数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|MAXIMAL PLANAR

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在数学中,图论是对图的研究,它是用来模拟对象之间成对关系的数学结构。这里,图由顶点(也称为节点或点)组成,这些顶点由边(也称为链接或线)连接。

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数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|GRAPHS

Recall from Chapter 3 that a MPG (which stands for “maximal planar graph”) is a PG that is triangulated, meaning that every face is a triangle (keeping in mind that one of its edges may be curved), including the infinite area outside of the graph. A MPG is “maximal” in the sense that if another edge were added to anywhere to the MPG, then the graph would no longer be a PG (there would be an unavoidable crossing).

This chapter focuses on the important question, “How can you tell whether or not a graph is a MPG?” That is, if a graph is drawn with a crossing, is the crossing avoidable or not?

The simplest test is an exclusion test. What is an exclusion test? If a graph fails the exclusion test, then it isn’t a MPG. However, if the graph passes the exclusion test, we will need more information before we can determine whether or not it is a MPG. This exclusion test is useful because it can rule many graphs out very quickly, but the exclusion test has limited use because when a graph passes the exclusion test, another test is still needed. To perform the exclusion test, count the number of vertices and edges and see if these values satisfy Euler’s formula (or related formulas from Chapter 4) for a MPG. If a graph with at least 3 vertices is a MPG, the number of edges must equal $E=3 V-6$. If $E$ is greater than $3 V-6$, the graph isn’t MPG (and it isn’t even a PG).

For example, consider the graphs on the next page which have $\mathrm{V}=6$ vertices. A MPG with 6 vertices should have $E=3(6)-6=18-6=12$ edges.

Counting edges can get tricky when a graph has numerous vertices, but fortunately there is a simple trick to make this easy. The number of edges equals the sum of the degrees of the vertices divided by two.

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|The diagrams above

The diagrams above show how the exclusion test can determine that the right graph above isn’t a MPG. As mentioned previously, a MPG with $V=6$ vertices should have $\mathrm{E}=12$ edges.

  • The sum of the degrees for the left graph is $4+3+4+3+4+4=22$, so it has $22 \div 2=11$ edges. Since 11 is less than 12 , the left graph isn’t a MPG. Euler’s formula doesn’t prove that it’s a PG; this we were able to determine by redrawing the graph without crossings.
  • The sum of the degrees for the middle graph is $4+4+4+4+4+4=24$, so it has $24 \div 2$ edges. Since this equals 12 , the middle graph could be a MPG. Euler’s formula doesn’t prove that it’s a MPG, but it doesn’t exclude this graph from being one. We were able to determine that it was a PC by redrawing the graph without crossings. The redrawn graph plus Euler’s formula then tells us that it’s a MPG.
  • The sum of the degrees for the right graph is $4+5+4+4+5+4=26$, so it has $26 \div 2=13$ edges. Since 13 is greater than 12 , the right graph isn’t planar (it has too many edges to be a MPG, and a MPG has the maximum number of edges for a PG). We don’t need to try to redraw this graph to see whether or not it has unavoidable crossings. Since Euler’s formula excludes the right graph from being a MPG (or a PG), we know that it can’t be redrawn without at least one crossing.
    Now let’s look at an example where Euler’s formula doesn’t help. Both graphs below have $\mathrm{V}=6$ vertices. Both graphs agree with Euler’s formula for a MPG: $E=3 V-6=3(6)-6=18-6=12$ edges. Yet the left graph is a MPG, whereas the right graph isn’t planar. In this example, the exclusion test doesn’t help.
  • The sum of the degrees for the left graph is $4+5+3+4+5+3=24$, so it has $24 \div 2$ edges. Since this equals 12 , the left graph could be a MPG. Euler’s formula doesn’t prove that it’s a MPG, but it doesn’t exclude this graph from being one. We were able to determine that it was a PG by redrawing the graph without crossings. The redrawn graph plus Euler’s formula then tells us that it’s a MPG.
  • The sum of the degrees for the right graph is $4+4+4+4+5+3=24$, so it has $24 \div 2$ edges. Since this equals 12 , the right graph could be a MPG. Euler’s formula doesn’t prove whether it’s a MPG, but it doesn’t exclude this graph from being one. If you try to redraw the graph with the same edge-sharing, it will have at least one crossing. Why is the left graph planar, but not the right graph? In the left graph, we were able to separate the inside edges into a group of three inside edges and another group of three outside edges without crossings. In the right graph, if you attempt to do this, it won’t work because AD, BE, and CF triple cross (whereas AD, AE, and BF do not), such that at least one pair of these edges will cross inside or outside the polygon.

