数学代写|信息论作业代写information theory代考|Shannon-Fano-Elias Coding

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信息理论是对数字信息的量化、存储和通信的科学研究。该领域从根本上是由哈里-奈奎斯特和拉尔夫-哈特利在20世纪20年代以及克劳德-香农在20世纪40年代的作品所确立的。该领域处于概率论、统计学、计算机科学、统计力学、信息工程和电气工程的交叉点。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|信息论作业代写information theory代考|Shannon-Fano-Elias Coding

数学代写|信息论作业代写information theory代考|Shannon-Fano-Elias Coding

Codes that use the codeword lengths of $l(x)=\left[\log \frac{1}{P(x)}\right\rceil$ are called Shannon Codes. Shannon codeword lengths satisfy the Kraft inequality and can therefore be used to construct a uniquely decodable code. In this section we will study another simple method for constructing uniquely decodable codes based on ShannonFano-Elias encoding technique. It uses the Cumulative Distribution Function to allocate the codewords. The cumulative distribution function is defined as
$$
F(x)=\sum_{z \leq x} P(z)
$$
where $P(z)$ are the probability of occurrence of the $z$. The cumulative distribution function consists of steps of size $P(x)$, as shown in Fig. $1.15$. Let us define a modified cumulative distribution function as $$ \bar{F}(x)=\sum_{z<x} P(z)+\frac{1}{2} P(x) $$ symbols less than $x$ plus half the probability of the symbols $x$. The value of the function $\bar{F}(x)$ is the midpoint of the step corresponding to $x$ of the cumulative distribution function.
Fig. 1.15 The cumulative distribution Since probabilities are positive, $F(x) \neq F(y)$ if $x \neq y$. Thus it is function. possible to determine $x$ given $\bar{F}(x)$ merely by looking at the graph of the cumulative distribution function. Therefore, the value of $\bar{F}(x)$ can be used to code $x$.

In general, $\bar{F}(x)$ is a real number. This means we require an infinite number of bits to represent $\bar{F}(x)$, which would lead to an inefficient code. Suppose we round off $\bar{F}(x)$ and use only the first $l(x)$ bits, denoted by $\lfloor\bar{F}(x)\rfloor_{l(x)}$. By the definition of rounding off we have
$$
\bar{F}(x)-\lfloor\bar{F}(x)\rfloor_{l(x)} \leq \frac{1}{2^{l(x)}}
$$
If $l(x)=\left[\log \frac{1}{P(x)}\right]+1$, then,
$$
\frac{1}{2^{l(x)}}<\frac{P(x)}{2}=\bar{F}(x)-F(x-1)
$$
This implies that $\lfloor\bar{F}(x)\rfloor_{l(x)}$ lies within the step corresponding to $x$, and $l(x)$ bits are sufficient to describe $x$. The interval corresponding to any codeword is of length $2^{-l(x)}$. From (1.55) we see that this interval is less than half the height of the step corresponding to $x$. Since we use $l(x)=\left[\log \frac{1}{P(x)}\right]+1$ bits to represent $x$, the expected length of this code is
$$
\bar{R}=\sum_{x} P(x) l(x)=\sum_{x} P(x)\left(\left[\log \frac{1}{P(x)}\right]+1\right)<H(X)+2
$$
Thus the Shannon-Fano-Elias coding scheme achieves codeword length within two bits of the entropy.

数学代写|信息论作业代写information theory代考|Arithmetic Coding

As we have seen from Example 1.14, Huffiman codes are only optimal if the probabilities of the symbols are negative powers of two. This is because all prefix codes work at the bit level. There are two ways to look at it.
(a) Prefix codes try to match the self information of the symbols using codewords whose lengths are integers. The length matching may ascribe a codeword either longer than the self information or shorter. The exact match is possible if and only if the self information is in integral number of bits.
(b) If we consider the prefix codes being generated using a binary tree, the decisions between tree branches always take one bit. This is regardless of the fact whether the probabilities for the branches are $0.5 / 0.5$ or $0.9 / 0.1$. In the latter case it would theoretically take only $0.15$ bits

$\left(-\log {2}(0.9)\right)$ to select the first branch and $3.32$ bits $\left(-\log {2}(0.1)\right)$ to select the second branch, making the average code length $0.467$ bits $(0.9 \times 0.15+0.1 \times 3.32)$. The Huffiman code still needs one bit for each decision.

Arithmetic coding does not have this restriction. It works by representing the file to be encoded by an interval of real numbers between 0 and 1. Successive symbols in the message reduce this interval in accordance with the probability of that symbol. The more likely symbols reduce the range by less, and thus add fewer bits to the message.

数学代写|信息论作业代写information theory代考|The Lempel-Ziv Algorithm

Huffman coding requires symbol probabilities. But most real life scenarios do not provide the symbol probabilities in advance (i.e., the statistics of the source is unknown). In principle, it is possible to observe the output of the source for a long enough time period and estimate the symbol probabilities. However, this is impractical for real-time application. Also, Huffman coding is optimal for a DMS source where the occurrence of one symbol does not alter the probabilities of the subsequent symbols. Huffman coding is not the best choice for a source with memory. For example, consider the problem of compression of written text. We know that many letters occur in pairs or groups, like ‘ $q$ – $u$ ‘, ‘ $t-h$ ‘, ‘ $i=n-g$ ‘ etc. It might be more efficient to use the statistical inter-dependence of the letters in the alphabet along with their individual probabilities of occurrence. Such a scheme was proposed by Lempel and Ziv in 1977. Their source coding algorithm does not need the source statistics. It is a variable-to-fixed length source coding algorithm and belongs to the class of universal source coding algorithms.

