数学代写|信息论作业代写information theory代考|Information Measures for Continuous

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信息理论是对数字信息的量化、存储和通信的科学研究。该领域从根本上是由哈里-奈奎斯特和拉尔夫-哈特利在20世纪20年代以及克劳德-香农在20世纪40年代的作品所确立的。该领域处于概率论、统计学、计算机科学、统计力学、信息工程和电气工程的交叉点。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|信息论作业代写information theory代考|Information Measures for Continuous

数学代写|信息论作业代写information theory代考|Random Variables

The definitions of mutual information for discrete random variables can be directly extended to continuous random variables. Let $X$ and $Y$ be random variables with joint probability density function (pdf) $p(x, y)$ and marginal pdfs $p(x)$ and $p(y)$. The average mutual information between $X$ and $Y$ is defined as follows.

Definition $1.8$ The Average Mutual Information between two continuous random variables $X$ and $Y$ is defined as
$$
I(X ; Y)=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} p(x) p(y \mid x) \log \frac{p(y \mid x) p(x)}{p(x) p(y)} d x d y
$$
It should be pointed out that the definition of average mutual information can be carried over from discrete random variables to continuous random variables, but the concept and physical interpretation cannot. The reason is that the information content in a continuous random variable

is actually infinite, and we require infinite number of bits to represent a continuous random variable precisely. The self information, and hence the entropy, is infinite. To get around the problem we define a quantity called the differential entropy.
Definition 1.9 The Differential Entropy of a continuous random variable $X$ is defined as
$$
h(X)=-\int_{-\infty}^{\infty} p(x) \log p(x) d x
$$
Again, it should be understood that there is no physical meaning attached to the above quantity. We carry on with extending our definitions further.

Definition 1.10 The Average Conditional Entropy of a continuous random variable $X$ given $Y$ is defined as
$$
h(X \mid Y)=-\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} p(x, y) \log p(x \mid y) d x d y
$$
The average mutual information can be expressed as
$$
I(X ; Y)=h(X)-h(X \mid Y)=h(Y)-h(Y \mid X)
$$
Following is the list of some properties of differential entropy:

  1. $h(a X)=h(X)+\log |a|$.
  2. If $X$ and $Y$ are independent, then $h(X+Y) \geq h(X)$. This is because $h(X+Y) \geq h(X+Y \mid Y)=$ $h(X \mid Y)=h(X)$.

数学代写|信息论作业代写information theory代考|Relative Entropy

An interesting question to ask is how similar (or different) are two probability distributions? Relative entropy is used as a measure of distance between two distributions.

Definition 1.11 The Relative Entropy or Kullback Leibler (KL) Distance between two probability mass functions $p(x)$ and $q(x)$ is defined as
$$
D(p | q)=\sum_{x \in X} p(x) \log \left(\frac{p(x)}{q(x)}\right)
$$
It can be interpreted as the expected value of $\log \left(\frac{p(x)}{q(x)}\right)$.
Example 1.9 Consider a Gaussian distribution $p(x)$ with mean and variance given by $\left(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2}\right)$, and another Gaussian distribution $q(x)$ with mean and variance given by $\left(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2}\right)$. Using (1.33), we can find the KL distance between two Gaussian distributions as

$$
D(p | q)=\frac{1}{2}\left[\frac{\sigma_{1}^{2}}{\sigma_{2}^{2}}+\left(\frac{\mu_{2}-\mu_{1}}{\sigma_{2}}\right)^{2}-1-\log {2}\left(\frac{\sigma{1}^{2}}{\sigma_{2}^{2}}\right)\right]
$$
The distance becomes zero when the two distributions are identical, i.e., $\mu_{1}=\mu_{2}$ and $\sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2}$. It is interesting to note that when $\mu_{1} \neq \mu_{2}$, the distance is minimum for $\sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2}$. This minimum distance is given by
$$
D_{\min }(p | q)=\frac{1}{2}\left(\frac{\mu_{2}-\mu_{1}}{\sigma_{2}}\right)^{2}
$$
Also, the KL distance is infinite if either $\sigma_{1}^{2} \rightarrow 0$ or $\sigma_{2}^{2} \rightarrow 0$, that is, if either of the distributions tends to the Dirac delta.
The average mutual information can be seen as the relative entropy between the joint distribution, $p(x, y)$, and the product distribution, $p(x) p(y)$, i.e.,
$$
I(X ; Y)=D(p(x, y) | p(x) p(y))
$$
We note that, in general, $D(p | q) \neq D(q | p)$. Thus, even though the relative entropy is a distance measure, it does not follow the symmetry property of distances. To overcome this, another measure, called the Jensen Shannon distance, is sometimes used to define the similarity between two distributions.

