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信息理论是对数字信息的量化、存储和通信的科学研究。该领域从根本上是由哈里-奈奎斯特和拉尔夫-哈特利在20世纪20年代以及克劳德-香农在20世纪40年代的作品所确立的。该领域处于概率论、统计学、计算机科学、统计力学、信息工程和电气工程的交叉点。
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数学代写|信息论作业代写information theory代考|The Number of Degrees of Freedom
The physics of propagation dictate that any observed electromagnetic field is an essentially bandlimited function. This basic property allows us to define the size of the signals’ space in terms of the number of degrees of freedom. Consider a one-dimensional, real, scalar waveform $f$ of a single scalar variable $t$. We assume that $f$ is square-integrable, and
$$
\int_{-\infty}^{\infty} f^{2}(t) d t \leq E
$$
This ensures that the waveform can be expanded in a series of, possibly complex, orthonormal basis functions $\left{\psi_{n}\right}$,
$$
f(t)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \psi_{n}(t),
$$
where
$$
a_{n}=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \psi_{n}^{*}(t) d t .
$$
The equality in (1.2) is intended in the “energy” sense:
$$
\lim {N \rightarrow \infty} \int{-\infty}^{\infty}\left[f(t)-f_{N}(t)\right]^{2} d t=0,
$$
where
$$
f_{N}(t)=\sum_{n=1}^{N} a_{n} \psi_{n}(t) .
$$
In the language of mathematics, $f$ is in $L^{2}(-\infty, \infty)$, and it can be viewed as a point in an infinite-dimensional space of coordinates given by the coefficients $\left{a_{n}\right}$ in (1.3). By varying the values of these coefficients, we can create distinct waveforms and use them to communicate information. If the orthonormal set of basis functions $\left{\psi_{n}\right}$ is complete, then using (1.2) we can construct any element in the space of signals defined by (1.1). By associating a waveform in this space with a given message that the transmitter wishes to communicate, the correct selection of the same waveform at the receiver implies that a certain amount of information is transferred between the two. One may reasonably expect that only a finite number of coefficients is in practice needed to specify the waveform up to any given accuracy, while using a larger number does not significantly improve the resolution at the receiver. It turns out that the question of what the smallest $N$ is beyond which varying higher-order coefficients does not change the form of the waveform significantly has a remarkably precise answer.
数学代写|信息论作业代写information theory代考|Space–Time Fields
The electromagnetic field is in general a function of four scalar variables: three spatial and one temporal. It follows that in order to appreciate the total field’s informational content in terms of degrees of freedom, we need to extend the treatment above to higher dimensions.
Let us first consider the canonical case of a two-dimensional domain of cylindrical symmetry, in which an electromagnetic field is radiated by current sources located inside a circular domain of radius $r$, and oriented perpendicular to the domain. The sources can also be induced by multiple scattering inside the domain. In any case, the radiated field away from the sources is completely determined by the field on the cut-set boundary surrounding the sources and through which it propagates – see Figure 1.7. On this boundary, we can refer to a scalar field $f(\phi, t)$ that is a function of only two scalar variables: one angular and one temporal. The corresponding four representations, linked by Fourier transforms, are depicted in Figure $1.8$, where $\omega$ indicates the transformed coordinate of the time variable $t$ and $w$ indicates the wavenumber that is the transformed coordinate of the angular variable $\phi$.
Letting $\Omega$ be the angular frequency bandwidth and $W$ be the wavenumber bandwidth, we now wish to determine the total number of degrees of freedom of the space-time field $f(\phi, t)$. To visualize the phase transition, we fix the bandwidth $\Omega$ and the size of the angular observation interval $S=2 \pi$, and scale the time support where the signal is observed $T \rightarrow \infty$ and the wavenumber bandwidth $W \rightarrow \infty$. Using the results of the monodimensional case, we have that as $T \rightarrow \infty$ the number of time-frequency degrees of freedom is of the order of
$$
N_{0}=\frac{\Omega T}{\pi} .
$$
信息论代写
数学代写|信息论作业代写information theory代考|The Number of Degrees of Freedom
传播的物理特性表明，任何观察到的电磁场本质上都是带限函数。这个基本属性允许我们根据自由度的数量来定 义信号空间的大小。考虑一维实标量波形 $f$ 单个标量变量 $t$. 我们假设 $f$ 是平方可积的，并且
$$
\int_{-\infty}^{\infty} f^{2}(t) d t \leq E
$$
这确保了波形可以扩展为一系列可能很复杂的正交基函数 佐{\psi_{n}\右 $}$,
$$
f(t)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \psi_{n}(t)
$$
在哪里
$$
a_{n}=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \psi_{n}^{*}(t) d t
$$
(1.2) 中的等式意在“能量”意义上:
$$
\lim N \rightarrow \infty \int-\infty^{\infty}\left[f(t)-f_{N}(t)\right]^{2} d t=0
$$
在哪里
$$
f_{N}(t)=\sum_{n=1}^{N} a_{n} \psi_{n}(t)
$$
在数学语言中， $f$ 在 $L^{2}(-\infty, \infty)$, 它可以被看作是由系数给出的无限维坐标空间中的一个点 lleft{a_{n}\right} 在 （1.3）中。通过改变这些系数的值，我们可以创建不同的波形并使用它们来传达信息。如果基函数的正交集 左{{psi_{n}\右} 是完整的，那么使用 (1.2) 我们可以在 (1.1) 定义的信号空间中构造任何元素。通过将该空间 中的波形与发送器希望传达的给定消息相关联，在接收器处正确选择相同波形意味着在两者之间传输一定量的信 息。人们可以合理地预期，实际上只需要有限数量的系数来指定波形达到任何给定的精度，而使用更大的数量并 不会显着提高接收器的分辨率。事实证明，最小的问题是什么 $N$ 超出这个范围，变化的高阶系数不会显着改变波 形的形式有一个非常精确的答案。
数学代写|信息论作业代写information theory代考|Space–Time Fields
电磁场通常是四个标量变量的函数：三个空间变量和一个时间变量。因此，为了从自由度的角度来理解整个域的 信息内容，我们需要将上述处理扩展到更高的维度。
让我们首先考虑圆柱对称二维域的典型情况，其中电磁场由位于半径圆形域内的电流源辐射 $r$ ，并垂直于域定向。 源也可以由域内的多次散射引起。在任何情况下，远离源的辐射场完全由围绕源的割集边界上的场决定，并通过 该场传播一一见图 1.7。在这个边界上，我们可以参考一个标量场 $f(\phi, t)$ 这是只有两个标量变量的函数：一个角 度变量和一个时间变量。由傅里叶变换链接的相应四个表示如图 1 所示。1.8，在哪里 $\omega$ 表示时间变量的变换坐 标 $t$ 和 $w$ 表示波数，它是角度变量的变换坐标 $\phi$.
让 $\Omega$ 是角频率带宽和 $W$ 是波数带宽，我们现在希望确定时空场的自由度总数 $f(\phi, t)$. 为了可视化相变，我们固定 带宽 $\Omega$ 以及角度观察区间的大小 $S=2 \pi$ ，并缩放观察信号的时间支持 $T \rightarrow \infty$ 和波数带宽 $W \rightarrow \infty$. 使用一维情 况的结果，我们有 $T \rightarrow \infty$ 时频自由度的数量为
$$
N_{0}=\frac{\Omega T}{\pi}
$$
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。