### 数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|MAST20026

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## 数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Convolution of Periodic Functions

The convolution of two $2 \pi$-periodic functions $f, g \in L_{1}(\mathbb{T})$ is the function $h=$ $f * g$ given by
$$h(x):=(f * g)(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(y) g(x-y) \mathrm{d} y .$$
Using the substitution $y=x-t$, we see
$$(f * g)(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x-t) g(t) \mathrm{d} t=(g * f)(x)$$
so that the convolution is commutative. It is easy to check that it is also associative and distributive. Furthermore, the convolution is translation invariant
$$(f(\cdot-t) * g)(x)=(f * g)(x-t)$$
If $g$ is an even function, i.e., $g(x)=g(-x)$ for all $x \in \mathbb{R}$, then
$$(f * g)(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(y) g(y-x) \mathrm{d} y .$$
Figure $1.5$ shows the convolution of two $2 \pi$-periodic functions. The following theorem shows that the convolution is well defined for certain functions.

## 数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Pointwise and Uniform Convergence of Fourier Series

In Sect. 1.3, it was shown that a Fourier series of an arbitrary function $f \in L_{2}(\mathbb{T})$ converges in the norm of $L_{2}(\mathbb{T})$, i.e.,
$$\lim {n \rightarrow \infty}\left|S{n} f-f\right|_{L_{2}(\mathbb{T})}=\lim {n \rightarrow \infty}\left|f * D{n}-f\right|_{L_{2}(\mathbb{T})}=0$$

In general, the pointwise or almost everywhere convergence of a sequence $\left(f_{n}\right){n \in \mathbb{N}}$ of functions $f{n} \in L_{2}(\mathbb{T})$ does not result the convergence in $L_{2}(\mathbb{T})$.
Example $1.23$ Let $f_{n}: \mathbb{T} \rightarrow \mathbb{R}$ be the $2 \pi$-extension of
$$f_{n}(x):= \begin{cases}n & x \in(0,1 / n), \ 0 & x \in{0} \cup[1 / n, 2 \pi)\end{cases}$$
Obviously, we have $\lim {n \rightarrow \infty} f{n}(x)=0$ for all $x \in[0,2 \pi]$. But it holds for $n \rightarrow \infty$,
$$\left|f_{n}\right|_{L_{2}(\mathbb{T})}^{2}=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{1 / n} n^{2} \mathrm{~d} x=\frac{n}{2 \pi} \rightarrow \infty .$$
As known (see, e.g., [229, pp. 52-53]), if a sequence $\left(f_{n}\right){n \in \mathbb{N}}$, where $f{n} \in L_{p}(\mathbb{T})$ with $1 \leq p \leq \infty$, converges to $f \in L_{p}(\mathbb{T})$ in the norm of $L_{p}(\mathbb{T})$, then there exists a subsequence $\left(f_{n_{k}}\right){k \in \mathbb{N}}$ such that for almost all $x \in[0,2 \pi]$, $$\lim {k \rightarrow \infty} f_{n_{k}}(x)=f(x)$$

## 数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Convolution of Periodic Functions

$$h(x):=(f * g)(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(y) g(x-y) \mathrm{d} y .$$

$$(f * g)(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x-t) g(t) \mathrm{d} t=(g * f)(x)$$

$$(f(\cdot-t) * g)(x)=(f * g)(x-t)$$

$$(f * g)(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(y) g(y-x) \mathrm{d} y .$$

## 数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Pointwise and Uniform Convergence of Fourier Series

$$\lim n \rightarrow \infty|S n f-f|{L{2}(T)}=\lim n \rightarrow \infty|f * D n-f|{L{2}(T)}=0$$

$$f_{n}(x):={n \quad x \in(0,1 / n), 0 \quad x \in 0 \cup[1 / n, 2 \pi)$$

$$\left|f_{n}\right|{L{2}(\mathbb{T})}^{2}=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{1 / n} n^{2} \mathrm{~d} x=\frac{n}{2 \pi} \rightarrow \infty .$$

$$\lim k \rightarrow \infty f_{n_{k}}(x)=f(x)$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。