数学代写|信息论作业代写information theory代考|Introduction to Image Compression

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信息理论是对数字信息的量化、存储和通信的科学研究。该领域从根本上是由哈里-奈奎斯特和拉尔夫-哈特利在20世纪20年代以及克劳德-香农在20世纪40年代的作品所确立的。该领域处于概率论、统计学、计算机科学、统计力学、信息工程和电气工程的交叉点。

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数学代写|信息论作业代写information theory代考|Introduction to Image Compression

数学代写|信息论作业代写information theory代考|Introduction to Image Compression

Earlier in this chapter we discussed the coding of data sets for compression. By applying these techniques we can store or transmit all of the information content of a string of data with fewer bits than are in the source data. The data stream can represent the original data to an extent that is satisfactory to the most discerning eye. Since we can represent a picture by something between a thousand and a million bytes of data, we should be able to apply the techniques studied earlier directly to the task of compressing that data for storage and transmission. First, we consider the following points:
$\begin{array}{ll}\text { DID YOU } & \text { 1. High quality images are represented by very large data sets. A photographic quality image } \ \text { KNOW } & \text { may require } 40 \text { to } 100 \text { million bits for representation. These large file sizes drive the need } \ \text { for extremely high compression ratios to make storage and transmission (particularly of }\end{array}$ movies) practical.

  1. Applications that involve imagery seem to be inherently linked to immediate human consumption, and so need to be fast in execution on computers and in transmission. Television, movies, computer graphical user interfaces, and the World Wide Web are examples of applications in which imagery must be moved from storage or across some kind of distribution network very quickly for immediate human intake.
  2. Imagery has the quality of higher redundancy than we can generally expect in arbitrary data. For example, a pair of adjacent horizontal lines in an image are nearly identical (typically), while, two adjacent lines in a book have essentially no commonality.
    The first two points indicate that we will almost always want to apply the highest level of compression technology available for the movement and storage of image data. The third factor indicates that compression ratios will usually be quite high. The third factor also says that some special compression techniques may be possible that will take advantage of the structure and properties of image data. The close relationship between neighboring pixels in an image can be exploited to improve the compression ratios. This is very important for the task of coding and decoding image data for real-time applications.

Another interesting point to note is that the human eye is very tolerant to approximation error in an image. Thus, it may be possible to compress the image data in a manner in which the less important information (to the human eye) can be dropped. That is, by trading off some of the quality of the image we might obtain a significantly reduced data size. This technique is called lossy compression, as opposed to the lossless compression techniques discussed earlier. This sentiment, however, can never be expressed with regards to, say, financial data or even textual data! Lossy compression can only be applied to data such as images and audio for which human beings will tolerate some loss of fidelity.

数学代写|信息论作业代写information theory代考|The JPEG Standard for Lossless Compression

The two lossless JPEG compression options differ only in the form of the entropy code that is applied to the innovations data. The user can choose to use either a Huffman code or an Arithmetic code.

DID YOU We have seen earlier that Arithmetic code, like Huffman code, achieves compression by using KNOW = the probabilistic nature of the data to render the information with fewer bits than used in the original data stream. Its primary advantage over the Huffman code is that it can come closer to the Shannon entropy limit of compression for data streams that involve a relatively small alphabet. The reason is that Huffman codes work best (highest compression ratios) when the probabilities of the symbols can be expressed as fractions of powers of two. The Arithmetic code construction is not closely tied to these particular values, as is the Huffman code. The computation of coding and decoding Arithmetic codes is more costly than that of Huffiman codes. Typically a 5 to $10 \%$ reduction in file size is seen with the application of Arithmetic codes over that obtained with Huffman coding.

Some compression can be achieved if we can predict the next pixel using the previous pixels. In this way we just have to transmit the prediction coefficients (or difference in the values) instead of the entire pixel. The predictive process that is used in the lossless JPEG coding schemes to form the innovations data is also variable. However, in this case, the variation is not based upon the user’s choice, but rather, for any image on a line-by-line basis. The choice is made according to that prediction method that yields the best prediction overall for the entire line.

There are eight prediction methods available in the JPEG coding standards. One of the eight (which is the no prediction option) is not used for the lossless coding option that we are examining here. The other seven may be divided into the following categories:

  1. Predict the next pixel on the line as having the same value as the last one.
  2. Predict the next pixel on the line as having the same value as the pixel in this position on the previous line (that is, above it).
  3. Predict the next pixel on the line as having a value related to a combination of the previous, above and previous to the above pixel values. One such combination is simply the average of the other three.

数学代写|信息论作业代写information theory代考|The JPEG Standard for Lossy Compression

The JPEG standard includes a set of sophisticated lossy compression options which resulted from much experimentation by the creators of JPEG with regard to human acceptance of types of image distortion. The JPEG standard was the result of years of effort by the JPEG which was formed as a joint effort by two large, standing, standards organizations, the CCITT (The European telecommunications standards organization) and the ISO (International Standards Organization).

