### 数学代写|图论作业代写Graph Theory代考| The number of structurally different MPG’s

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## 数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|The number of structurally different MPG’s

The number of structurally different MPG’s grows quickly with the number of vertices:

• All MPG’s with 5 vertices are structurally equivalent.
• There are 2 structurally different MPG’s with 6 vertices.
• There are 5 structurally different MPG’s with 7 vertices.
• There are 14 structurally different MPG’s with 8 vertices.
• There are 50 structurally different MPG’s with 9 vertices.
• There are 233 structurally different MPG’s with 10 vertices.
• There are 1249 structurally different MPG’s with 11 vertices.
The icosahedral MPG has 12 vertices and 30 edges. It is unique in that it is the only MPG where every vertex has degree 5 . (The icosahedron is the dual to the dodecahedron, which has 20 vertices, 30 edges, and 12 faces. See the solution to Problem 1 in Chapter 4.)
• The Fritsch MPG uses just 9 vertices to provide a counterexample to Kempe’s argument (Chapter 7) for four-coloring a vertex with degree 5 [Ref. 8]. (We will explore how in the exercises at the end of the chapter. We will also explore Kempe chains in the Fritsch MPG in Chapter 25.) In comparison, Heawood’s graph (not shown) did this with 25 vertices [Ref. 3]. The Soifer graph (not shown) also illustrates this problem with 9 vertices, though you must add an edge to the Soifer graph to turn it into a MPG [Ref. 8].The Errera MPG with 17 vertices illustrates the problem with Kempe’s argument without any vertices with a degree less than 5 [Ref. 9]. You will be able to see Kempe chains in the Errera MPG in an exercise in Chapter $25 .$

## 数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|EXERCISES

1. There are 5 structurally different heptahedral MPG’s. These have 7 vertices. Draw one of each.
2. There are 14 structurally different MPG’s with 8 vertices. It would be a tedious exercise to draw all 14 . Instead, we challenge you to draw one MPG with 8 vertices that doesn’t have a single vertex with degree 3 , and to draw another MPG that has exactly two vertices with exactly degree 6 and exactly two more vertices with exactly degree $3 .$
3. There are 50 structurally different MPG’s with 9 vertices. It would be a tedious exercise to draw all 50. Instead, we challenge you to diaw one that has exactly 3 vertices with degrees exactly equal to 6 .In the Fritsch MPG below, vertex I is a vertex with degree five. We colored $\mathrm{A}, \mathrm{G}, \mathrm{H}, \mathrm{E}$, and $\mathrm{F}$ like Kempe colored the vertices connected to his vertex with degree five. We colored D so that there would be a 1-3 Kempe chain connecting $\mathrm{F}$ to $\mathrm{G}$. We colored $\mathrm{B}$ so that there would be a 1-4 Kempe chain connecting $\mathrm{F}$ to $\mathrm{H}$. Observe that these two chains cross at $\mathrm{C}$.Below on the left, recolor the graph above by reversing the colors of the $2-4$ chain involving vertex A. Below on the right, recolor the graph below on the left by reversing the colors of the 2-3 chain involving vertex E. Is vertex I (marked with an X) now four-colorable?On the graph below, recolor the graph from the top of the previous page by simultaneously reversing the colors of the $2-4$ chain involving vertex $\mathrm{A}$ and the $2-3$ chain involving vertex E. Is vertex I (marked with an X) now fourcolorable? Is the entire graph now properly four-colored?

## 数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|COUNTING WAYS

There is more than one way to color a MPG so that it satisfies the four-color theorem. For example, the following table lists 24 different ways to color the graph shown below. Note that $\mathrm{R}=$ red, $\mathrm{B}=$ blue, $\mathrm{C}=$ green, and $\mathrm{Y}=$ yellow. The graphs of this chapter include dashed lines to help show you that these are MPG’s. Imagine moving the dashed lines “outside.”

Note that these 24 ways are really just variations of a single way (ordered ABCDE). If you swap blue and green, for example, BGRGY becomes GBRBY, and then if you swap blue and yellow GBRBY becomes GYRYB. We can get all 24 ways by color swapping.

We can reduce the number 24 down to 1 if we ask a slightly different question. Instead of asking, “How many ways are there to color the graph?” we can ask, “After fixing the colors of one triangle, how many ways are there to color the remaining vertices?” You don’t want to first color three random vertices because if it turns out that two of those colors needed to be the same in order to four-color the graph, you’ll run into a problem. By first coloring three vertices that lie on one triangle, you “know” that those vertices must be different colors.

Looking at triangle $\mathrm{ABC}$, we could choose $A$ to be red, $B$ to be blue, and $C$ to be green. It then follows that $D$ is blue and $E$ is yellow. This results in the single answer RBGBY.Now let’s compare how many ways there are to color two different MPG’s with 6 vertices such that they satisfy the four-color theorem. The left graph below can be colored 24 ways, and the right graph below can be colored 96 ways. The dashed lines can be moved “outside.”

