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在数学中，图论是对图的研究，它是用来模拟对象之间成对关系的数学结构。这里，图由顶点（也称为节点或点）组成，这些顶点由边（也称为链接或线）连接。
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数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|EULER’S FORMULA
The number of vertices, edges, and faces of a map or a graph are related by Euler’s formula, provided that we consider the unbounded surrounding area as one of the faces. We define the symbols $\mathrm{V}, \mathrm{E}$, and $\mathrm{F}$ as follows:
- $\mathrm{V}$ is the number of vertices.
- $E$ is the number of edges.
- $F$ is the number of faces. Remember to count the unbounded surrounding area.
According to Euler’s formula [Ref. 4], for a map or a graph (or even a polyhedron):
$$
\mathrm{V}+\mathrm{F}=\mathrm{E}+2
$$
The number of vertices plus the number of faces is two more than the number of edges.
For the map shown above:
- $\mathrm{V}=20$. On a map, vertices are where the edges intersect. We marked the vertices with small dots $(\bullet)$ on the diagram above to help you count them. There are 5 for the inner pentagon, 10 for the decagon, and another 5 for the outer pentagon.
- $E=30$. On a map, an edge is any line segment (or part of one) or curve that separates two regions (or which separates a region from the unbounded surrounding area). The inner pentagon has 5 , there are 5 connecting the inner pentagon to the decagon, there are 10 along the decagon, there are 5
connecting the decagon to the outer pentagon, and there are 5 along the outer pentagon.
- $\mathrm{F}=12$. On a map, the faces are regions. The twelve regions are $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$, $\mathrm{D}, \mathrm{E}, \mathrm{F}, \mathrm{G}, \mathrm{H}, \mathrm{I}, \mathrm{J}, \mathrm{K}$, and L. This includes the unbounded surrounding area as a face.
Check the formula for the map on the left: $V+F=20+12=32$ and $E+2=$ $30+2=32$. Since $\mathrm{V}+\mathrm{F}$ and $\mathrm{E}+2$ both equal 32 for this map, we see that Euler’s formula agrees with it.
数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|For the graph shown above
For the graph shown above:
- $\mathrm{V}=12$. On a graph, the vertices are regions where lines intersect. These are regions $A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K$, and L.
- $E=30$. On a graph, each edge is a line or curve that connects a pair of regions. The edges are $A B, A E, A F, A G, A K, B C, B F, B G, B H$ (but don’t count BA since that’s the same as AB, which was already counted), CD, CF, CH, CI, DE, DF, DI, DJ, EF, EJ, EK, GH, GK, GL, HI, HL, IJ, IL, JK, $\mathrm{JL}$, and KL.
- $F=20$. On a graph, the faces are areas formed between edges. The faces are $A B F, A B G, A E F, A E K, A G K, B C F, B C H, B G H$ (but don’t count BAF or $B A G$ since they are the same as $A B F$ and $A B G$, which were already counted), CDF, CDI, CHI, DEF, DEJ, DIJ, EJK, GKL, HIL, IJL, JKL, and the infinite area lying outside of the graph.
Note that the graph shown above corresponds to the map on the previous page, where we included region $L$ explicitly on the graph and still counted the infinite area lying outside of the graph as its own face. On the map, L represented the unbounded surrounding area and was counted only as a face. If you are wondering if this may be inconsistent, there is a reason for drawing
the map and its corresponding graph as we have done here. The values of $\mathrm{V}$ and $\mathrm{F}$ are swapped for the map compared to the graph when we draw them this way. Doing so emphasizes the fact that the graph is considered to be a dual representation of the map. (We’ll elaborate on what we mean by a dual representation in the solution to Problem 1.)
For the graph, V + F $=12+20=32$ and $\mathrm{E}+2=30+2=32$, agreeing with Euler’s formula. Note that the map and graph give the same values of V, F, and $\mathrm{E}$ as a dodecahedron (a 12 -sided polyhedron) and its dual polyhedron, which is an icosahedron (a 20-sided polyhedron). If you imagine cutting the map along the five outer radial edges and then folding the map up, you might be able to visualize how it can fold into the shape of a dodecahedron.
