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凸优化是数学优化的一个子领域，研究的是凸集上凸函数最小化的问题。许多类凸优化问题都有多项时间算法，而数学优化一般来说是NP困难的。
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数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Basic properties and examples of convex functions
Prior to introducing the definition, properties and various conditions of convex functions together with illustrative examples, we need to clarify the role of $+\infty$ and $-\infty$ for a function $f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$. In spite of $+\infty,-\infty \notin \mathbb{R}, f(\mathbf{x})$ is allowed to take a value of $+\infty$ or $-\infty$ for some $\mathrm{x} \in \operatorname{dom} f$, hereafter. For instance, the following functions
$f_{1}(\mathbf{x})=\left{\begin{array}{l}|\mathbf{x}|_{2}^{2},|\mathbf{x}|_{2} \leq 1 \ +\infty, \quad 1<|\mathbf{x}|_{2} \leq 2\end{array}, \quad\right.$ dom $f_{1}=\left{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} \mid|\mathbf{x}|_{2} \leq 2\right}$ $f_{2}(x)=\left{\begin{array}{l}-\infty, x=0 \ \log x, x>0\end{array}, \quad \operatorname{dom} f_{2}=\mathbb{R}{+}\right.$ are well-defined functions, and $f{1}$ is a convex function and $f_{2}$ is a concave function. The convexity of functions will be presented next in detail.
Definition and fundamental properties
A function $f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ is said to be convex if the following conditions are satisfied
- dom $f$ is convex.
- For all $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \operatorname{dom} f, \theta \in[0,1]$.
$$
f(\theta \mathbf{x}+(1-\theta) \mathbf{y}) \leq \theta f(\mathbf{x})+(1-\theta) f(\mathbf{y})
$$
A convex function basically looks like a faceup bowl as illustrated in Figure 3.1, and it may be differentiable, or continuous but nonsmooth or a nondifferentiable function (e.g., with some discontinuities or with $f(\mathbf{x})=+\infty$ for some $\mathbf{x}$ ). Note that for a given $\theta \in[0,1], \mathbf{z} \triangleq \theta \mathbf{x}+(1-\theta) \mathbf{y}$ is a point on the line segment from $\mathbf{x}$ to $\mathbf{y}$ with
$$
\frac{|\mathbf{z}-\mathbf{y}|_{2}}{|\mathbf{y}-\mathbf{x}|_{2}}=\theta \text {, and } \frac{|\mathbf{z}-\mathbf{x}|_{2}}{|\mathbf{y}-\mathbf{x}|_{2}}=1-\theta \text {, }
$$
and $f(\mathbf{z})$ is upper bounded by the sum of $100 \times \theta \%$ of $f(\mathbf{x})$ and $100 \times(1-\theta) \%$ of $f(\mathbf{y})$ (i.e., the closer (further) the $\mathbf{z}$ to $\mathbf{x}$, the larger (smaller) the contribution of $f(\mathbf{x})$ to the upper bound of $f(\mathbf{z})$, and this also applies to the contribution of $f(\mathbf{y})$ as shown in Figure 3.1). Note that when $\mathbf{z}$ is given instead of $\theta$, the value of $\theta$ in the upper bound of $f(\mathbf{z})$ can also be determined by (3.4). Various convex function examples will be provided in Subsection 3.1.4.
数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|First-order condition
Suppose that $f$ is differentiable. Then $f$ is convex if and only if $\operatorname{dom} f$ is convex and
$$
f(\mathbf{y}) \geq f(\mathbf{x})+\nabla f(\mathbf{x})^{T}(\mathbf{y}-\mathbf{x}) \quad \forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \operatorname{dom} f
$$
This is called the first-order condition, which means that the first-order Taylor series approximation of $f(\mathbf{y})$ w.r.t. $\mathbf{y}=\mathbf{x}$ is always below the original function (see Figure $3.3$ for the one-dimensional case), i.e., the first-order condition (3.16) provides a tight lower bound (which is an affine function in $\mathbf{y}$ ) over the entire domain for a differentiable convex function. Moreover, it can be seen from (3.16) that
$$
f(\mathbf{y})=\max _{\mathbf{x} \in \operatorname{dom} f} f(\mathbf{x})+\nabla f(\mathbf{x})^{T}(\mathbf{y}-\mathbf{x}) \quad \forall \mathbf{y} \in \operatorname{dom} f
$$
For instance, as illustrated in Figure $3.3, f(b) \geq f(a)+f^{\prime}(a)(b-a)$ for any $a$ and the equality holds only when $a=b$. Next, let us prove the first-order condition.
