数学代写|信息论作业代写information theory代考|Channel Capacity and Coding

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信息理论是对数字信息的量化、存储和通信的科学研究。该领域从根本上是由哈里-奈奎斯特和拉尔夫-哈特利在20世纪20年代以及克劳德-香农在20世纪40年代的作品所确立的。该领域处于概率论、统计学、计算机科学、统计力学、信息工程和电气工程的交叉点。

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数学代写|信息论作业代写information theory代考|Channel Capacity and Coding

数学代写|信息论作业代写information theory代考|Channel Capacity

Consider a DMC having an input alphabet $X=\left{x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{q-1}\right}$ and an output alphabet $Y=\left{y_{0}, y_{1}, \ldots, y_{r-1}\right}$. Let us denote the set of channel transition probabilities by $P\left(y_{i} \mid x_{j}\right)$. The average mutual information provided by the output $Y$ about the input $X$ is given by (see Chapter 1, Section 1.3)
$$
I(X ; Y)=\sum_{j=0}^{q-1} \sum_{j=0}^{r-1} P\left(x_{j}\right) P\left(y_{i} \mid x_{j}\right) \log \frac{P\left(y_{i} \mid x_{j}\right)}{P\left(y_{i}\right)}
$$
The channel transition probabilities $P\left(y_{i} \mid x_{j}\right)$ are determined by the channel characteristics (primarily the noise in the channel). However, the input symbol probabilities $P\left(x_{j}\right)$ are within the control of the discrete channel encoder. The value of the average mutual information, $I(X ; Y)$, maximized over the set of input symbol probabilities $P\left(x_{j}\right)$ is a quantity that depends only on the channel transition probabilities $P\left(y_{i} \mid x_{j}\right)$ (hence only on the characteristics of the channel). This quantity is called the Capacity of the Channel.

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reliability (which is a component of the quality of service). Table $2.1$ lists the typical acceptable bit error rates for various applications.

In order to achieve such high levels of reliability we have to resort to the use of Channel Coding. The basic objective of channel coding is to increase the resistance of the digital communication system to channel noise. This is done by adding redundancies in the transmitted data stream in a controlled manner.

In channel coding, we map the incoming data sequence to a channel input sequence. This encoding procedure is done by the Channel Encoder. The encoded sequence is then transmitted over the noisy channel. The channel output sequence at the receiver is inverse mapped to an output data sequence. This is called the decoding procedure, and is carried out by the Channel Decoder. Both the encoder and the decoder are under the designer’s control.

As already mentioned, the encoder introduces redundancy in a prescribed manner. The decoder exploits this redundancy so as to reconstruct the original source sequence as accurately as possible. Thus, channel coding makes it possible to carry out reliable communication over unreliable (noisy) channels. Channel coding is also referred to as Error Control Coding. It is interesting to note here that the source coder reduces redundancy to improve efficiency, whereas, the channel coder adds redundancy in a controlled manner to improve reliability.

Definition 2.6 An Error Control Code for a channel, represented by the channel transition probability matrix $p(y \mid x)$, consists of:
(i) A message set ${1,2, \ldots, M}$.
(ii) An encoding function, $X^{n}$, which maps each message to a unique codeword, i.e., $1 \rightarrow X^{n}(1)$, $2 \rightarrow X^{n}(2), \ldots, M \rightarrow X^{n}(M)$. The set of codewords is called a codebook.
(iii) A decoding function, $D \rightarrow{1,2, \ldots, M}$, which makes a guess based on a decoding strategy in order to map back the received vector to one of the possible messages.

We first look at a class of channel codes called block codes. In this class of codes, the incoming message sequence is first sub-divided into sequential blocks, each of length $k$ bits. Thus the cardinality of the message set $M=2^{k}$. Each $k$-bit long information block is mapped into an $n$-bit block by the channel coder, where $n>k$. This means that for every $k$ bits of information, $(n-k)$ redundant bits are added. The ratio
$$
r=\frac{k}{n}=\frac{\log M}{n}
$$
is called the Code Rate. It represents the information bits per transmission. Code rate of any coding scheme is, naturally, less than unity. A small code rate implies that more and more bits per block are the redundant bits corresponding to a higher coding overhead. This may reduce the effect of noise, but will also reduce the communication rate as we will end up transmitting more of the redundant bits and fewer information bits. The question before us is whether there exists a coding scheme such that the probability that the message bit will be in error is arbitrarily small and yet the coding rate is not too small? The answer is yes, and was first provided by Shannon in his second theorem regarding the channel capacity. We will study this shortly.