## 数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|The number of structurally different MPG’s

• 所有具有 5 个顶点的 MPG 在结构上都是等效的。
• 有 2 个结构不同的 MPG，有 6 个顶点。
• 有 5 个结构不同的 MPG，有 7 个顶点。
• 有 14 个结构不同的 MPG，有 8 个顶点。
• 有 50 个结构不同的 MPG，有 9 个顶点。
• 有 233 个结构不同的 MPG，有 10 个顶点。
• 有 1249 个结构不同的 MPG，有 11 个顶点。
二十面体 MPG 有 12 个顶点和 30 条边。它的独特之处在于它是唯一一个每个顶点的度数为 5 的 MPG。（二十面体是十二面体的对偶体，它有 20 个顶点、30 条边和 12 个面。参见第 4 章问题 1 的解决方案。）
• Fritsch MPG 仅使用 9 个顶点为 Kempe 的论点（第 7 章）提供了一个反例，即对 5 度的顶点进行四种着色 [Ref. 8]。（我们将在本章末尾的练习中探讨如何进行。我们还将在第 25 章探讨 Fritsch MPG 中的 Kempe 链。）相比之下，Heawood 的图（未显示）使用 25 个顶点 [Ref. 3]。Soifer 图（未显示）也用 9 个顶点说明了这个问题，尽管您必须在 Soifer 图中添加一条边才能将其转换为 MPG [Ref. 8]. 具有 17 个顶点的 Errera MPG 说明了 Kempe 论证的问题，没有任何度数小于 5 的顶点 [Ref. 9]。您将能够在章节中的练习中看到 Errera MPG 中的 Kempe 链25.

## 数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|EXERCISES

1. 有 5 种结构不同的七面体 MPG。这些有7个顶点。各画一张。
2. 有 14 个结构不同的 MPG，有 8 个顶点。画出所有 14 将是一个乏味的练习。相反，我们挑战您绘制一个具有 8 个顶点且没有一个度数为 3 的顶点的 MPG，并绘制另一个 MPG，该 MPG 具有恰好两个度数正好为 6 的顶点和另外两个度数正好的顶点3.
3. 有 50 个结构不同的 MPG，有 9 个顶点。绘制所有 50 个顶点将是一项乏味的练习。相反，我们挑战您选择一个具有正好 3 个顶点且度数正好等于 6 的顶点。在下面的 Fritsch MPG 中，顶点 I 是一个度数为 5 的顶点。我们上色了一种,G,H,和， 和F像 Kempe 一样，将连接到他的顶点的顶点着色为五度。我们为 D 着色，以便有 1-3 根 Kempe 链连接F到G. 我们上色了乙这样就会有一个 1-4 的 Kempe 链连接F到H. 观察这两条链在C.在左侧下方，通过反转上图的颜色来重新着色2−4涉及顶点 A 的链。在右下方，通过反转涉及顶点 E 的 2-3 链的颜色，重新着色左下图。顶点 I（用 X 标记）现在是四色的吗？在下图中，通过同时反转上一页顶部的颜色来重新着色图表2−4涉及顶点的链一种和2−3涉及顶点 E 的链。顶点 I（标有 X）现在是可着色的吗？整个图表现在是正确的四色吗？

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## 有限元方法代写

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## AIOSEO設定

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The graphs above are incomplete. These figures only show a vertex with degree four (vertex E), its nearest neighbors (A, B, C, and D), and segments of A-C Kempe chains. The entire graphs would also contain several other vertices (especially, more colored the same as B or D) and enough edges to be MPG’s. The left figure has A connected to $C$ in a single section of an A-C Kempe chain (meaning that the vertices of this chain are colored the same as A and C). The left figure shows that this A-C Kempe chain prevents B from connecting to $\mathrm{D}$ with a single section of a B-D Kempe chain. The middle figure has A and C in separate sections of A-C Kempe chains. In this case, B could connect to D with a single section of a B-D Kempe chain. However, since the A and C of the vertex with degree four lie on separate sections, the color of C’s chain can be reversed so that in the vertex with degree four, C is effectively recolored to match A’s color, as shown in the right figure. Similarly, D’s section could be reversed in the left figure so that D is effectively recolored to match B’s color.

Kempe also attempted to demonstrate that vertices with degree five are fourcolorable in his attempt to prove the four-color theorem [Ref. 2], but his argument for vertices with degree five was shown by Heawood in 1890 to be insufficient [Ref. 3]. Let’s explore what happens if we attempt to apply our reasoning for vertices with degree four to a vertex with degree five.