Proof of (3.16): Let us prove the sufficiency followed by necessity.
- Sufficiency: (i.e., if (3.16) holds, then $f$ is convex) From (3.16), we have, for all $\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in \operatorname{dom} f$ which is convex and $0 \leq \lambda \leq 1$,
$$
\begin{aligned}
f(\mathbf{y}) & \geq f(\mathbf{x})+\nabla f(\mathbf{x})^{T}(\mathbf{y}-\mathbf{x}), \
f(\mathbf{z}) & \geq f(\mathbf{x})+\nabla f(\mathbf{x})^{T}(\mathbf{z}-\mathbf{x}), \
\Rightarrow \lambda f(\mathbf{y})+(1-\lambda) f(\mathbf{z}) & \geq f(\mathbf{x})+\nabla f(\mathbf{x})^{T}(\lambda \mathbf{y}+(1-\lambda) \mathbf{z}-\mathbf{x}) .
\end{aligned}
$$
By setting $\mathbf{x}=\lambda \mathbf{y}+(1-\lambda) \mathbf{z} \in \operatorname{dom} f$ in the above inequality, we obtain $\lambda f(\mathbf{y})+(1-\lambda) f(\mathbf{z}) \geq f(\lambda \mathbf{y}+(1-\lambda) \mathbf{z})$. So $f$ is convex.
- Necessity: (i.e., if $f$ is convex, then (3.16) holds) For $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbf{d o m} f$ and $0 \leq$ $\lambda \leq 1$,
$$
\begin{aligned}
f((1-\lambda) \mathbf{x}+\lambda \mathbf{y}) &=f(\mathbf{x}+\lambda(\mathbf{y}-\mathbf{x})) \
&=f(\mathbf{x})+\lambda \nabla f(\mathbf{x}+\theta \lambda(\mathbf{y}-\mathbf{x}))^{T}(\mathbf{y}-\mathbf{x})
\end{aligned}
$$
for some $\theta \in[0,1]$ (from the first-order expansion of Taylor series (1.53)). Since $f$ is convex, we have
$$
f((1-\lambda) \mathbf{x}+\lambda \mathbf{y}) \leq(1-\lambda) f(\mathbf{x})+\lambda f(\mathbf{y})
$$
Substituting (3.18) on the left-hand side of this inequality yields
$$
\lambda f(\mathbf{y}) \geq \lambda f(\mathbf{x})+\lambda \nabla f(\mathbf{x}+\theta \lambda(\mathbf{y}-\mathbf{x}))^{T}(\mathbf{y}-\mathbf{x})
$$
For $\lambda>0$, we get (after dividing by $\lambda$ ),
$$
\begin{aligned}
f(\mathbf{y}) & \geq f(\mathbf{x})+\nabla f(\mathbf{x}+\theta \lambda(\mathbf{y}-\mathbf{x}))^{T}(\mathbf{y}-\mathbf{x}) \
&=f(\mathbf{x})+\nabla f(\mathbf{x})^{T}(\mathbf{y}-\mathbf{x}) \quad\left(\text { as } \lambda \rightarrow 0^{+}\right)
\end{aligned}
$$
because $\nabla f$ is continuous due to the fact that $f$ is differentiable and convex (cf. Remark $3.13$ below). Hence (3.16) has been proved.
数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Second-order condition
Suppose that $f$ is twice differentiable. Then $f$ is convex if and only if dom $f$ is convex and the Hessian of $f$ is PSD for all $\mathbf{x} \in \operatorname{dom} f$, that is,
$$
\nabla^{2} f(\mathbf{x}) \succeq \mathbf{0}, \forall \mathbf{x} \in \operatorname{dom} f
$$
Proof: Let us prove the sufficiency followed by necessity.