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|exclusion test

Fortunately, there are other tests besides using Euler’s formula as an exclusion test.

One of these tests we have already been using: the redrawing test. If it is possible to redraw a graph without any crossings (meaning any crossings previously shown were avoidable), then the graph is planar. If a graph is planar and is also fully triangulated (which is the case if it satisfies Euler’s formula for a MPG), then the graph is a MPG. On the other hand, if it isn’t

possible to redraw a graph without at least one crossing, the graph isn’t planar.

The redrawing test is inconvenient, especially for a graph with a large number of vertices (and thus a large number of edges, too). Sometimes, there is a way to redraw a graph without crossings that isn’t easy to think of.

The redrawing test is simpler when all of the vertices lie at the corners of a closed polygon. It’s important that the polygon be closed; if it’s missing an edge, the following rule won’t apply. As we’ll explore in Chapter 13 (regarding Hamiltonian cycles), any MPG can be drawn with all of its vertices on the corners of a closed polygon unless it has separating triangles (which we’ll define in Chapter 12), so the polygon version of the redrawing test will actually apply to the most important examples concerning the fourcolor theorem. For a graph where all of the vertices lie at the corners of a closed polygon, it is a MPG if all of these apply:

  • It has $\mathrm{E}=3 \mathrm{~V}-6$ edges, as required by Euler’s formula for a MPG.
  • $V$ edges form the outline of a closed polygon.
  • $V-3$ edges can be drawn inside the polygon without crossing.
  • $\mathrm{V}-3$ different edges can be drawn outside the polygon without crossing.
    It’s interesting to note that the two sets of $\mathrm{V}-3$ edges are interchangeable; you can put the inside edges outside and vice-versa. We will explore this more fully in Chapter 14. For now, we will focus on how this helps us determine whether or not a graph is a MPG. (Note that our polygon redrawing test is focused on possible MPG’s, not more general PG’s.)
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图论代考

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|GRAPHS

回想一下第 3 章,MPG(代表“最大平面图”)是一个三角形的 PG,这意味着每个面都是一个三角形(记住它的一条边可能是弯曲的),包括外面的无限区域图的。MPG 是“最大的”,因为如果在 MPG 的任何位置添加另一条边,则图将不再是 PG(将不可避免地出现交叉)。

本章重点关注一个重要问题,“你如何判断一个图形是否是 MPG?” 也就是说,如果绘制一个带有交叉的图形,交叉是否可以避免?

最简单的测试是排除测试。什么是排除测试?如果图表未通过排除测试,则它不是 MPG。但是,如果图形通过了排除测试,我们将需要更多信息才能确定它是否是 MPG。这种排除测试很有用,因为它可以非常快速地排除许多图,但是排除测试的用途有限,因为当一个图通过排除测试时,仍然需要另一个测试。要执行排除测试,请计算顶点和边的数量,并查看这些值是否满足 MPG 的欧拉公式(或第 4 章中的相关公式)。如果具有至少 3 个顶点的图是 MPG,则边数必须等于和=3在−6. 如果和大于3在−6,该图不是 MPG(甚至不是 PG)。

