数学代写|信息论代写information theory代考| Cross-Entropies, Divergences, and Hamming Distance

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信息论是对数字信息的量化、存储和通信的科学研究。该领域从根本上是由哈里-奈奎斯特和拉尔夫-哈特利在20世纪20年代以及克劳德-香农在20世纪40年代的作品所确立的。

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数学代写|信息论代写information theory代考| Cross-Entropies, Divergences, and Hamming Distance

数学代写|信息论代写information theory代考|Cross-Entropies

Given two probability distributions $p=\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right)$ and $q=\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)$ on the same sample space $U={1, \ldots, n}$, we can again consider the drawing of a pair of points but where the first drawing is according to $p$ and the second drawing according to $q$. The probability that the points are distinct would be a natural and more general notion of logical entropy that would be the:
$$
h(p | q)=\sum_{i} p_{i}\left(1-q_{i}\right)=1-\sum_{i} p_{i} q_{i}
$$
Logical cross entropy of $p$ and $q$
which is symmetric. Adding subscripts to indicate which probability measures are being used, the value of the product probability measure $\mu_{p q}$ on any $S \subseteq U^{2}$ is $\mu_{p q}(S)=\sum\left{p_{i} q_{i^{\prime}}:\left(i, i^{\prime}\right) \in S\right}$. Thus on the standard information set $S_{i \neq l^{\prime}}=$ $\left{\left(i, i^{\prime}\right) \in U^{2}: i \neq i^{\prime}\right}$, the value is:
$$
h(p | q)=\mu_{p q}\left(S_{i \neq i^{\prime}}\right)
$$
The logical cross entropy is the same as the logical entropy when the distributions are the same, i.e., if $p=q$, then $h(p | q)=h(p)=\mu_{p}\left(S_{i \neq i^{r}}\right)$.

Although the logical cross entropy formula is symmetrical in $p$ and $q$, there are two different ways to express it as an average in order to apply the dit-bit transform: $\sum_{i} p_{i}\left(1-q_{i}\right)$ and $\sum_{i} q_{i}\left(1-p_{i}\right)$. The two transforms are the two asymmetrical versions of Shannon cross entropy:
$$
H(p | q)=\sum_{i} p_{i} \log \left(\frac{1}{q_{i}}\right) \text { and } H(q | p)=\sum_{i} q_{i} \log \left(\frac{1}{p_{i}}\right)
$$
which is not symmetrical due to the asymmetric role of the logarithm, although if $p=q$, then $H(p | p)=H(p)$.

数学代写|信息论代写information theory代考|Divergences

The Kullback-Leibler (KL) divergence [3] (or relative entropy) $D(p | q)=$ $\sum_{i} p_{i} \log \left(\frac{p_{i}}{q_{i}}\right)$ is called a ‘measure’ of the distance (even though it is not symmetric and does not satisfy the triangle inequality) or divergence between the two distributions where $D(p | q)=H(p | q)-H(p)$. A basic result is the:
$D(p | q) \geq 0$ with equality if and only if $p=q$
Information inequality[1, p. 26].

The KL divergence of a distribution $p$ from the uniform distribution is: $D\left(p |\left(\frac{1}{n}, \ldots, \frac{1}{n}\right)\right)=\log (n)-H(p)$.

But starting afresh, one might ask: “What is the natural notion of distance between two probability distributions $p=\left{p_{1}, \ldots, p_{n}\right}$ and $q=\left{q_{1}, \ldots, q_{n}\right}$ that would always be non-negative, and would be zero if and only if they are equal?” The (Euclidean) distance metric between the two points in $\mathbb{R}^{n}$ would seem to be the logical answer-so we take that distance squared as the definition of the:
$$
d(p | q)=\sum_{i}\left(p_{i}-q_{i}\right)^{2}
$$
Logical divergence(or logical relative entropy)
which is symmetric and we trivially have:
$$
d(p | q) \geq 0 \text { with equality iff } p=q
$$
Logical information inequality.
We have component-wise:
$$
0 \leq\left(p_{i}-q_{i}\right)^{2}=p_{i}^{2}-2 p_{i} q_{i}+q_{i}^{2}=2\left[\frac{1}{n}-p_{i} q_{i}\right]-\left[\frac{1}{n}-p_{i}^{2}\right]-\left[\frac{1}{n}-q_{i}^{2}\right]
$$
so that taking the sum for $i=1, \ldots, n$ gives:
$$
\begin{aligned}
d(p | q) &=\sum_{i}\left(p_{i}-q_{i}\right)^{2} \
&=2\left[1-\sum_{i} p_{i} q_{i}\right]-\left[\left(1-\sum_{i} p_{i}^{2}\right)+\left(1-\sum_{i} q_{i}^{2}\right)\right] \
&=2 h(p | q)-[h(p)+h(q)]
\end{aligned}
$$