Definition $1.12$ The Jensen Shannon Distance between two probability mass functions $p(x)$ and $q(x)$ is defined as
$$
J S D(p | q)=\frac{1}{2} D(p | m)+\frac{1}{2} D(q | m)
$$
where $m=\frac{1}{2}(p+q)$.
DID YOU If the base of the logarithm is 2 , then, $0 \leq J S D(p | q) \leq 1$. Note that Jensen Shannon distance is
KNOW sometimes referred to as Jensen Shannon divergence or Information Radius in literature.

数学代写|信息论作业代写information theory代考|Huffman Coding

We will now study an algorithm for constructing efficient source codes for a DMS with source symbols that are not equally probable. A variable length encoding algorithm was suggested by Huffiman in 1952 , based on the source symbol probabilities $P\left(x_{i}\right), i=1,2, \ldots, L$. The algorithm is optimal in the sense that the average number of bits required to represent the source symbols is a minimum provided the prefix condition is met. The steps of the Huffman coding algorithm are as follows:
(i) Arrange the source symbols in decreasing order of their probabilities.
(ii) Take the bottom two symbols and tie them together as shown in Fig. 1.11. Add the probabilities of the two symbols and write it on the combined node. Label the two branches with a ‘ $l$ ‘ and a ‘ 0 ‘ as depicted in Fig. 1.11.
(iii) Treat this sum of probabilities as a new probability associated with a new symbol. Again pick the two smallest probabilities, tie them together to form a new probability. Each time we perform the combination of two symbols we reduce the total number of symbols by one. Whenever we tie together two probabilities (nodes) we label the two branches with $\mathrm{a}$ ‘ 1 ‘ and $\mathrm{a} \mathrm{} ~ 0$ ‘.

(iv) Continue the procedure until only one probability is left (and it should be 1 if your addition is right!). This completes the construction of the Huffman tree.
(v) To find out the prefix codeword for any symbol, follow the branches from the final node back to the symbol. While tracing back the route, read out the labels on the branches. This is the codeword for the symbol.
The algorithm can be easily understood using the following example.

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信息论代写

数学代写|信息论作业代写information theory代考|Random Variables

离散随机变量的互信息定义可以直接推广到连续随机变量。让X和是是具有联合概率密度函数的随机变量 (pdf)p(X,是)和边缘pdfp(X)和p(是). 之间的平均互信息X和是定义如下。

定义1.8两个连续随机变量之间的平均互信息X和是定义为

一世(X;是)=∫−∞∞∫−∞∞p(X)p(是∣X)日志⁡p(是∣X)p(X)p(X)p(是)dXd是
需要指出的是,平均互信息的定义可以从离散随机变量推广到连续随机变量,但概念和物理解释不能。原因是信息内容在一个连续的随机变量中

实际上是无限的,我们需要无限多的比特来精确地表示一个连续的随机变量。自我信息,因此熵,是无限的。为了解决这个问题,我们定义了一个称为微分熵的量。
定义 1.9 连续随机变量的微分熵X定义为