## 数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|The previous diagrams

The previous diagrams show that when the two color reversals are performed one at a time in the crossed-chain graph, the first color reversal may break the other chain, allowing the second color reversal to affect the colors of one of F’s neighbors. When we performed the $2-4$ reversal to change B from 2 to 4 , this broke the 1-4 chain. When we then performed the 2-3 reversal to change E from 3, this caused C to change from 3 to 2 . As a result, F remains connected to four different colors; this wasn’t reversed to three as expected.
Unfortunately, you can’t perform both reversals “at the same time” for the following reason. Let’s attempt to perform both reversals “at the same time.” In this crossed-chain diagram, when we swap 2 and 4 on B’s side of the 1-3 chain, one of the 4’s in the 1-4 chain may change into a 2, and when we swap 2 and 3 on E’s side of the 1-4 chain, one of the 3’s in the 1-3 chain may change into a 2 . This is shown in the following figure: one 2 in each chain is shaded gray. Recall that these figures are incomplete; they focus on one vertex (F), its neighbors (A thru E), and Kempe chains. Other vertices and edges are not shown.

Note how one of the 3’s changed into 2 on the left. This can happen when we reverse $\mathrm{C}$ and $\mathrm{E}$ (which were originally 3 and 2 ) on E’s side of the 1-4 chain. Note also how one of the 4’s changed into 2 on the right. This can happen when we reverse B and D (which were originally 2 and 4) outside of the 1-3 chain. Now we see where a problem can occur when attempting to swap the colors of two chains at the same time. If these two 2’s happen to be connected by an edge like the dashed edge shown above, if we perform the double reversal at the same time, this causes two vertices of the same color to share an edge, which isn’t allowed. We’ll revisit Kempe’s strategy for coloring a vertex with degree five in Chapter $25 .$

## 数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|The shading of one section of the B-R

• MPG 是三角测量的。它由具有三个边和三个顶点的面组成。
• 每个面的三个顶点必须是三种不同的颜色。
• 每条边由两个相邻的三角形共享，形成一个四边形。
• 每个四边形将有 3 或 4 种不同的颜色。如果与共享边相对的两个顶点恰好是相同的颜色，则它有 3 种颜色。
• 对于每个四边形，四个顶点中的至少 1 个顶点和最多 3 个顶点具有任何颜色对的颜色。例如，具有 R、G、B 和G有 1 个顶点R−是和3个顶点乙−G，或者您可以将其视为 1 个顶点乙−是和3个顶点G−R，或者您可以将其视为 BR 的 2 个顶点和 GY 的 2 个顶点。在后一种情况下，2G’ 不是同一链的连续颜色。
• 当您将更多三角形组合在一起（四边形仅组合两个）并考虑可能的颜色时，您将看到 Kempe 的部分

• 画一张R顶点和一个是由边连接的顶点。
• 如果一个新顶点连接到这些顶点中的每一个，它必须是乙或者G.
• 如果一个新顶点连接到 R 而不是是，可能是是,乙， 或者G.
• 如果一个新的顶点连接到是但不是R，可能是R,乙， 或者G.
• RY 链要么继续增长，要么被 B 包围，G.
• 如果你关注 B 和 G，你会为它的链条得出类似的结论。
• 如果一条链条完全被其对应物包围，则链条的新部分可能会出现在其对应物的另一侧。
Kempe 证明了所有具有四阶的顶点（那些恰好连接到其他四个顶点的顶点）都是四色的 [Ref. 2]。例如，考虑下面的中心顶点。

## 数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|In the previous figure

• A 和 C 或者是 AC Kempe 链的同一部分的一部分，或者它们各自位于 AC Kempe 链的不同部分。（如果一种和C例如，是红色和黄色的，则 AC 链是红黄色链。） – 如果一种和C每个位于 AC Kempe 链的不同部分，其中一个部分的颜色可以反转，这有效地重新着色 C 以匹配 A 的颜色。如果 A 和 C 是 AC Kempe 链的同一部分的一部分，则 B 和 D每个都必须位于 BD Kempe 链的不同部分，因为 AC Kempe 链将阻止任何 BD Kempe 链从 B 到达 D。（如果乙和D是蓝色和绿色，例如，那么一种BD Kempe 链是蓝绿色链。）在这种情况下，由于 B 和 D 分别位于 BD Kempe 链的不同部分，因此 BD Kempe 链的其中一个部分的颜色可以反转，这有效地重新着色 D 以匹配 B颜色。– 因此，可以使 C 与 A 具有相同的颜色或使 D 具有与 A 相同的颜色乙通过反转 Kempe 链的分离部分。

Kempe 还试图证明五阶顶点是可四色的，以证明四色定理 [Ref. 2]，但 Heawood 在 1890 年证明他关于五次顶点的论点是不充分的 [Ref. 3]。让我们探讨一下如果我们尝试将我们对度数为四的顶点的推理应用于度数为五的顶点会发生什么。

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

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