数学代写|信息论代写information theory代考|Hamming Distance

A binary relation $R \subseteq U \times U$ on $U=\left{u_{1}, \ldots, u_{n}\right}$ can be represented by an $n \times n$ incidence matrix $\operatorname{In}(R)$ where $$
\operatorname{In}(R){i j}=\left{\begin{array}{l} 1 \text { if }\left(u{i}, u_{j}\right) \in R \
0 \text { if }\left(u_{i}, u_{j}\right) \notin R .
\end{array}\right.
$$
Taking $R$ as the equivalence relation indit $(\pi)$ associated with a partition $\pi=$ $\left{B_{1}, \ldots, B_{m}\right}$, the density matrix $\rho(\pi)$ of the partition $\pi$ (with equiprobable points) is just the incidence matrix In (indit $(\pi)$ ) rescaled to be of trace 1 (i.e., sum of diagonal entries is 1):
$$
\rho(\pi)=\frac{1}{|U|} \operatorname{In}(\text { indit }(\pi)) .
$$
From coding theory [4, p. 66], we have the notion of the Hamming distance between two 0,1 vectors or matrices (of the same dimensions) which is the number of places where they differ. The powerset $\wp(U \times U)$ can be viewed as a vector space over $\mathbb{Z}{2}$ where the sum of two binary relations $R, R^{\prime} \subseteq U \times U$, is the symmetric difference (or inequivalence) symbolized $R \Delta R^{\prime}=\left(R-R^{\prime}\right) \cup\left(R^{\prime}-R\right)=$ $R \cup R^{\prime}-R \cap R^{\prime}$, which is the set of elements (i.e., ordered pairs $\left(u{i}, u_{j}\right) \in$ $U \times U)$ that are in one set or the other but not both. Thus the Hamming distance $D_{H}\left(\operatorname{In}(R), \operatorname{In}\left(R^{\prime}\right)\right)$ between the incidence matrices of two binary relations is just the cardinality of their symmetric difference: $D_{H}\left(\operatorname{In}(R), \operatorname{In}\left(R^{\prime}\right)\right)=\left|R \Delta R^{\prime}\right|$. Moreover, the size of the symmetric difference does not change if the binary relations are replaced by their complements: $\left|R \Delta R^{\prime}\right|=\left|\left(U^{2}-R\right) \Delta\left(U^{2}-R^{\prime}\right)\right|$.
Hence given two partitions $\pi=\left{B_{1}, \ldots, B_{m}\right}$ and $\sigma=\left{C_{1}, \ldots, C_{m^{\prime}}\right}$ on $U$, the unnormalized Hamming distance between the two partitions is naturally defined as:
$$
\begin{aligned}
D_{H}(\pi, \sigma) &\left.\left.=D_{H}(\operatorname{In} \text { (indit }(\pi)), \operatorname{In} \text { (indit }(\sigma)\right)\right)=\mid \text { indit }(\pi) \Delta \text { indit }(\sigma) \mid \
&=|\operatorname{dit}(\pi) \Delta \operatorname{dit}(\sigma)|,
\end{aligned}
$$
and the Hamming distance between $\pi$ and $\sigma$ is defined as the normalized $D_{H}(\pi, \sigma)$ :
$$
\begin{aligned}
\frac{D_{H}(\pi, \sigma)}{|U \times U|} &=\frac{|\operatorname{dit}(\pi) \Delta \operatorname{dit}(\sigma)|}{|U \times U|}=\frac{|\operatorname{dit}(\pi)-\operatorname{dit}(\sigma)|}{|U \times U|}+\frac{|\operatorname{dit}(\sigma)-\operatorname{dit}(\pi)|}{|U \times U|} \
&=h(\pi \mid \sigma)+h(\sigma \mid \pi)=2 h(\pi \vee \sigma)-h(\pi)-h(\sigma)
\end{aligned}
$$

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信息论代考

数学代写|信息论代写information theory代考|Cross-Entropies

给定两个概率分布p=(p1,…,pn)和q=(q1,…,qn)在同一个样本空间在=1,…,n,我们可以再次考虑绘制一对点,但第一张图是根据p第二张图根据q. 点不同的概率将是逻辑熵的一个自然且更一般的概念,即:

H(p|q)=∑一世p一世(1−q一世)=1−∑一世p一世q一世
的逻辑交叉熵p和q
这是对称的。添加下标以指示正在使用哪些概率度量,产品概率度量的值μpq任何小号⊆在2是\mu_{p q}(S)=\sum\left{p_{i} q_{i^{\prime}}:\left(i, i^{\prime}\right) \in S\right}\mu_{p q}(S)=\sum\left{p_{i} q_{i^{\prime}}:\left(i, i^{\prime}\right) \in S\right}. 因此在标准信息集上小号一世≠l′= \left{\left(i, i^{\prime}\right) \in U^{2}: i \neq i^{\prime}\right}\left{\left(i, i^{\prime}\right) \in U^{2}: i \neq i^{\prime}\right},值为:

H(p|q)=μpq(小号一世≠一世′)
逻辑交叉熵与分布相同时的逻辑熵相同,即如果p=q, 然后H(p|q)=H(p)=μp(小号一世≠一世r).

虽然逻辑交叉熵公式是对称的p和q,为了应用 dit-bit 变换,有两种不同的方法可以将其表示为平均值:∑一世p一世(1−q一世)和∑一世q一世(1−p一世). 这两个变换是香农交叉熵的两个不对称版本:

H(p|q)=∑一世p一世日志⁡(1q一世) 和 H(q|p)=∑一世q一世日志⁡(1p一世)
由于对数的不对称作用,它是不对称的,尽管如果p=q, 然后H(p|p)=H(p).

数学代写|信息论代写information theory代考|Divergences

Kullback-Leibler (KL) 散度 [3](或相对熵)D(p|q)= ∑一世p一世日志⁡(p一世q一世)被称为距离的“度量”(即使它不是对称的并且不满足三角不等式)或两个分布之间的散度,其中D(p|q)=H(p|q)−H(p). 一个基本的结果是:
D(p|q)≥0当且仅当p=q
信息不平等[1, p. 26]。

分布的 KL 散度p从均匀分布是:D(p|(1n,…,1n))=日志⁡(n)−H(p).

但重新开始,有人可能会问:“两个概率分布之间的距离的自然概念是什么?p=\left{p_{1}, \ldots, p_{n}\right}p=\left{p_{1}, \ldots, p_{n}\right}和q=\left{q_{1}, \ldots, q_{n}\right}q=\left{q_{1}, \ldots, q_{n}\right}那总是非负的,当且仅当它们相等时才为零?” 中两点之间的(欧几里得)距离度量Rn这似乎是合乎逻辑的答案——所以我们将距离平方作为以下定义:

d(p|q)=∑一世(p一世−q一世)2
对称的逻辑散度(或逻辑相对熵)
,我们通常有:

d(p|q)≥0 有平等 iff p=q
逻辑信息不等式。
我们有组件方面的:

0≤(p一世−q一世)2=p一世2−2p一世q一世+q一世2=2[1n−p一世q一世]−[1n−p一世2]−[1n−q一世2]
这样总和一世=1,…,n给出:

d(p|q)=∑一世(p一世−q一世)2 =2[1−∑一世p一世q一世]−[(1−∑一世p一世2)+(1−∑一世q一世2)] =2H(p|q)−[H(p)+H(q)]

数学代写|信息论代写information theory代考|Hamming Distance

二元关系R⊆在×在上U=\left{u_{1}, \ldots, u_{n}\right}U=\left{u_{1}, \ldots, u_{n}\right}可以表示为n×n关联矩阵在⁡(R)其中 $$
\operatorname{In}(R){ij}=\left{

1 如果 (在一世,在j)∈R 0 如果 (在一世,在j)∉R.\正确的。

以$R$为等价关系indit $(\pi)$与分区$\pi=$$\left{B_{1}, \ldots, B_{m}\right}$关联,密度矩阵$\分区 $\pi$ (具有等概率点)的 rho(\pi)$ 只是重新调整为轨迹 1 的关联矩阵 In (indit $(\pi)$ )(即,对角线项的总和为 1):以$R$为等价关系indit $(\pi)$与分区$\pi=$$\left{B_{1}, \ldots, B_{m}\right}$关联,密度矩阵$\分区 $\pi$ (具有等概率点)的 rho(\pi)$ 只是重新调整为轨迹 1 的关联矩阵 In (indit $(\pi)$ )(即,对角线项的总和为 1):
\rho(\pi)=\frac{1}{|U|}\operatorname{In}(\text{indit}(\pi))。