数学代写|信息论作业代写information theory代考|Information Capacity Theorem

So far we have studied limits on the maximum rate at which information can be sent over a channel reliably in terms of the channel capacity. In this section we will formulate the information capacity theorem for band-limited, power-limited Gaussian channels. An important and useful channel is the Gaussian channel defined below.

Consider a zero mean, stationary random process $X(t)$ that is band limited to $W$ hertz. Let $X_{k}, k=1,2, \ldots, K$, denote the continuous random variables obtained by uniform sampling of the process $X(t)$ at the Nyquist rate of $2 W$ samples per second. These symbols are transmitted over a noisy channel which is also band-limited to $W$ Hertz. The channel output is corrupted by AWGN of zero mean and power spectral density (psd) $N_{0} / 2$. Because of the channel, the noise is band limited to $W$ Hertz. Let $Y_{k}, k=1,2, \ldots, K$, denote the samples of the received signal. Therefore,
$$
Y_{k}=X_{k}+N_{k}, k=1,2, \ldots, K
$$
where $N_{k}$ is the noise sample with zero mean and variance $\sigma^{2}=N_{0}$ W. It is assumed that $Y_{k}, k=1,2, \ldots, K$, are statistically independent. Since the transmitter is usually power-limited, let us put a constraint on the $a v e r a g e$ power in $X_{k}$ :
$$
E\left[X_{k}^{2}\right]=P, k=1,2, \ldots, K
$$
The information capacity of this band-limited, power-limited channel is the maximum of the mutual information between the channel input $X_{k}$ and the channel output $Y_{k}$. The maximization has to be done over all distributions on the input $X_{k}$ that satisfy the power constraint of equation (2.19). Thus, the information capacity of the channel (same as the channel capacity) is given by
$$
C=\max {f{X_{k}}(x)}\left{I(X ; Y) \mid E\left[X_{k}^{2}\right]=P\right}
$$
where $f_{x_{k}}(x)$ is the probability density function of $X_{k}$.
Now, from Chapter 1, equation (1.32), we have,
$$
I\left(X_{k} ; Y_{k}\right)=h\left(Y_{k}\right)-h\left(Y_{k} \mid X_{k}\right)
$$
Note that $X_{k}$ and $N_{k}$ are independent random variables. Therefore, the conditional differential entropy of $Y_{k}$. given $X_{k}$ is equal to the differential entropy of $N_{k^{*}}$. Intuitively, this is because given $X_{k}$ the uncertainty arising in $Y_{k}$ is purely due to $N_{k}$. That is,
$$
h\left(Y_{k} \mid X_{k}\right)=h\left(N_{k}\right)
$$

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信息论代写

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考虑一个具有输入字母表的 DMCX=\left{x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{q-1}\right}X=\left{x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{q-1}\right}和一个输出字母Y=\left{y_{0}, y_{1}, \ldots, y_{r-1}\right}Y=\left{y_{0}, y_{1}, \ldots, y_{r-1}\right}. 让我们将通道转换概率集表示为磷(是一世∣Xj). 输出提供的平均互信息是关于输入X由下式给出(参见第 1 章,第 1.3 节)

一世(X;是)=∑j=0q−1∑j=0r−1磷(Xj)磷(是一世∣Xj)日志⁡磷(是一世∣Xj)磷(是一世)
通道转换概率磷(是一世∣Xj)由通道特性(主要是通道中的噪声)决定。然而,输入符号概率磷(Xj)在离散通道编码器的控制范围内。平均互信息的值,一世(X;是), 在输入符号概率集上最大化磷(Xj)是一个仅取决于通道转换概率的量磷(是一世∣Xj)(因此仅针对通道的特性)。这个量称为通道容量。

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可靠性(这是服务质量的一个组成部分)。桌子2.1列出了各种应用的典型可接受误码率。

为了达到如此高水平的可靠性,我们不得不求助于信道编码。信道编码的基本目标是增加数字通信系统对信道噪声的抵抗力。这是通过以受控方式在传输的数据流中添加冗余来完成的。

在通道编码中,我们将输入数据序列映射到通道输入序列。此编码过程由通道编码器完成。然后在噪声信道上传输编码序列。接收器的通道输出序列被逆映射到输出数据序列。这称为解码过程,由通道解码器执行。编码器和解码器都在设计者的控制之下。