例如,考虑下一页上的图表在=6顶点。一个有 6 个顶点的 MPG 应该有和=3(6)−6=18−6=12边缘。

当一个图有很多顶点时,计算边会变得很棘手,但幸运的是,有一个简单的技巧可以让这变得简单。边数等于顶点度数之和除以二。

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|The diagrams above

上图显示了排除测试如何确定上图不是 MPG。如前所述,MPG 与在=6顶点应该有和=12边缘。

  • 左图的度数之和为4+3+4+3+4+4=22,所以它有22÷2=11边缘。由于 11 小于 12 ,左图不是 MPG。欧拉公式并不能证明它是 PG;我们可以通过重绘没有交叉的图形来确定这一点。
  • 中间图的度数总和是4+4+4+4+4+4=24,所以它有24÷2边缘。因为这等于 12 ,所以中间的图可以是 MPG。欧拉公式并不能证明它是 MPG,但它并不排除这张图是一张图。我们能够通过重新绘制没有交叉的图形来确定它是一台 PC。重绘的图形加上欧拉公式告诉我们它是一个 MPG。
  • 右图的度数总和是4+5+4+4+5+4=26,所以它有26÷2=13边缘。由于 13 大于 12 ,因此右图不是平面图(它的边太多而不能成为 MPG,而 MPG 具有 PG 的最大边数)。我们不需要尝试重新绘制此图来查看它是否有不可避免的交叉点。由于欧拉公式将右图排除在 MPG(或 PG)之外,因此我们知道它不能在没有至少一个交叉点的情况下重新绘制。
    现在让我们看一个欧拉公式不起作用的例子。下面两张图都有在=6顶点。两张图都符合欧拉的 MPG 公式:和=3在−6=3(6)−6=18−6=12边缘。然而,左图是 MPG,而右图不是平面图。在这个例子中,排除测试没有帮助。
  • 左图的度数之和为4+5+3+4+5+3=24,所以它有24÷2边缘。因为这等于 12 ,所以左图可以是 MPG。欧拉公式并不能证明它是 MPG,但它并不排除这张图是一张图。我们能够通过重新绘制没有交叉的图形来确定它是一个 PG。重绘的图形加上欧拉公式告诉我们它是一个 MPG。
  • 右图的度数总和是4+4+4+4+5+3=24,所以它有24÷2边缘。因为这等于 12 ,所以右图可能是 MPG。欧拉公式并不能证明它是否是一个 MPG,但它并不排除这个图是一个。如果您尝试使用相同的边共享重新绘制图形,它将至少有一个交叉点。为什么左图是平面的,而右图不是?在左图中,我们能够将内边分成一组三个内边和另一组三个没有交叉的外边。在右图中,如果您尝试这样做,它将无法正常工作,因为 AD、BE 和 CF 三重交叉(而 AD、AE 和 BF 没有),这样至少一对这些边将在内部交叉或多边形之外。

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|exclusion test

幸运的是,除了使用欧拉公式作为排除测试之外,还有其他测试。

我们已经在使用的这些测试之一:重绘测试。如果可以重绘一个没有任何交叉的图形(意味着之前显示的任何交叉都是可以避免的),那么该图形是平面的。如果一个图是平面的并且也是完全三角剖分的(如果它满足欧拉的 MPG 公式就是这种情况),那么该图就是一个 MPG。另一方面,如果不是

可以在没有至少一个交叉点的情况下重绘图形,该图形不是平面的。

重绘测试很不方便,尤其是对于具有大量顶点(因此也有大量边)的图。有时,有一种方法可以重绘一个没有交叉的图形,这是不容易想到的。

当所有顶点都位于闭合多边形的角上时,重绘测试会更简单。关闭多边形很重要;如果它缺少边缘,则以下规则将不适用。正如我们将在第 13 章(关于哈密顿循环)中探讨的那样,任何 MPG 都可以在闭合多边形的角上绘制,除非它具有分离三角形(我们将在第 12 章中定义),所以多边形重绘测试的版本实际上将适用于有关四色定理的最重要的例子。对于所有顶点都位于闭合多边形的角的图,如果所有这些都适用,则它是 MPG:

  • 它有和=3 在−6根据欧拉公式对 MPG 的要求。
  • 在边形成封闭多边形的轮廓。
  • 在−3边缘可以在多边形内部绘制而不会交叉。
  • 在−3可以在多边形之外绘制不同的边而不会交叉。
    有趣的是,这两组在−3边缘是可互换的;您可以将内边缘放在外面,反之亦然。我们将在第 14 章更全面地探讨这一点。现在,我们将关注它如何帮助我们确定一个图是否是 MPG。(请注意,我们的多边形重绘测试侧重于可能的 MPG,而不是更一般的 PG。)
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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

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多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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