- Sufficiency: (i.e., if $\nabla^{2} f(\mathbf{x}) \succeq \mathbf{0}, \forall \mathbf{x} \in \operatorname{dom} f$, then $f$ is convex) From the second-order expansion of Taylor series of $f(\mathrm{x})$ (cf. (1.54)), we have
$$
\begin{aligned}
f(\mathbf{x}+\mathbf{v}) &=f(\mathbf{x})+\nabla f(\mathbf{x})^{T} \mathbf{v}+\frac{1}{2} \mathbf{v}^{T} \nabla^{2} f(\mathbf{x}+\theta \mathbf{v}) \mathbf{v} \
& \geq f(\mathbf{x})+\nabla f(\mathbf{x})^{T} \mathbf{v} \quad(\text { by }(3.27))
\end{aligned}
$$
for some $\theta \in[0,1]$. Let $\mathbf{y}=\mathbf{x}+\mathbf{v}$, i.e., $\mathbf{v}=\mathbf{y}-\mathbf{x}$. Then we have
$$
f(\mathbf{y}) \geq f(\mathbf{x})+\nabla f(\mathbf{x})^{T}(\mathbf{y}-\mathbf{x})
$$
which is the exactly first-order condition for the convexity of $f(\mathbf{x})$, implying that $f$ is convex. - Necessity: Since $f(\mathbf{x})$ is convex, from the first-order condition we have
$$
f(\mathbf{x}+\mathbf{v}) \geq f(\mathbf{x})+\nabla f(\mathbf{x})^{T} \mathbf{v}
$$
which together with the second-order expansion of Taylor series of $f(\mathbf{x})$ given by (3.28) implies
$$
\mathbf{v}^{T} \nabla^{2} f(\mathbf{x}+\theta \mathbf{v}) \mathbf{v} \geq 0
$$
By letting $|\mathbf{v}|_{2} \rightarrow 0$, it can be inferred that $\nabla^{2} f(\mathbf{x}) \succeq \mathbf{0}$ because $\nabla^{2} f(\mathbf{x})$ is continuous for a convex twice differentiable function $f(\mathbf{x})$.
Remark 3.16 If the second-order condition given by (3.27) holds true with the strict inequality for all $\mathbf{x} \in \operatorname{dom} f$, the function $f$ is strictly convex; moreover, under the second-order condition given by (3.27) for the case that $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$,
the first derivative $f^{\prime}$ must be continuous and nondecreasing if $f$ is convex, and continuous and strictly increasing if $f$ is strictly convex.
Remark $3.17$ (Strong convexity) A convex function $f$ is strongly convex on a set $C$ if there exists an $m>0$ such that either $\nabla^{2} f(\mathbf{x}) \succeq m \mathbf{I}$ for all $\mathbf{x} \in C$, or equivalently the following second-order condition holds true:
$$
f(\mathbf{y}) \geq f(\mathbf{x})+\nabla f(\mathbf{x})^{T}(\mathbf{y}-\mathbf{x})+\frac{m}{2}|\mathbf{y}-\mathbf{x}|_{2}^{2} \quad \forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in C
$$
which is directly implied from (3.28). So if $f$ is strongly convex, it must be strictly convex, but the reverse is not necessarily true.
凸优化代写
数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Basic properties and examples of convex functions
在介绍凸函数的定义、性质和各种条件以及举例说明之前，我们需要阐明凸函数的作用。+∞和−∞对于一个函数F:Rn→R. 尽管+∞,−∞∉R,F(X)允许取值+∞或者−∞对于一些X∈domF，以后。例如，以下函数
$f_{1}(\mathbf{x})=\left{|X|22,|X|2≤1 +∞,1<|X|2≤2, \四\右。d这米f_{1}=\left{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} \mid|\mathbf{x}|_{2} \leq 2\right}f_{2}(x)=\左{−∞,X=0 日志X,X>0, \quad \operatorname{dom} f_{2}=\mathbb{R}{+}\right.一种r和在和ll−d和F一世n和dF在nC吨一世这ns,一种ndf{1}一世s一种C这n在和XF在nC吨一世这n一种ndf_{2}一世s一种C这nC一种在和F在nC吨一世这n.吨H和C这n在和X一世吨是这FF在nC吨一世这ns在一世llb和pr和s和n吨和dn和X吨一世nd和吨一种一世l.D和F一世n一世吨一世这n一种ndF在nd一种米和n吨一种lpr这p和r吨一世和s一种F在nC吨一世这nf: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ 如果满足以下条件，则称其为凸的
- domF是凸的。
- 对全部X,是∈domF,θ∈[0,1].