如前所述,编码器以规定的方式引入冗余。解码器利用这种冗余来尽可能准确地重建原始源序列。因此,信道编码可以在不可靠(嘈杂)的信道上进行可靠的通信。信道编码也称为差错控制编码。值得注意的是,源编码器减少冗余以提高效率,而信道编码器以受控方式增加冗余以提高可靠性。

定义 2.6 通道的错误控制码,由通道转移概率矩阵表示p(是∣X), 包括:
(i) 一个消息集1,2,…,米.
(ii) 编码功能,Xn,它将每条消息映射到一个唯一的代码字,即1→Xn(1), 2→Xn(2),…,米→Xn(米). 该组码字称为码本。
(iii) 解码功能,D→1,2,…,米,它根据解码策略进行猜测,以便将接收到的向量映射回可能的消息之一。

我们首先来看一类称为块码的信道码。在这类代码中,传入的消息序列首先被细分为连续的块,每个块的长度为ķ位。因此消息集的基数米=2ķ. 每个ķ-位长的信息块被映射到一个n- 通道编码器的位块,其中n>ķ. 这意味着对于每个ķ点点滴滴的信息,(n−ķ)添加了冗余位。比例

r=ķn=日志⁡米n
称为码率。它表示每次传输的信息比特。任何编码方案的编码率自然小于统一。较小的码率意味着每块越来越多的比特是对应于较高编码开销的冗余比特。这可能会降低噪声的影响,但也会降低通信速率,因为我们最终将传输更多的冗余位和更少的信息位。摆在我们面前的问题是,是否存在一种编码方案,使得消息比特出错的概率任意小,而编码率又不会太小?答案是肯定的,并且首先由香农在他关于信道容量的第二个定理中提供。我们将很快研究这个。

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到目前为止,我们已经研究了在信道容量方面可以通过信道可靠地发送信息的最大速率的限制。在本节中,我们将制定带宽受限、功率受限的高斯信道的信息容量定理。一个重要且有用的通道是下面定义的高斯通道。

考虑一个零均值的平稳随机过程X(吨)那是频段限制在在赫兹。让Xķ,ķ=1,2,…,ķ, 表示过程均匀抽样得到的连续随机变量X(吨)在奈奎斯特率2在每秒采样数。这些符号是通过一个有噪声的信道传输的,该信道也有频带限制在赫兹。通道输出被零均值和功率谱密度 (psd) 的 AWGN 破坏ñ0/2. 由于通道的原因,噪声被限制在在赫兹。让是ķ,ķ=1,2,…,ķ, 表示接收信号的样本。所以,

是ķ=Xķ+ñķ,ķ=1,2,…,ķ
在哪里ñķ是均值和方差为零的噪声样本σ2=ñ0W. 假设是ķ,ķ=1,2,…,ķ, 在统计上是独立的。由于发射机通常是功率受限的,让我们对一个在和r一个G和电源输入Xķ :

和[Xķ2]=磷,ķ=1,2,…,ķ
这个带宽受限、功率受限的信道的信息容量是信道输入之间互信息的最大值Xķ和通道输出是ķ. 必须对输入上的所有分布进行最大化Xķ满足方程(2.19)的功率约束。因此,通道的信息容量(与通道容量相同)由
$$
C=\max {f {X_{k}}(x)}\left{I(X ; Y) \mid E\left 给出[X_{k}^{2}\right]=P\right}

在H和r和$FXķ(X)$一世s吨H和pr○b一个b一世l一世吨是d和ns一世吨是F在nC吨一世○n○F$Xķ$.ñ○在,Fr○米CH一个p吨和r1,和q在一个吨一世○n(1.32),在和H一个在和,
I\left(X_{k} ; Y_{k}\right)=h\left(Y_{k}\right)-h\left(Y_{k} \mid X_{k}\right)

ñ○吨和吨H一个吨$Xķ$一个nd$ñķ$一个r和一世nd和p和nd和n吨r一个nd○米在一个r一世一个bl和s.吨H和r和F○r和,吨H和C○nd一世吨一世○n一个ld一世FF和r和n吨一世一个l和n吨r○p是○F$是ķ$.G一世在和n$Xķ$一世s和q在一个l吨○吨H和d一世FF和r和n吨一世一个l和n吨r○p是○F$ñķ∗$.一世n吨在一世吨一世在和l是,吨H一世s一世sb和C一个在s和G一世在和n$Xķ$吨H和在nC和r吨一个一世n吨是一个r一世s一世nG一世n$是ķ$一世sp在r和l是d在和吨○$ñķ$.吨H一个吨一世s,
h\left(Y_{k}\mid X_{k}\right)=h\left(N_{k}\right)
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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