H(X)=−∫−∞∞p(X)日志⁡p(X)dX
同样,应该理解的是,上述数量没有物理意义。我们继续进一步扩展我们的定义。

定义 1.10 连续随机变量的平均条件熵X给定是定义为

H(X∣是)=−∫−∞∞∫−∞∞p(X,是)日志⁡p(X∣是)dXd是
平均互信息可以表示为

一世(X;是)=H(X)−H(X∣是)=H(是)−H(是∣X)
以下是微分熵的一些性质的列表:

  1. H(一个X)=H(X)+日志⁡|一个|.
  2. 如果X和是是独立的,那么H(X+是)≥H(X). 这是因为H(X+是)≥H(X+是∣是)= H(X∣是)=H(X).

数学代写|信息论作业代写information theory代考|Relative Entropy

一个有趣的问题是两个概率分布有多相似(或不同)?相对熵用于衡量两个分布之间的距离。

定义 1.11 两个概率质量函数之间的相对熵或 Kullback Leibler (KL) 距离p(X)和q(X)定义为

D(p|q)=∑X∈Xp(X)日志⁡(p(X)q(X))
可以理解为期望值日志⁡(p(X)q(X)).
例 1.9 考虑一个高斯分布p(X)均值和方差由下式给出(μ1,σ12), 和另一个高斯分布q(X)均值和方差由下式给出(μ2,σ22). 使用 (1.33),我们可以找到两个高斯分布之间的 KL 距离为

D(p|q)=12[σ12σ22+(μ2−μ1σ2)2−1−日志⁡2(σ12σ22)]
当两个分布相同时,距离变为零,即μ1=μ2和σ12=σ22. 有趣的是,当μ1≠μ2, 距离最小σ12=σ22. 这个最小距离由下式给出

D分钟(p|q)=12(μ2−μ1σ2)2
此外,KL 距离是无限的,如果σ12→0或者σ22→0,也就是说,如果任何一个分布都倾向于狄拉克三角洲。
平均互信息可以看作是联合分布之间的相对熵,p(X,是),以及产品分布,p(X)p(是), IE,

一世(X;是)=D(p(X,是)|p(X)p(是))
我们注意到,一般来说,D(p|q)≠D(q|p). 因此,即使相对熵是距离度量,它也不遵循距离的对称性。为了克服这个问题,有时使用另一种称为 Jensen Shannon 距离的度量来定义两个分布之间的相似性。

定义1.12两个概率质量函数之间的 Jensen Shannon 距离p(X)和q(X)定义为

Ĵ小号D(p|q)=12D(p|米)+12D(q|米)
在哪里米=12(p+q).
DID YOU 如果对数的底是 2 ,那么,0≤Ĵ小号D(p|q)≤1. 请注意,Jensen Shannon 距离
在文献中有时称为 Jensen Shannon 散度或信息半径。

数学代写|信息论作业代写information theory代考|Huffman Coding

我们现在将研究一种算法,用于为具有不等可能的源符号的 DMS 构建有效的源代码。Huffiman 在 1952 年提出了一种基于源符号概率的可变长度编码算法。磷(X一世),一世=1,2,…,大号. 在满足前缀条件的情况下,表示源符号所需的平均比特数是最小值,该算法是最优的。霍夫曼编码算法的步骤如下:
(i) 以它们的概率的降序排列源符号。
(ii) 如图 1.11 所示,将底部的两个符号绑在一起。将两个符号的概率相加,并将其写在组合节点上。用’标记两个分支l’和一个’0’,如图1.11所示。
(iii) 将此概率总和视为与新符号相关联的新概率。再次选择两个最小的概率,将它们连接在一起形成一个新的概率。每次我们执行两个符号的组合时,我们都会将符号的总数减一。每当我们将两个概率(节点)联系在一起时,我们将两个分支标记为一个’1′ 和一个 0 ‘.

(iv) 继续这个过程,直到只剩下一个概率(如果你的加法正确,它应该是 1!)。这样就完成了 Huffman 树的构建。
(v) 要找出任何符号的前缀码字,请沿着从最终节点到符号的分支。一边追溯路线,一边读出树枝上的标签。这是符号的代码字。
使用以下示例可以很容易地理解该算法。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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