数学代写|信息论代写information theory代考|The Compound Notions for Logical

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信息论是对数字信息的量化、存储和通信的科学研究。该领域从根本上是由哈里-奈奎斯特和拉尔夫-哈特利在20世纪20年代以及克劳德-香农在20世纪40年代的作品所确立的。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|信息论代写information theory代考|The Compound Notions for Logical

数学代写|信息论代写information theory代考|The Dit-Bit Transform

The logical entropy formulas for various compound notions (e.g., conditional entropy, mutual information, and joint entropy) stand in certain Venn diagram relationships because logical entropy is a measure. The Shannon entropy formulas for these compound notions, e.g., $H(\alpha, \beta)=H(\alpha)+H(\beta)-I(\alpha, \beta)[1]$, are defined so as to satisfy the Venn diagram relationships. There is a deeper connection that helps to explain the connection between the two entropies, the dit-bit transform. This transform can be heuristically motivated by considering two ways to treat the standard set $U_{n}$ of $n$ elements with the equal probabilities $p_{0}=\frac{1}{n}$. In that basic case of an equiprobable set, we can derive the dit-bit connection, and then by using a probabilistic average, we can develop the Shannon entropy, expressed in terms of bits, from the logical entropy, expressed in terms of (normalized) dits.

Given $U_{n}$ with $n$ equiprobable elements, the number of dits (of the discrete partition on $U_{n}$ ) is $n^{2}-n$ so the normalized dit count is:
$$
h\left(p_{0}\right)=h\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{n^{2}-n}{n^{2}}=1-\frac{1}{n}=1-p_{0} \text { normalized dits. }
$$

That is the (normalized) dit-count or logical measure of the information in a set of $n$ distinct elements (think of it as the logical entropy of the discrete partition on $U_{n}$ with equiprobable elements).

But we can also measure the information in the set by the number of binary partitions it takes (on average) to distinguish the elements, and that bit-count is [5]:
$$
H\left(p_{0}\right)=H\left(\frac{1}{n}\right)=\log (n)=\log \left(\frac{1}{p_{0}}\right) \text { bits. }
$$
Shannon – Hartley entropy for an equiprobable set $U$ of $n$ elements
The dit-bit connection is that the Shannon-Hartley entropy $H\left(p_{0}\right)=\log \left(\frac{1}{p_{0}}\right)$ will play the same role in the Shannon formulas that $h\left(p_{0}\right)=1-p_{0}$ plays in the logical entropy formulas – when both are formulated as probabilistic averages or expectations.

The common thing being measured is an equiprobable $U_{n}$ where $n=\frac{1}{p_{0}}$. The dit-count for $U_{n}$ is $h\left(p_{0}\right)=1-p_{0}$ and the bit-count for $U$ is $H\left(p_{0}\right)=\log \left(\frac{1}{p_{0}}\right)$, and the dit-bit transform converts one count into the other. This dit-bit transform should not be interpreted as if it was just converting a length using centimeters to inches or the like since it is highly nonlinear.

We start with the logical entropy of a probability distribution $p=\left{p_{1}, \ldots, p_{n}\right}$ :
$$
h(p)=\sum_{i=1}^{n} p_{i} h\left(p_{i}\right)=\sum_{i} p_{i}\left(1-p_{i}\right)
$$

数学代写|信息论代写information theory代考|Conditional Logical Entropy

All the compound notions for Shannon and logical entropy could be developed using either partitions (with point probabilities) or probability distributions of random variables as the given data. Since the treatment of Shannon entropy is most often in terms of probability distributions, we will stick to that case for both types of entropy. The formula for the compound notion of logical entropy will be developed first, and then the formula for the corresponding Shannon compound entropy will be obtained by the dit-bit transform.

The general idea of a conditional entropy of a random variable $X$ given a random variable $Y$ is to measure the information in $X$ when we take away the information contained in $Y$, i.e., the set difference operation in terms of information sets.

For the definition of the conditional entropy $h(X \mid Y)$, we simply take the product measure of the set of pairs $(x, y)$ and $\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)$ that give an $X$-distinction but not a $Y$-distinction. Hence we use the inequation $x \neq x^{\prime}$ for the $X$-distinction and negate the $Y$-distinction $y \neq y^{\prime}$ to get the infoset that is the difference of the infosets for $X$ and $Y$ :
$$
\begin{gathered}
S_{X \wedge \neg Y}=\left{\left((x, y),\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)\right): x \neq x^{\prime} \wedge y=y^{\prime}\right}=S_{X}-S_{Y} \text { so } \
h(X \mid Y)=\mu\left(S_{X \wedge \neg Y}\right)=\mu\left(S_{X}-S_{Y}\right)
\end{gathered}
$$

