数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Fundamental Concepts

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复数函数是一个从复数到复数的函数。换句话说,它是一个以复数的一个子集为域,以复数为子域的函数。复数函数通常应该有一个包含复数平面的非空开放子集的域。

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数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Fundamental Concepts

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Elementary Properties of the Complex Numbers

We take for granted the real numbers, which will be denoted by the symbol $\mathbb{R}$. Then we set $\mathbb{R}^{2}={(x, y): x \in \mathbb{R}, y \in \mathbb{R}}$. The complex numbers $\mathbb{C}$ consist of $\mathbb{R}^{2}$ equipped with some special algebraic operations. Namely, one defines
$$
\begin{aligned}
(x, y)+\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) &=\left(x+x^{\prime}, y+y^{\prime}\right) \
(x, y) \cdot\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) &=\left(x x^{\prime}-y y^{\prime}, x y^{\prime}+y x^{\prime}\right) .
\end{aligned}
$$
You can check for yourself that these operations of $+$ and $\cdot$ are commutative and associative.

It is both conventional and convenient to denote $(1,0)$ by 1 and $(0,1)$ by $i$. We also adopt the convention that, if $\alpha \in \mathbb{R}$, then
$$
\alpha \cdot(x, y)=(\alpha, 0) \cdot(x, y)=(\alpha x, \alpha y) .
$$
Then every complex number $(x, y)$ can be written in one and only one way in the form $x \cdot 1+y \cdot i$ with $x, y \in \mathbb{R}$. We usually write the number even more succinctly as $x+i y$. Then our laws of addition and multiplication become
$$
\begin{aligned}
(x+i y)+\left(x^{\prime}+i y^{\prime}\right) &=\left(x+x^{\prime}\right)+i\left(y+y^{\prime}\right), \
(x+i y) \cdot\left(x^{\prime}+i y^{\prime}\right) &=\left(x x^{\prime}-y y^{\prime}\right)+i\left(x y^{\prime}+y x^{\prime}\right) .
\end{aligned}
$$
Observe that $i \cdot i=-1$. Moreover, our multiplication law is consistent with the real multiplication introduced in line $(*)$.

The symbols $z, w, \zeta$ are frequently used to denote complex numbers. Unless it is explicitly stated otherwise, we always take $z=x+i y, w=$ $u+i v, \zeta=\xi+i \eta$. The real number $x$ is called the real part of $z$ and is

written $x=\operatorname{Re} z$. Likewise $y$ is called the imaginary part of $z$ and is written $y=\operatorname{Im} z$.

The complex number $x-i y$ is by definition the conjugate of the complex number $x+i y$. We denote the conjugate of a complex number $z$ by the symbol $\bar{z}$. So if $z=x+i y$, then $\bar{z}=x-i y$.

Notice that $z+\bar{z}=2 x, z-\bar{z}=2 i y$. You should verify for yourself that
$$
\begin{aligned}
\overline{z+w} &=\bar{z}+\bar{w} \
\overline{z \cdot w} &=\bar{z} \cdot \bar{w}
\end{aligned}
$$
A complex number is real (has no imaginary part) if and only if $z=\bar{z}$. It is imaginary (has zero real part) if $z=-\bar{z}$.

The ordinary Euclidean distance of $(x, y)$ to $(0,0)$ is $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$. We also call this number the modulus (or absolute value) of the complex number $z=x+i y$, and we write $|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$. Notice that
$$
z \cdot \bar{z}=x^{2}+y^{2}=|z|^{2} .
$$
You should check for yourself that the distance from $z$ to $w$ is $|z-w|$. Verify also that $|z \cdot w|=|z| \cdot|w|$ (square both sides). Also $|\operatorname{Re} z| \leq|z|$ and $|\operatorname{Im} z| \leq|z|$.

Let $0=0+i 0$. If $z \in \mathbb{C}$, then $z+0=z$. Also, letting $-z=-x-i y$, we notice that $z+(-z)=0$. So every complex number has anditive inverse.
Since $1=1+i 0$, it follows that $1 \cdot z=z \cdot 1=z$ for every complex number $z$. If $|z| \neq 0$, then $|z|^{2} \neq 0$ and
$$
z \cdot \frac{\bar{z}}{|z|^{2}}=\frac{|z|^{2}}{|z|^{2}}=1 .
$$
So every nonzero complex number has a multiplicative inverse. It is natural to define $1 / z$ to be the multiplicative inverse $\bar{z} /|z|^{2}$ of $z$ and, more generally, to define
$$
\frac{z}{w}=z \cdot \frac{1}{w}=\frac{z \bar{w}}{|w|^{2}} \quad \text { for } w \neq 0 .
$$
You can also see that $\overline{z / w}=\bar{z} / \bar{w}$.
Observe now that multiplication and addition satisfy the usual distributive, associative, and commutative (as previously noted) laws. So $\mathbb{C}$ is a field. It follows from general properties of fields, or you can just check directly, that every complex number has a unique additive inverse and every nonzero complex number has a unique multiplicative inverse. Also $\mathbb{C}$ contains a copy of the real numbers in an obvious way:
$$
\mathbb{R} \ni x \mapsto x+i 0 \in \mathbb{C} .
$$

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Further Properties of the Complex Numbers