Note that if you remove region L from the previous graph, Euler’s formula will still work. In that case, you would have one less vertex (region) so $\mathrm{V}=$ 11, five fewer edges (since L connects to $\mathrm{G}, \mathrm{H}$, I, J, and $\mathrm{K}$ ) so $\mathrm{E}=25$, and four fewer faces (you wouldn’t have GKL, HIL, IJL, or JKL) so $\mathrm{F}=16$ (note that we still include the infinite area outside the graph as a face). In this case $\mathrm{V}+\mathrm{F}=11+16=27$ and $\mathrm{E}+2=25+2=27$, still satisfying Euler’s formula.
数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|in the graph
When we include region $\mathrm{L}$ in the graph, note that $2 \mathrm{E}=3 \mathrm{~F}$. That is, two times the number of edges is equal to three times the number of faces. When we include reggion $L, 2 E=2(30)=60$ and $3 F=3(20)=60$. The formula $2 E=3 F$ applies to any MPG. (Recall that MPG stands for “maximal planar graph” and that for a MPG every face in the graph has three “sides;” we’ll call each edge a side whether it appears straight or curved.) To get the number of faces $\mathrm{F}$ from the number of edges for a MPG, divide $\mathrm{E}$ by 3 because each face has 3 edges and then multiply this by 2 because each edge is shared by 2 faces: $F$ $=2 E / 3$, from which it follows that $F / E=2 / 3$. In the previous graph, for example, note that edge $\mathrm{AE}$ is part of both triangles AEF and AEK. The ratio of $F$ to $E$ is a maximum for a MPG. In this case, the ratio is $2 / 3$, which is approximately $0.67$ when rounded to two decimal places. (Note that if region $\mathrm{L}$ isn’t included in the graph, it would be a PG, not a MPG. In that case, the ratio is slightly smaller: $16 / 25=0.64$.) In contrast, if every face were a pentagon, the ratio would be $2 / 5=0.40$.
Now we will do a little arithmetic to obtain a classic result related to the fourcolor theorem. This is generally done in a more formal, technical manner, but
we’ll try to keep it simple. Note that the formulas from this chapter apply if $\mathrm{V}$ is at least $3 .$
Consider the special case where every vertex of the graph has the same degree, meaning that the same number of edges intersect at every vertex. If every vertex has the same degree and if we define $\mathrm{D}$ to be the degree of each vertex (equal to the number of edges intersecting at each vertex), then $\mathrm{DV} / 2$ $=\mathrm{E}$, which is equivalent to $\mathrm{DV}=2 \mathrm{E}$. This well-known result is referred to as the handshaking lemma. If $\mathrm{V}$ people each shake hands with $\mathrm{D}$ other people, DV/2 equals the number of handshakes that will occur. We divide by two in order to avoid double counting. For example, if there are 8 people at a gathering and each person shakes hands with 7 other people, there are 8(7)/2 $=56 / 2=28$ handshakes. If their names are Mr. A, Mr. B, Mr. C, etc., thru Mr. H, then we divide by 2 because 56 counts Mr. A shaking hands with Mr. B and Mr. B shaking hands with Mr. A separately, and similarly for all other pairs (like Mr. A and Mr. C which is the same as Mr. C with Mr. A).
What if the vertices don’t all have the same degree? This will be the case with most graphs. We can still use the formula DV $=2 E$ provided that we interpret D as the average degree of the vertices.
If we multiply both sides of Euler’s formula by 2, we get $2 \mathrm{~V}+2 \mathrm{~F}=2 \mathrm{E}+4$. Substitute the equation $\mathrm{DV}=2 \mathrm{E}$ into this equation to obtain $2 \mathrm{~V}+2 \mathrm{~F}=\mathrm{DV}+$ 4. Multiply both sides by 3 to get $6 \mathrm{~V}+6 \mathrm{~F}=3 \mathrm{DV}+12$.