Since $S_{X \vee Y}$ can be expressed as the disjoint union $S_{X \vee Y}=S_{X \wedge \neg Y} \uplus S_{Y}$, we have for the measure $\mu$ :
$$
h(X, Y)=\mu\left(S_{X \vee Y}\right)=\mu\left(S_{X \wedge \neg Y}\right)+\mu\left(S_{Y}\right)=h(X \mid Y)+h(Y),
$$
which is illustrated in the Venn diagram Fig. 3.1.
In terms of the probabilities:
$$
\begin{aligned}
h(X \mid Y)=h(X, Y) &-h(Y)=\sum_{x, y} p(x, y)(1-p(x, y))-\sum_{y} p(y)(1-p(y)) \
=& \sum_{x, y} p(x, y)[(1-p(x, y))-(1-p(y))] \
& \text { Logical conditional entropyof } X \text { given } Y .
\end{aligned}
$$
Also of interest is the:
$$
d(X, Y)=h(X \mid Y)+h(Y \mid X)=\mu\left(S_{X} \Delta S_{Y}\right)
$$
Logical distance between random variables
where $\Delta$ is the symmetric difference (or inequivalence) operation on sets. This logical distance is a Hamming-style distance function [4, p. 66] based on the difference between the random variables.

数学代写|信息论代写information theory代考|Shannon Conditional Entropy

Given the joint distribution ${p(x, y)}$ on $X \times Y$, the conditional probability distribution for a specific $y_{0} \in Y$ is $p\left(x \mid y_{0}\right)=\frac{p\left(x, y_{0}\right)}{p\left(y_{0}\right)}$ which has the Shannon entropy: $H\left(X \mid y_{0}\right)=\sum_{x} p\left(x \mid y_{0}\right) \log \left(\frac{1}{p\left(x \mid y_{0}\right)}\right)$. Then the Shannon conditional entropy $H(X \mid Y)$ is usually defined as the average of these entropies:
$$
H(X \mid Y)=\sum_{y} p(y) \sum_{x} \frac{p(x, y)}{p(y)} \log \left(\frac{p(y)}{p(x, y)}\right)=\sum_{x, y} p(x, y) \log \left(\frac{p(y)}{p(x, y)}\right)
$$
Shannon conditional entropy of $X$ given $Y$.
All the Shannon notions can be obtained by the dit-bit transform of the corresponding logical notions. Applying the transform $1-p \sim \log \left(\frac{1}{p}\right)$ to the logical conditional entropy expressed as an average of “1- $p$ ” expressions: $h(X \mid Y)=\sum_{x, y} p(x, y)[(1-p(x, y))-(1-p(y))]$, yields the Shannon conditional entropy:
$$
\begin{aligned}
H(X \mid Y) &=\sum_{x, y} p(x, y)\left[\log \left(\frac{1}{p(x, y)}\right)-\log \left(\frac{1}{p(y)}\right)\right] \
&=\sum_{x, y} p(x, y) \log \left(\frac{p(y)}{p(x, y)}\right)
\end{aligned}
$$
Since the dit-bit transform preserves sums and differences, we will have the same sort of Venn diagram formula for the Shannon entropies and this can be illustrated in the analogous “mnemonic” Venn diagram Fig. 3.2.

数学代写|信息论代写information theory代考|The Compound Notions for Logical

信息论代考

数学代写|信息论代写information theory代考|The Dit-Bit Transform

各种复合概念(例如,条件熵、互信息和联合熵)的逻辑熵公式存在于某些维恩图关系中,因为逻辑熵是一种度量。这些复合概念的香农熵公式,例如,H(一个,b)=H(一个)+H(b)−我(一个,b)[1], 被定义为满足维恩图关系。有一个更深层次的联系有助于解释两个熵之间的联系,即 dit-bit 变换。通过考虑两种处理标准集的方法,可以启发式地激发这种变换在n的n等概率元素p0=1n. 在等概率集的基本情况下,我们可以推导出 dit-bit 连接,然后通过使用概率平均,我们可以从逻辑熵(以(归一化) 滴滴。

给定在n和n等概率元素,dits 的数量(离散分区的在n) 是n2−n所以归一化的滴数是:

H(p0)=H(1n)=n2−nn2=1−1n=1−p0 标准化的滴答声。 

这是一组信息的(标准化)dit-count或逻辑度量n不同的元素(将其视为离散分区的逻辑熵在n等概率元素)。

但是我们也可以通过(平均)区分元素所需的二进制分区数来衡量集合中的信息,并且该位数为 [5]:

H(p0)=H(1n)=日志⁡(n)=日志⁡(1p0) 位。 
Shannon – Hartley entropy for a equiprobable set在的n元素
dit-bit 连接是 Shannon-Hartley 熵H(p0)=日志⁡(1p0)将在香农公式中扮演相同的角色H(p0)=1−p0在逻辑熵公式中起作用——当两者都被表述为概率平均值或期望值时。

被测量的共同点是等概率在n在哪里n=1p0. dit-count 为在n是H(p0)=1−p0和位数在是H(p0)=日志⁡(1p0), dit-bit 变换将一个计数转换为另一个计数。由于它是高度非线性的,因此不应将这种 dit-bit 转换解释为只是将使用厘米转换为英寸等的长度。

我们从概率分布的逻辑熵开始p=\left{p_{1}, \ldots, p_{n}\right}p=\left{p_{1}, \ldots, p_{n}\right} :

H(p)=∑一世=1np一世H(p一世)=∑一世p一世(1−p一世)

数学代写|信息论代写information theory代考|Conditional Logical Entropy

香农和逻辑熵的所有复合概念都可以使用分区(具有点概率)或随机变量的概率分布作为给定数据来开发。由于香农熵的处理通常是根据概率分布来处理的,因此我们将针对两种类型的熵都坚持这种情况。先推导出逻辑熵复合概念的公式,再通过dit-bit变换得到对应的香农复合熵公式。

随机变量的条件熵的一般概念X给定一个随机变量是是衡量信息在X当我们拿走包含在是,即信息集方面的集差运算。

对于条件熵的定义H(X∣是), 我们简单地取这对集合的乘积(X,是)和(X′,是′)给出一个X- 区别但不是是-区别。因此我们使用不等式X≠X′为了X-区分和否定是-区别是≠是′获取与信息集不同的信息集X和是 :

\begin{聚集} S_{X \wedge \neg Y}=\left{\left((x, y),\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)\right): x \neq x^{\prime} \wedge y=y^{\prime}\right}=S_{X}-S_{Y} \text { 所以 } \h(X \mid Y)=\mu\left (S_{X \wedge \neg Y}\right)=\mu\left(S_{X}-S_{Y}\right) \end{聚集}\begin{聚集} S_{X \wedge \neg Y}=\left{\left((x, y),\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)\right): x \neq x^{\prime} \wedge y=y^{\prime}\right}=S_{X}-S_{Y} \text { 所以 } \h(X \mid Y)=\mu\left (S_{X \wedge \neg Y}\right)=\mu\left(S_{X}-S_{Y}\right) \end{聚集}

自从小号X∨是可以表示为不相交并集小号X∨是=小号X∧¬是⊎小号是, 我们有度量μ:

H(X,是)=μ(小号X∨是)=μ(小号X∧¬是)+μ(小号是)=H(X∣是)+H(是),
如图 3.1 的维恩图所示。
在概率方面:

H(X∣是)=H(X,是)−H(是)=∑X,是p(X,是)(1−p(X,是))−∑是p(是)(1−p(是)) =∑X,是p(X,是)[(1−p(X,是))−(1−p(是))]  逻辑条件熵 X 给定 是.
同样令人感兴趣的是:

d(X,是)=H(X∣是)+H(是∣X)=μ(小号XΔ小号是)

随机变量之间的逻辑距离Δ是集合上的对称差分(或不等价)运算。这个逻辑距离是一个汉明式距离函数[4,p。66]基于随机变量之间的差异。

数学代写|信息论代写information theory代考|Shannon Conditional Entropy

给定联合分布p(X,是)上X×是, 特定的条件概率分布是0∈是是p(X∣是0)=p(X,是0)p(是0)具有香农熵:H(X∣是0)=∑Xp(X∣是0)日志⁡(1p(X∣是0)). 然后香农条件熵H(X∣是)通常定义为这些熵的平均值:

H(X∣是)=∑是p(是)∑Xp(X,是)p(是)日志⁡(p(是)p(X,是))=∑X,是p(X,是)日志⁡(p(是)p(X,是))
香农条件熵X给定是.
所有的香农概念都可以通过相应的逻辑概念的dit-bit变换得到。应用变换1−p∼日志⁡(1p)逻辑条件熵表示为“1-p” 表达式:H(X∣是)=∑X,是p(X,是)[(1−p(X,是))−(1−p(是))],产生香农条件熵:

H(X∣是)=∑X,是p(X,是)[日志⁡(1p(X,是))−日志⁡(1p(是))] =∑X,是p(X,是)日志⁡(p(是)p(X,是))
由于 dit-bit 变换保留了和和差,我们将有相同种类的香农熵维恩图公式,这可以在类似的“助记符”维恩图图 3.2 中说明。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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