F(θX+(1−θ)是)≤θF(X)+(1−θ)F(是)
凸函数基本上看起来像一个面朝上的碗，如图 3.1 所示，它可能是可微的、连续但非光滑或不可微的函数（例如，有一些不连续性或F(X)=+∞对于一些X）。请注意，对于给定的θ∈[0,1],和≜θX+(1−θ)是是线段上的一个点X到是和
|和−是|2|是−X|2=θ， 和 |和−X|2|是−X|2=1−θ,
和F(和)上限为100×θ%的F(X)和100×(1−θ)%的F(是)（即，越接近（越远）和到X, 的贡献越大（越小）F(X)到上限F(和)，这也适用于F(是)如图 3.1 所示）。请注意，当和给出而不是θ， 的价值θ在的上限F(和)也可以由（3.4）确定。3.1.4 小节将提供各种凸函数示例。
数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|First-order condition
假设F是可微的。然后F是凸的当且仅当domF是凸的并且
F(是)≥F(X)+∇F(X)吨(是−X)∀X,是∈domF
这称为一阶条件，这意味着一阶泰勒级数逼近F(是)写是=X总是低于原始函数（见图3.3对于一维情况），即一阶条件（3.16）提供了一个紧密的下界（这是一个仿射函数是) 在整个域上得到一个可微的凸函数。此外，从（3.16）可以看出
F(是)=最大限度X∈domFF(X)+∇F(X)吨(是−X)∀是∈domF
例如，如图所示3.3,F(b)≥F(一种)+F′(一种)(b−一种)对于任何一种并且等式仅在一种=b. 接下来，让我们证明一阶条件。
(3.16) 的证明：让我们证明充分性和必然性。
- 充分性：（即，如果 (3.16) 成立，则F是凸的）从（3.16），我们有，对于所有X,是,和∈domF这是凸的并且0≤λ≤1,
F(是)≥F(X)+∇F(X)吨(是−X), F(和)≥F(X)+∇F(X)吨(和−X), ⇒λF(是)+(1−λ)F(和)≥F(X)+∇F(X)吨(λ是+(1−λ)和−X).
通过设置X=λ是+(1−λ)和∈domF在上述不等式中，我们得到λF(是)+(1−λ)F(和)≥F(λ是+(1−λ)和). 所以F是凸的。
- 必要性：（即，如果F是凸的，那么 (3.16) 成立）对于X,是∈d这米F和0≤ λ≤1,
F((1−λ)X+λ是)=F(X+λ(是−X)) =F(X)+λ∇F(X+θλ(是−X))吨(是−X)
对于一些θ∈[0,1]（来自泰勒级数（1.53）的一阶展开式）。自从F是凸的，我们有
F((1−λ)X+λ是)≤(1−λ)F(X)+λF(是)
将 (3.18) 代入该不等式的左侧，得到
λF(是)≥λF(X)+λ∇F(X+θλ(是−X))吨(是−X)
为了λ>0，我们得到（除以λ ),
F(是)≥F(X)+∇F(X+θλ(是−X))吨(是−X) =F(X)+∇F(X)吨(是−X)( 作为 λ→0+)
因为∇F是连续的，因为F是可微的和凸的（参见备注3.13以下）。因此 (3.16) 已被证明。
数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Second-order condition
假设F是二次可微的。然后F是凸的当且仅当 domF是凸的，而 Hessian 的F是所有人的PSDX∈domF， 那是，
∇2F(X)⪰0,∀X∈domF
证明：让我们证明充分性和必然性。
- 充分性：（即，如果∇2F(X)⪰0,∀X∈domF， 然后F是凸的）从泰勒级数的二阶展开F(X)（参见（1.54）），我们有
F(X+在)=F(X)+∇F(X)吨在+12在吨∇2F(X+θ在)在 ≥F(X)+∇F(X)吨在( 经过 (3.27))
对于一些θ∈[0,1]. 让是=X+在， IE，在=是−X. 然后我们有
F(是)≥F(X)+∇F(X)吨(是−X)
这正是凸性的一阶条件F(X), 意味着F是凸的。 - 必要性：因为F(X)是凸的，从我们有的一阶条件
F(X+在)≥F(X)+∇F(X)吨在
连同泰勒级数的二阶展开F(X)(3.28) 给出的暗示
在吨∇2F(X+θ在)在≥0
通过让|在|2→0, 可以推断出∇2F(X)⪰0因为∇2F(X)对于凸两次可微函数是连续的F(X).
备注 3.16 如果 (3.27) 给出的二阶条件在所有严格不等式的情况下成立X∈domF， 功能F是严格凸的；此外，在 (3.27) 给出的二阶条件下，F:R→R,
一阶导数F′必须是连续且非递减的，如果F是凸的，并且连续且严格递增，如果F是严格凸的。
评论3.17（强凸性）一个凸函数F在集合上是强凸的C如果存在一个米>0这样要么∇2F(X)⪰米一世对全部X∈C，或者等效地，以下二阶条件成立：
F(是)≥F(X)+∇F(X)吨(是−X)+米2|是−X|22∀X,是∈C
这直接从（3.28）中暗示。因此，如果F是强凸的，它必须是严格凸的，但反过来不一定是正确的。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。