For a MPG, we noted that $2 \mathrm{E}=3 \mathrm{~F}$. Combine $\mathrm{DV}=2 \mathrm{E}$ with $2 \mathrm{E}=3 \mathrm{~F}$ to see that $\mathrm{DV}=3 \mathrm{~F}$. Multiply both sides by 2 to get $2 \mathrm{DV}=6 \mathrm{~F}$. Substitute this into the last equation from the previous paragraph to obtain $6 \mathrm{~V}+2 \mathrm{DV}=3 \mathrm{DV}+$ 12. Subtract 3DV from both sides to get $6 \mathrm{~V}-\mathrm{DV}=12$. Factor out the $\mathrm{V}$ to obtain $\mathrm{V}(6-\mathrm{D})=12$. We finally obtain the formula $\mathrm{V}=12 /(6-\mathrm{D})$ for a MPG (recall that every face of a MPG has three sides). Recall that $V$ is the number of vertices (which are regions) and that $\mathrm{D}$ is the average number of edges intersecting at each vertex on the graph.
When each vertex has degree $\mathrm{D}=2$, we get $\mathrm{V}=12 /(6-2)=12 / 4=3$. Every vertex on the MPG will connect to 2 edges if there are exactly 3 vertices.
图论代考
数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|EULER’S FORMULA
地图或图形的顶点、边和面的数量由欧拉公式关联，前提是我们将无界的周围区域视为面之一。我们定义符号在,和， 和F如下：
- 在是顶点的数量。
- 和是边数。
- F是面数。记得计算无界的周边区域。
根据欧拉公式 [Ref. 4]，对于地图或图形（甚至是多面体）：
在+F=和+2
顶点数加上面数比边数多两个。
对于上面显示的地图：
- 在=20. 在地图上，顶点是边相交的地方。我们用小点标记了顶点(∙)在上图中帮助您计算它们。内五边形有 5 个，十边形有 10 个，外五边形有 5 个。
- 和=30. 在地图上，边是分隔两个区域（或将一个区域与无界周边区域分隔开）的任何线段（或其中的一部分）或曲线。内五边形有 5 个，连接内五边形和十边形的有 5 个，沿十边形有 10 个，有 5 个
将十边形连接到外五边形，沿外五边形有5个。
- F=12. 在地图上，面是区域。这十二个地区是一种,乙,C, D,和,F,G,H,一世,Ĵ,ķ, 和 L. 这包括作为面的无界周围区域。
检查左侧地图的公式：在+F=20+12=32和和+2= 30+2=32. 自从在+F和和+2对于这张地图，两者都等于 32，我们看到欧拉公式与它一致。
数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|For the graph shown above
对于上图：
- 在=12. 在图上，顶点是线相交的区域。这些是地区一种,乙,C,D,和,F,G,H,一世,Ĵ,ķ， 和我。
- 和=30. 在图上，每条边都是连接一对区域的直线或曲线。边缘是一种乙,一种和,一种F,一种G,一种ķ,乙C,乙F,乙G,乙H（但不要计算 BA，因为它与 AB 相同，已计算在内），CD，CF，CH，CI，DE，DF，DI，DJ，EF，EJ，EK，GH，GK，GL，HI， HL，IJ，伊利诺伊州，JK，Ĵ大号, 和 KL。
- F=20. 在图上，面是在边之间形成的区域。面孔是一种乙F,一种乙G,一种和F,一种和ķ,一种Gķ,乙CF,乙CH,乙GH（但不计 BAF 或乙一种G因为它们与一种乙F和一种乙G，已计算在内）、CDF、CDI、CHI、DEF、DEJ、DIJ、EJK、GKL、HIL、IJL、JKL 以及位于图外的无限区域。