The JPEG lossy compression algorithm consists of an image simplification stage, which removes the image complexity at some loss of fidelity, followed by a lossless compression step based on predictive filtering and Huffman or Arithmetic coding.

The lossy image simplification step, which we will call the image reduction, is based on the exploitation of an operation known as the Discrete Cosine Transform (DCT), defined as follows.
$$
Y(k, l)=\sum_{i=0}^{N-1} \sum_{j=0}^{M-1} 4 y(i, j) \cos \left(\frac{\pi k}{2 N}(2 i+1)\right) \cos \left(\frac{\pi l}{2 M}(2 j+1)\right)
$$
DID YOU where the input image is $N$ pixels by $M$ pixels, $y(i, j)$ is the intensity of the pixel in row $i$ and KNOW $=$ column $j, Y(k, l)$ is the DCT coefficient in row $k$ and column $l$ of the DCT matrix. All DCT multiplications are real. This lowers the number of required multiplications, as compared to the discrete Fourier transform. For most images, much of the signal energy lies at low frequencies, which appear in the upper left corner of the DCT. The lower right values represent higher frequencies, and are often small (usually small enough to be neglected with little visible distortion). The DCT is, unfortunately, computationally very expensive and its complexity increases as $O\left(N^{2}\right)$. Therefore, images compressed using DCT are first divided into blocks.

In the JPEG image reduction process, the DCT is applied to 8 by 8 pixel blocks of the image. Hence, if the image is 256 by 256 pixels in size, we break it into 32 by 32 square blocks of 8 by 8 pixels and treat each one independently. The 64 pixel values in each block are transformed by the DCT into a new set of 64 values. These new 64 values, known also as the DCT coefficients, form a whole new way of representing an image. The DCT coefficients represent the spatial frequency of the image sub-block. The upper left corner of the DCT matrix has low frequency components and the lower right-corner the high frequency components (see Fig. 1.19). The top left coefficient is called the DC coefficient. Its value is proportional to the average value of the 8 by 8 block of pixels. The rest are called the $\mathbf{A C}$ coefficients.

So far we have not obtained any reduction simply by taking the DCT. However, due to the nature of most natural images, maximum energy (information) lies in low frequency as opposed to high frequency. We can represent the high frequency components coarsely, or drop them altogether, without strongly affecting the quality of the resulting image reconstruction. This leads to a lot of compression (lossy). The JPEG lossy compression algorithm does the following operations:

  1. First the lowest weights are trimmed by setting them to zero.
  2. The remaining weights are quantized (that is, rounded off to the nearest of some number of discrete code represented values), some more coarsely than others according to observed levels of sensitivity of viewers to these degradations.
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信息论代写

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本章前面我们讨论了压缩数据集的编码。通过应用这些技术,我们可以使用比源数据中更少的位来存储或传输数据串的所有信息内容。数据流可以将原始数据表示到最敏锐的眼睛满意的程度。由于我们可以用一千到一百万字节的数据来表示一张图片,我们应该能够将前面研究的技术直接应用于压缩该数据以进行存储和传输的任务。首先,我们考虑以下几点:
 你是否  1. 高质量的图像由非常大的数据集表示。照片质量的图像   知道  可能需要 40 至 100 百万位用于表示。这些大文件大小推动了需求   以极高的压缩比进行存储和传输(尤其是 电影)实用。

  1. 涉及图像的应用程序似乎与直接的人类消费有着内在的联系,因此需要在计算机上快速执行和传输。电视、电影、计算机图形用户界面和万维网都是应用程序的示例,在这些应用程序中,图像必须非常快速地从存储设备或某种分发网络中移动,以便立即供人使用。
  2. 图像具有比我们通常在任意数据中预期的更高冗余的质量。例如,图像中的一对相邻水平线(通常)几乎相同,而一本书中的两条相邻线基本上没有共性。
    前两点表明我们几乎总是希望应用最高级别的压缩技术来移动和存储图像数据。第三个因素表明压缩比通常会很高。第三个因素还表明,一些特殊的压缩技术可能会利用图像数据的结构和属性。可以利用图像中相邻像素之间的密切关系来提高压缩比。这对于实时应用的图像数据编码和解码任务非常重要。

另一个值得注意的有趣点是,人眼对图像中的近似误差非常宽容。因此,可以以可以丢弃不太重要的信息(对于人眼)的方式来压缩图像数据。也就是说,通过权衡图像的一些质量,我们可能会获得显着减小的数据大小。这种技术称为有损压缩,与前面讨论的无损压缩技术相反。然而,这种情绪永远不能用财务数据甚至文本数据来表达!有损压缩只能应用于图像和音频等人类可以容忍某些保真度损失的数据。

