数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|MAT3105

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|MAT3105

数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Fourier’s Solution of Laplace Equation

In 1804 , the French mathematician and egyptologist Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) began his studies on the heat propagation in solid bodies. In 1807, he finished a first paper about heat propagation. He discovered the fundamental partial differential equation of heat propagation and developed a new method to solve this equation. The mathematical core of Fourier’s idea was that each periodic function can be well approximated by a linear combination of sine and cosine terms. This theory contradicted the previous views on functions and was met with resistance by some members of the French Academy of Sciences, so that a publication was initially prevented. Later, Fourier presented these results in the famous book “The Analytical Theory of Heat” published firstly 1822 in French, cf. [119]. For an image of Fourier, see Fig. 1.1 (Image source: https://commons.wikimedia.org/wiki/File: Joseph_Fourier.jpg).

In the following, we describe Fourier’s idea by a simple example. We consider the open unit disk $\Omega=\left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{2}<1\right}$ with the boundary $\Gamma=$ $\left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{2}=1\right}$. Let $v(x, y, t)$ denote the temperature at the point $(x, y) \in \Omega$ and the time $t \geq 0$. For physical reasons, the temperature fulfills the heat equation $$ \frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} v}{\partial y^{2}}=c \frac{\partial v}{\partial t}, \quad(x, y) \in \Omega, t>0
with some constant $c>0$. At steady state, the temperature is independent of the time such that $v(x, y, t)=v(x, y)$ satisfies the Laplace equation
\frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} v}{\partial y^{2}}=0, \quad(x, y) \in \Omega .
What is the temperature $v(x, y)$ at any point $(x, y) \in \Omega$, if the temperature at each point of the boundary $\Gamma$ is known?
Using polar coordinates
x=r \cos \varphi, \quad y=r \sin \varphi, \quad 0<r<1,0 \leq \varphi<2 \pi,

数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Fourier Coefficients and Fourier Series

A complex-valued function $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}$ is $2 \pi$-periodic or periodic with period $2 \pi$, if $f(x+2 \pi)=f(x)$ for all $x \in \mathbb{R}$. In the following, we identify any $2 \pi$-periodic function $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}$ with the corresponding function $f: \mathbb{T} \rightarrow \mathbb{C}$ defined on the torus $\mathbb{T}$ of length $2 \pi$. The torus $\mathbb{T}$ can be considered as quotient space $\mathbb{R} /(2 \pi \mathbb{Z})$ or its representatives, e.g. the interval $[0,2 \pi]$ with identified endpoints 0 and $2 \pi$. For short, one can also geometrically think of the unit circle with circumference $2 \pi$. Typical examples of $2 \pi$-periodic functions are $1, \cos (n \cdot), \sin (n \cdot)$ for each angular frequency $n \in \mathbb{N}$ and the complex exponentials $\mathrm{e}^{\mathrm{i} k \cdot}$ for each $k \in \mathbb{Z}$.

By $C(\mathbb{T})$ we denote the Banach space of all continuous functions $f: \mathbb{T} \rightarrow \mathbb{C}$ with the norm
|f|_{C(\mathbb{T})}:=\max {x \in \mathbb{T}}|f(x)| $$ and by $C^{r}(\mathbb{T}), r \in \mathbb{N}$ the Banach space of $r$-times continuously differentiable functions $f: \mathbb{T} \rightarrow \mathbb{C}$ with the norm $$ |f|{C^{r}(\mathbb{T})}:=|f|_{C(\mathbb{T})}+\left|f^{(r)}\right|_{C(\mathbb{T})} .
Clearly, we have $C^{r}(\mathbb{T}) \subset C^{s}(\mathbb{T})$ for $r>s$.
Let $L_{p}(\mathbb{T}), 1 \leq p \leq \infty$ be the Banach space of measurable functions $f: \mathbb{T} \rightarrow$ $\mathbb{C}$ with finite norm
&|f|_{L_{p}(\mathbb{T})}:=\left(\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^{p} \mathrm{~d} x\right)^{1 / p}, \quad 1 \leq p<\infty \
&|f|_{L_{\infty}(\mathbb{T})}:=\operatorname{ess} \sup {|f(x)|: x \in \mathbb{T}}
where we identify almost equal functions. If a $2 \pi$-periodic function $f$ is integrable on $[-\pi, \pi]$, then we have
\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x=\int_{-\pi+a}^{\pi+a} f(x) \mathrm{d} x
$$ for all $a \in \mathbb{R}$ so that we can integrate over any interval of length $2 \pi$.