The logic behind Lempel-Ziv universal coding is as follows. The compression of an arbitrary sequence of bits is possible by coding a series of 0 ‘s and l’s as some previous such string (the prefix string) plus one new bit. Then, the new string formed by adding the new bit to the previously used prefix string becomes a potential prefix string for future strings. These variable length blocks are called phrases. The phrases are listed in a dictionary which stores the existing phrases and their locations. In encoding a new phrase, we specify the location of the existing phrase in the dictionary and append the new letter. We can derive a better understanding of how the Lempel-Ziv algorithm works by the following example.

数学代写|信息论作业代写information theory代考|Shannon-Fano-Elias Coding

信息论代写

数学代写|信息论作业代写information theory代考|Shannon-Fano-Elias Coding

使用以下码字长度的代码l(X)=[日志⁡1磷(X)⌉称为香农码。香农码字长度满足卡夫不等式,因此可用于构造唯一可解码的码。在本节中,我们将研究另一种基于 ShannonFano-Elias 编码技术构建唯一可解码码的简单方法。它使用累积分布函数来分配码字。累积分布函数定义为

F(X)=∑和≤X磷(和)
在哪里磷(和)是发生的概率和. 累积分布函数由大小步长组成磷(X),如图所示。1.15. 让我们将修改后的累积分布函数定义为

F¯(X)=∑和<X磷(和)+12磷(X)符号小于X加上符号概率的一半X. 函数的价值F¯(X)是对应于的步骤的中点X的累积分布函数。
图 1.15 累积分布由于概率为正,F(X)≠F(是)如果X≠是. 因此它是功能。可以确定X给定F¯(X)仅通过查看累积分布函数图。因此,价值F¯(X)可以用来编码X.

一般来说,F¯(X)是一个实数。这意味着我们需要无限数量的比特来表示F¯(X),这将导致代码效率低下。假设我们四舍五入F¯(X)并且只使用第一个l(X)位,表示为⌊F¯(X)⌋l(X). 根据四舍五入的定义,我们有

F¯(X)−⌊F¯(X)⌋l(X)≤12l(X)
如果l(X)=[日志⁡1磷(X)]+1, 然后,

12l(X)<磷(X)2=F¯(X)−F(X−1)
这意味着⌊F¯(X)⌋l(X)位于对应的步骤内X, 和l(X)位足以描述X. 任何码字对应的区间都是有长度的2−l(X). 从(1.55)我们看到这个区间小于对应的台阶高度的一半X. 由于我们使用l(X)=[日志⁡1磷(X)]+1位来表示X,此代码的预期长度为

R¯=∑X磷(X)l(X)=∑X磷(X)([日志⁡1磷(X)]+1)<H(X)+2
因此,Shannon-Fano-Elias 编码方案在熵的两个比特内实现了码字长度。

数学代写|信息论作业代写information theory代考|Arithmetic Coding

正如我们从示例 1.14 中看到的,只有当符号的概率是 2 的负幂时,Huffiman 码才是最优的。这是因为所有前缀代码都在位级别工作。有两种方法可以查看它。
(a) 前缀码尝试使用长度为整数的码字匹配符号的自身信息。长度匹配可以归因于比自身信息更长或更短的码字。当且仅当自身信息是整数位时,精确匹配是可能的。
(b) 如果我们考虑使用二叉树生成的前缀码,则树分支之间的决策总是占用一位。这与分支的概率是否为0.5/0.5或者0.9/0.1. 在后一种情况下,理论上只需要0.15位

(−日志⁡2(0.9))选择第一个分支和3.32位(−日志⁡2(0.1))选择第二个分支,使平均代码长度0.467位(0.9×0.15+0.1×3.32). Huffiman 代码仍然需要一个位来进行每个决定。

算术编码没有这个限制。它的工作原理是用 0 到 1 之间的实数间隔来表示要编码的文件。消息中的连续符号会根据该符号的概率减小该间隔。更可能的符号将范围缩小得更少,因此向消息中添加的位更少。

数学代写|信息论作业代写information theory代考|The Lempel-Ziv Algorithm

霍夫曼编码需要符号概率。但大多数现实生活场景并没有提前提供符号概率(即来源的统计数据未知)。原则上,可以在足够长的时间段内观察源的输出并估计符号概率。然而,这对于实时应用来说是不切实际的。此外,霍夫曼编码对于一个符号的出现不会改变后续符号的概率的 DMS 源是最佳的。霍夫曼编码不是具有内存的源的最佳选择。例如,考虑书面文本的压缩问题。我们知道许多字母成对或成组出现,例如’q – 在 ‘, ‘ 吨−H‘, ‘一世=n−G’ 等等。使用字母表中字母的统计相互依赖性以及它们各自的出现概率可能会更有效。这种方案是由 Lempel 和 Ziv 在 1977 年提出的。他们的源编码算法不需要源统计。它是一种变定长信源编码算法,属于通用信源编码算法类。

Lempel-Ziv 通用编码背后的逻辑如下。通过将一系列 0 和 l 编码为一些先前的此类字符串(前缀字符串)加上一个新位,可以压缩任意位序列。然后,通过将新位添加到先前使用的前缀字符串而形成的新字符串成为未来字符串的潜在前缀字符串。这些可变长度的块称为短语。短语列在存储现有短语及其位置的字典中。在编码新短语时,我们指定字典中现有短语的位置并附加新字母。通过以下示例,我们可以更好地理解 Lempel-Ziv 算法的工作原理。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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