Optimization [238].
    The operations which create new solutions from existing ones have a very large impact on the speed of convergence and the diversity of the populations $[69,203]$. The step size in Evolution Strategy is a good example of this issue: setting it properly is very important and leads to the “exploration versus exploitation” problem [102] which can be observed in other areas of global optimization as well. ${ }^{3}$
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优化算法代考

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如果优化算法无法再找到新的候选解决方案,或者如果它继续从问题空间的“小” 2 子集生成候选解决方案,则它已经收敛。全局优化算法通常会在某个时间点收敛。全局优化中的一个问题是,通常无法确定当前已知的最佳解决方案是位于局部最优还是全局最优上,因此无法确定收敛是否可以接受。换句话说,通常不清楚是否可以停止优化过程,是否应该专注于优化当前的最优值,或者是否应该检查搜索空间的其他部分。当然,只有在存在多个(局部)最优时,这才会变得很麻烦,即问题是多模态的,如图 1.c 所示。

一个数学函数是多峰的,如果它有多个最大值或最小值[195,246]. 一组目标函数(或向量函数)F如果它具有多个(局部或全局)最优值,则它是多模态的——取决于在相应优化问题的上下文中“最优值”的定义。

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如果优化过程不再能够探索搜索空间的其他部分而不是当前正在检查的区域,并且存在另一个包含更好解决方案的区域,则优化过程过早地收敛到局部最优[192,219]. 图 3 说明了过早收敛的示例。

多个全局最优值的存在本身没有问题,在许多情况下,仅发现其中的一个子集仍然可以被认为是成功的(参见第 9 节)。然而,许多局部最优的发生更为复杂。

Rudnick [184] 在他的 BinInt 问题 [184, 213] 的背景下研究了多米诺骨牌收敛现象。原则上,当候选解决方案具有对不同程度的总适应度有显着贡献的特征时,就会发生多米诺骨牌收敛。如果这些特征在基因型中的不同基因(或构建块)中编码,则它们可能会以不同的优先级进行处理,至少在随机或启发式优化方法中是这样。

例如,对目标值具有非常强积极影响的构建块将很快被优化过程采用(即“收敛”)。在此期间,具有较小贡献的基因的等位基因被忽略。在积累了更“重要”区块的最佳等位基因之前,它们不会发挥作用。Rudnick [184] 将这种顺序收敛现象称为多米诺收敛,因为它类似于一排落下的多米诺骨牌 [213]。

在最坏的情况下,不太显着基因的贡献可能看起来几乎像噪音,而且根本没有优化。这种情况也是过早收敛的一个例子,因为不会发现涉及所有块的最优配置的全局最优。在这种情况下,重新启动优化过程将无济于事,因为结果总是相同。通常可能表现出多米诺骨牌收敛的示例问题是 Royal Road [139] 和前面提到的 BinInt 问题 [184]。

数学代写|优化算法作业代写optimisation algorithms代考|One Cause: Loss of Diversity

在生物学中,多样性是特定地点和时间的生物多样性和丰富度[159,133]. 自然生态系统的许多美丽和效率都基于令人眼花缭乱的物种以多种方式相互作用。多元化也是经济中投资者用来增加利润的一种很好的投资策略。

同样在基于种群的全局优化算法中,维护一组不同的候选解决方案非常重要。失去多样性意味着接近所有正在调查的解决方案候选者彼此相似的状态。这种状态的另一个术语是收敛。Routledge 提供了关于如何衡量多样性的讨论[183], 表亲[49], 马古兰[133],Morrison 和 De Jong [148],以及 Paenke 等人[159].

保持多样性与保持开发和探索之间的良好平衡直接相关[159]并且已经被许多领域的研究人员研究过,例如

  • 遗传算法[156,176,177],
  • 进化算法[28,29,123,149,200,206],
  • 遗传编程[30,38,39,40,53,93,94],
  • 禁忌搜索[81,82], 和
  • 粒子群优化[238]。
    从现有解决方案创建新解决方案的操作对收敛速度和人口多样性有很大影响[69,203]. 进化策略中的步长是这个问题的一个很好的例子:正确设置它非常重要,并导致“探索与利用”问题[102],这也可以在全局优化的其他领域观察到。
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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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