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数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Fourier’s Solution of Laplace Equation

1804 年,法国数学家和埃及学家让·巴蒂斯特.约瑟夫·傅里叶 (Jean Baptiste Joseph Fourier, 1768-1830) 开始研 究固体中的热传播。1807 年,他完成了第一篇关于热传播的论文。他发现了热传播的基本偏微分方程,并开发了 一种求解该方程的新方法。傅里叶思想的数学核心是每个周期函数都可以很好地近似为正弦和余弦项的线性组 合。这一理论与之前关于函数的观点相矛盾,并遭到法国科学院一些成员的抵制,因此最初阻止发表。后来,傅 立叶在 1822 年首次以法语出版的著名著作《热的分析理论》中介绍了这些结果,参见。[119]。傅里叶图像见图 $1.1$ (图片来源:
IOmega=\left } { ( x , y ) \backslash \text { in } \backslash \text { mathbb } { R } \wedge { 2 } : x ^ { \wedge } { 2 } + y ^ { \wedge } { 2 } < 1 \backslash r _ { i } \text { ght } } \text { 与边界 } \Gamma = 理原因,温度满足热方程 $$ \frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} v}{\partial y^{2}}=c \frac{\partial v}{\partial t}, \quad(x, y) \in \Omega, t>0
有一些常数 $c>0$. 在稳定状态下,温度与时间无关,使得 $v(x, y, t)=v(x, y)$ 满足拉普拉斯方程
\frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} v}{\partial y^{2}}=0, \quad(x, y) \in \Omega
现在多少度 $v(x, y)$ 在任何时候 $(x, y) \in \Omega$ ,如果边界的每个点的温度 $\Gamma$ 知道吗?
x=r \cos \varphi, \quad y=r \sin \varphi, \quad 0<r<1,0 \leq \varphi<2 \pi

数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Fourier Coefficients and Fourier Series

复值函数 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}$ 是 $2 \pi$ – 周期性或周期性与周期 $2 \pi$ ,如果 $f(x+2 \pi)=f(x)$ 对所有人 $x \in \mathbb{R}$. 在下文中, 我们确定任何 $2 \pi$ – 周期函数 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}$ 有相应的功能 $f: \mathbb{T} \rightarrow \mathbb{C}$ 在环面上定义 $\mathbb{T}$ 长度 $2 \pi$. 环面 $\mathbb{T}$ 可以认为是商空 间 $\mathbb{R} /(2 \pi \mathbb{Z})$ 或其代表,例如区间 $[0,2 \pi]$ 具有标识的端点 0 和 $2 \pi$. 简而言之,也可以几何地认为单位圆与周长 $2 \pi$. 的典型例子 $2 \pi$-周期性函数是 $1, \cos (n \cdot), \sin (n \cdot)$ 对于每个角频率 $n \in \mathbb{N}$ 和复指数 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} k \cdot}$ 对于每个 $k \in \mathbb{Z}$.
经过 $C(\mathbb{T})$ 我们表示所有连续函数的 Banach 空间 $f: \mathbb{T} \rightarrow \mathbb{C}$ 与规范
|f|{C(\mathrm{~T})}:=\max x \in \mathbb{T}|f(x)| $$ 并通过 $C^{r}(\mathbb{T}), r \in \mathbb{N}$ 拿赫空间 $r$ – 次连续可微函数 $f: \mathbb{T} \rightarrow \mathbb{C}$ 与规范 $$ |f| C^{r}(\mathbb{T}):=|f|{C(\mathbb{T})}+\left|f^{(r)}\right|{C(\mathbb{T})} . $$ 显然,我们有 $C^{r}(\mathbb{T}) \subset C^{s}(\mathbb{T})$ 为了 $r>s$. 让 $L{p}(\mathbb{T}), 1 \leq p \leq \infty$ 是可测函数的巴拿赫空间 $f: \mathbb{T} \rightarrow \mathbb{C}$ 具有有限范数
|f|{L{p}(\mathbb{T})}:=\left(\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^{p} \mathrm{~d} x\right)^{1 / p}, \quad 1 \leq p<\infty \quad|f|{L{\infty}(\mathbb{T})}:=\operatorname{ess} \sup |f(x)|: x \in \mathbb{T}
我们确定几乎相等的功能。如果一个 $2 \pi$ – 周期函数 $f$ 可积在 $[-\pi, \pi]$ ,那么我们有
\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x=\int_{-\pi+a}^{\pi+a} f(x) \mathrm{d} x
对所有人 $a \in \mathbb{R}$ 这样我们就可以在任何长度的区间上积分 $2 \pi$.

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术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。



有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。





随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。


多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。


MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。