数学代写|信息论作业代写information theory代考|The JPEG Standard for Lossless Compression

两种无损 JPEG 压缩选项的不同之处仅在于应用于创新数据的熵代码的形式。用户可以选择使用霍夫曼代码或算术代码。

你是不是我们之前已经看到,算术代码和霍夫曼代码一样,通过使用 KNOW = 数据的概率特性来实现压缩,从而使用比原始数据流中使用的更少的位来呈现信息。与霍夫曼编码相比,它的主要优势在于它可以更接近香农熵压缩限制,用于涉及相对较小字母的数据流。原因是当符号的概率可以表示为 2 的幂的分数时,霍夫曼码工作得最好(最高压缩比)。算术代码构造与这些特定值没有紧密联系,霍夫曼代码也是如此。编解码算术码的计算成本比霍夫曼码高。通常为 5 到10%使用算术代码比使用霍夫曼编码获得的文件大小更小。

如果我们可以使用先前的像素预测下一个像素,则可以实现一些压缩。通过这种方式,我们只需要传输预测系数(或值的差异)而不是整个像素。在无损 JPEG 编码方案中用于形成创新数据的预测过程也是可变的。然而,在这种情况下,变化不是基于用户的选择,而是基于逐行的任何图像。根据对整条生产线产生总体最佳预测的预测方法进行选择。

JPEG 编码标准中有八种预测方法可用。八种之一(即无预测选项)不用于我们在此处检查的无损编码选项。其他七种可分为以下几类:

  1. 预测线上的下一个像素与最后一个像素具有相同的值。
  2. 预测该行上的下一个像素与上一行(即在其上方)该位置的像素具有相同的值。
  3. 将线上的下一个像素预测为具有与上述像素值的先前、上方和先前的组合相关的值。一种这样的组合只是其他三种组合的平均值。

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JPEG 标准包括一组复杂的有损压缩选项,这些选项源于 JPEG 的创建者在人类接受图像失真类型方面的大量实验。JPEG 标准是 JPEG 多年努力的结果,它是由两个大型的常设标准组织 CCITT(欧洲电信标准组织)和 ISO(国际标准组织)共同努力形成的。

JPEG 有损压缩算法由图像简化阶段组成,该阶段在保真度损失的情况下消除图像复杂性,然后是基于预测滤波和霍夫曼或算术编码的无损压缩步骤。

有损图像简化步骤(我们将其称为图像缩减)基于对离散余弦变换 (DCT) 操作的利用,其定义如下。

是(ķ,l)=∑一世=0ñ−1∑j=0米−14是(一世,j)因⁡(圆周率ķ2ñ(2一世+1))因⁡(圆周率l2米(2j+1))
你知道输入图像在哪里吗ñ像素米像素,是(一世,j)是行中像素的强度一世并且知道=柱子j,是(ķ,l)是行中的 DCT 系数ķ和列lDCT 矩阵。所有 DCT 乘法都是实数。与离散傅里叶变换相比,这降低了所需的乘法次数。对于大多数图像,大部分信号能量位于低频,出现在 DCT 的左上角。右下方的值代表更高的频率,并且通常很小(通常小到可以忽略几乎没有可见的失真)。不幸的是,DCT 在计算上非常昂贵,并且它的复杂性随着这(ñ2). 因此,使用 DCT 压缩的图像首先被分成块。

在 JPEG 图像缩小过程中,DCT 应用于图像的 8 x 8 像素块。因此,如果图像大小为 256 x 256 像素,我们将其分成 8 x 8 像素的 32 x 32 正方形块,并独立处理每个块。每个块中的 64 个像素值由 DCT 转换为一组新的 64 个值。这些新的 64 个值,也称为 DCT 系数,形成了一种全新的图像表示方式。DCT 系数代表图像子块的空间频率。DCT 矩阵的左上角有低频分量,右下角有高频分量(见图 1.19)。左上角的系数称为 DC 系数。它的值与 8 x 8 像素块的平均值成正比。其余的称为一种C系数。

到目前为止,我们还没有仅仅通过 DCT 获得任何减少。然而,由于大多数自然图像的性质,最大能量(信息)位于低频而不是高频。我们可以粗略地表示高频分量,或者完全放弃它们,而不会强烈影响所得到的图像重建的质量。这会导致大量压缩(有损)。JPEG 有损压缩算法执行以下操作:

  1. 首先,通过将最低权重设置为零来修剪它们。
  2. 剩余的权重被量化(即,四舍五入到最接近的一些离散代码表示值),根据观察到的观众对这些退化的敏感度,一些权重比其他权重更粗略。
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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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