请注意，上面显示的图表对应于上一页的地图，其中我们包括了区域大号明确地在图上，并且仍然将位于图外的无限区域算作它自己的脸。在地图上，L 代表无界的周边区域，仅算作一张脸。如果您想知道这是否可能不一致，那么绘制是有原因的
地图及其对应的图表，就像我们在这里所做的那样。的价值观在和F当我们以这种方式绘制它们时，与图表相比，它们被交换为地图。这样做强调了图形被认为是地图的双重表示的事实。（我们将详细说明在问题 1 的解决方案中双重表示的含义。）
对于图表，V + F=12+20=32和和+2=30+2=32，符合欧拉公式。请注意，地图和图表给出了相同的 V、F 和和作为一个十二面体（一个 12 面的多面体）和它的对偶多面体，它是一个二十面体（一个 20 面的多面体）。如果您想象沿五个外部径向边缘切割地图，然后将地图向上折叠，您也许可以想象它如何折叠成十二面体的形状。
请注意，如果您从上图中删除区域 L，欧拉公式仍然有效。在这种情况下，你会少一个顶点（区域）所以在=11，减少五个边（因为 L 连接到G,H, 我, J, 和ķ） 所以和=25，并且少了四个面（你不会有 GKL、HIL、IJL 或 JKL）所以F=16（请注意，我们仍然将图形之外的无限区域包括为面）。在这种情况下在+F=11+16=27和和+2=25+2=27，仍然满足欧拉公式。
数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|in the graph
当我们包括地区大号在图中，请注意2和=3 F. 也就是说，边数的两倍等于面数的三倍。当我们包括区域时大号,2和=2(30)=60和3F=3(20)=60. 公式2和=3F适用于任何 MPG。（回想一下，MPG 代表“最大平面图”，对于 MPG，图中的每个面都有三个“边”；我们将每条边称为边，无论它看起来是直的还是弯曲的。）要获得面数F根据 MPG 的边数，除以和乘以 3，因为每个面有 3 个边，然后将其乘以 2，因为每个边由 2 个面共享：F =2和/3，由此得出F/和=2/3. 例如，在上图中，请注意边缘一种和是三角形 AEF 和 AEK 的一部分。的比率F到和是 MPG 的最大值。在这种情况下，比率为2/3，大约是0.67当四舍五入到小数点后两位。（请注意，如果区域大号未包含在图表中，它将是 PG，而不是 MPG。在这种情况下，该比率略小：16/25=0.64.) 相比之下，如果每张脸都是五边形，则比例为2/5=0.40.
现在我们将做一些算术以获得与四色定理相关的经典结果。这通常以更正式、更技术的方式完成，但
我们会尽量保持简单。请注意，本章中的公式适用于在至少是3.
考虑图的每个顶点具有相同度数的特殊情况，这意味着相同数量的边在每个顶点处相交。如果每个顶点都具有相同的度数并且如果我们定义D为每个顶点的度数（等于每个顶点相交的边数），然后D在/2 =和, 相当于D在=2和. 这个众所周知的结果被称为握手引理。如果在人们互相握手D其他人，DV/2 等于将发生的握手次数。我们除以二是为了避免重复计算。例如，如果有 8 个人参加聚会，每个人与另外 7 个人握手，则有 8(7)/2=56/2=28握手。如果他们的名字是 A 先生、B 先生、C 先生等，一直到 H 先生，那么我们除以 2，因为 56 数 A 先生与 B 先生握手，B 先生与 B 先生握手。 A 分开，并且对于所有其他对类似（例如 A 先生和 C 先生，这与 C 先生和 A 先生相同）。
如果顶点的度数不同怎么办？大多数图表都是这种情况。我们仍然可以使用公式 DV=2和假设我们将 D 解释为顶点的平均度数。
如果我们将欧拉公式的两边都乘以 2，我们得到2 在+2 F=2和+4. 代入方程D在=2和进入这个方程得到2 在+2 F=D在+4.两边都乘以3得到6 在+6 F=3D在+12.
对于 MPG，我们注意到2和=3 F. 结合D在=2和和2和=3 F看到那个D在=3 F. 两边都乘以2得到2D在=6 F. 将其代入上一段中的最后一个方程以获得6 在+2D在=3D在+12.两边减去3DV得到6 在−D在=12. 排除在获得在(6−D)=12. 我们最终得到公式在=12/(6−D)对于 MPG（回想一下 MPG 的每个面都有三个边）。回想起那个在是顶点的数量（它们是区域），并且D是在图上每个顶点相交的平均边数。
当每个顶点都有度数时D=2，我们得到在=12/(6−2)=12/4=3. 如果恰好有 3 个顶点，则 MPG 上的每个顶点都将连接到 2 条边。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。