从编码理论[4,p。66],我们有两个 0,1 向量或矩阵(相同维度)之间的汉明距离的概念,即它们不同的地方的数量。幂集 $\wp(U \times U)$ 可以看作是 $\mathbb{Z}{2}$ 上的向量空间,其中两个二元关系 $R, R^{\prime} \subseteq U \乘以 U$,是符号化的对称差(或不等价) $R \Delta R^{\prime}=\left(RR^{\prime}\right) \cup\left(R^{\prime}-R\ right)=$ $R \cup R^{\prime}-R \cap R^{\prime}$,即元素的集合(即有序对$\left(u{i}, u_{j} \right) \in$ $U \times U)$ 在一组或另一组中,但不是两者。因此汉明距离 $D_{H}\left(\operatorname{In}(R), 两个二元关系的关联矩阵之间的 \operatorname{In}\left(R^{\prime}\right)\right)$ 只是它们对称差的基数: $D_{H}\left(\operatorname{In }(R), \operatorname{In}\left(R^{\prime}\right)\right)=\left|R \Delta R^{\prime}\right|$。此外,如果将二元关系替换为互补关系,对称差的大小不会改变: $\left|R \Delta R^{\prime}\right|=\left|\left(U^{2}- R\right) \Delta\left(U^{2}-R^{\prime}\right)\right|$. 因此给定两个分区 $\pi=\left{B_{1}, \ldots, B_{m}\right}$ 和 $\sigma=\left{C_{1}, \ldots, C_{m^{\prime }}\right}$ 在 $U$ 上,两个分区之间的非归一化汉明距离自然定义为:此外,如果将二元关系替换为互补关系,对称差的大小不会改变: $\left|R \Delta R^{\prime}\right|=\left|\left(U^{2}- R\right) \Delta\left(U^{2}-R^{\prime}\right)\right|$. 因此给定两个分区 $\pi=\left{B_{1}, \ldots, B_{m}\right}$ 和 $\sigma=\left{C_{1}, \ldots, C_{m^{\prime }}\right}$ 在 $U$ 上,两个分区之间的非归一化汉明距离自然定义为:此外,如果将二元关系替换为互补关系,对称差的大小不会改变: $\left|R \Delta R^{\prime}\right|=\left|\left(U^{2}- R\right) \Delta\left(U^{2}-R^{\prime}\right)\right|$. 因此给定两个分区 $\pi=\left{B_{1}, \ldots, B_{m}\right}$ 和 $\sigma=\left{C_{1}, \ldots, C_{m^{\prime }}\right}$ 在 $U$ 上,两个分区之间的非归一化汉明距离自然定义为:From coding theory [4, p. 66], we have the notion of the Hamming distance between two 0,1 vectors or matrices (of the same dimensions) which is the number of places where they differ. The powerset $\wp(U \times U)$ can be viewed as a vector space over $\mathbb{Z}{2}$ where the sum of two binary relations $R, R^{\prime} \subseteq U \times U$, is the symmetric difference (or inequivalence) symbolized $R \Delta R^{\prime}=\left(R-R^{\prime}\right) \cup\left(R^{\prime}-R\right)=$ $R \cup R^{\prime}-R \cap R^{\prime}$, which is the set of elements (i.e., ordered pairs $\left(u{i}, u_{j}\right) \in$ $U \times U)$ that are in one set or the other but not both. Thus the Hamming distance $D_{H}\left(\operatorname{In}(R), \operatorname{In}\left(R^{\prime}\right)\right)$ between the incidence matrices of two binary relations is just the cardinality of their symmetric difference: $D_{H}\left(\operatorname{In}(R), \operatorname{In}\left(R^{\prime}\right)\right)=\left|R \Delta R^{\prime}\right|$. Moreover, the size of the symmetric difference does not change if the binary relations are replaced by their complements: $\left|R \Delta R^{\prime}\right|=\left|\left(U^{2}-R\right) \Delta\left(U^{2}-R^{\prime}\right)\right|$. Hence given two partitions $\pi=\left{B_{1}, \ldots, B_{m}\right}$ and $\sigma=\left{C_{1}, \ldots, C_{m^{\prime}}\right}$ on $U$, the unnormalized Hamming distance between the two partitions is naturally defined as:

DH(圆周率,σ)=DH(在⁡ (去 (圆周率)),在⁡ (去 (σ)))=∣ 去 (圆周率)Δ 去 (σ)∣ =|它⁡(圆周率)Δ它⁡(σ)|,

一个nd吨H和H一个米米一世nGd一世s吨一个nC和b和吨在和和n$圆周率$一个nd$σ$一世sd和F一世n和d一个s吨H和n○r米一个l一世和和d$DH(圆周率,σ)$:

DH(圆周率,σ)|在×在|=|它⁡(圆周率)Δ它⁡(σ)||在×在|=|它⁡(圆周率)−它⁡(σ)||在×在|+|它⁡(σ)−它⁡(圆周率)||在×在| =H(圆周率∣σ)+H(σ∣圆周率)=2H(圆周率∨σ)−H(圆周率)−H(σ)
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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