We first consider the complex exponential, which we define as follows:
(1) If $z=x$ is real, then
$$
e^{z}=e^{x} \equiv \sum_{j=0}^{\infty} \frac{x^{j}}{j !}
$$
as in calculus.
(2) If $z=i y$ is pure imaginary, then
$$
e^{z}=e^{i y} \equiv \cos y+i \sin y
$$
(3) If $z=x+i y$, then
$$
e^{z}=e^{x+i y} \equiv e^{x} \cdot(\cos y+i \sin y)
$$
Parts (2) and (3) of the definition, due to Euler, may seem somewhat arbitrary. We shall now show, using power series, that these definitions are

perfectly natural. We shall wait until Section $3.2$ to give a careful presentation of the theory of complex power series. So the power series arguments that we are about to present should be considered purely formal and given primarily for motivation.
Since, as was noted in (1), we have
$$
e^{x}=\sum_{j=0}^{\infty} \frac{x^{j}}{j !}
$$
then it is natural to attempt to define
$$
e^{z}=\sum_{j=0}^{\infty} \frac{z^{j}}{j !} .
$$
If we assume that this series converges in some reasonable sense and that it can be manipulated like the real power series with which we are familiar, then we can proceed as follows:
If $z=i y, y \in \mathbb{R}$, then
$$
\begin{aligned}
e^{i y}=& \sum_{j=0}^{\infty} \frac{(i y)^{j}}{j !} \
=& 1+i y-\frac{y^{2}}{2 !}-\frac{i y^{3}}{3 !}+\frac{y^{4}}{4 !} \
\quad & \quad+\frac{i y^{5}}{5 !}-\frac{y^{6}}{6 !}-\frac{i y^{7}}{7 !}+\frac{y^{8}}{8 !}+\cdots \
=&\left(1-\frac{y^{2}}{2 !}+\frac{y^{4}}{4 !}-\frac{y^{6}}{6 !}+\frac{y^{8}}{8 !}-\cdots\right) \
=& \quad \cos y+i \sin y
\end{aligned}
$$
By formal manipulation of series, it is now easily checked, using the definition (*), that
$$
e^{a+b}=e^{a} e^{b}, \quad \text { any } a, b \in \mathbb{C} .
$$
Then for $z=x+i y$ we have
$$
\begin{aligned}
e^{z} &=e^{x+i y}=e^{x} e^{i y} \
&=e^{x}(\cos y+i \sin y)
\end{aligned}
$$
giving thus a formal “demonstration” of our definition of exponential.
To stress that there is no circular reasoning involved here, we reiterate that the definition of the complex exponential is that, for $z=x+i y$,
$$
e^{z}=e^{x}(\cos y+i \sin y) .
$$

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Complex Polynomials

In the calculus of real variables, polynomials are the simplest nontrivial functions. The purpose of this section is to consider complex-valued polynomials of a complex variable, with the idea of seeing what new features appear. Later we shall use the discussion as motivation for considering more general functions.

There are several slightly different ways of looking at polynomials from the complex viewpoint. One way is to consider polynomials in $x$ and $y$, $(x, y) \in \mathbb{R}^{2}$, with complex coefficients: for example, $(2+i) x y+3 i y^{2}+5 x^{2}$. Such polynomials give functions from $\mathbb{R}^{2}$ to $\mathbb{C}$, which we could equally well think of as functions from $\mathbb{C}$ to $\mathbb{C}$, with $(x, y)$ determined by $z=x+$ iy. Another kind of polynomial that we can consider is complex-coefficient polynomials in the complex variable $z$, for example, $i+(3+i) z+5 z^{2}$. These also give functions from $\mathbb{C}$ to $\mathbb{C}$. A polynomial in $z$ gives rise naturally to a polynomial in $x$ and $y$ by substituting $z=x+i y$ and expanding. For instance
$$
\begin{aligned}
i+(3+i) z+5 z^{2} &=i+(3+i)(x+i y)+5(x+i y)^{2} \
&=i+3 x-y+i x+3 i y+5 x^{2}+10 i x y-5 y^{2} \
&=i+(3+i) x+(3 i-1) y+5 x^{2}+(10 i) x y-5 y^{2}
\end{aligned}
$$
It is an important and somewhat surprising fact that the converse of this expansion process does not always work: there are many polynomials in $x$ and $y$ that cannot be written as polynomials in $z$. Let us consider a specific simple example: the polynomial $x$ itself. If it were true that
$$
x=P(z)=P(x+i y)
$$
for some polynomial $P(z)$ in $z$, then $P$ would have to be of first degree. But a first degree polynomial $a z+b=a x+i a y+b$ cannot be identically equal to $x$, no matter how we choose $a$ and $b$ in $\mathbb{C}$ (see Exercise 35 ). What is really going on here?

One way to write a polynomial in $x$ and $y$ in complex notation is to use the substitutions
$$
x=\frac{z+\bar{z}}{2}, y=\frac{z-\bar{z}}{2 i},
$$
where $\bar{z}=x-i y$ as in Section 1.1. The point of the previous paragraph is that, when a polynomial in $x, y$ is converted to the $z, \bar{z}$ notation, then there will usually be some $\bar{z}$ ‘s in the resulting expression, and these $\bar{z}$ ‘s may not cancel out.
For example,
$$
x^{2}+y^{2}=\left(\frac{z+\bar{z}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{z-\bar{z}}{2 i}\right)^{2}
$$

$$
\begin{aligned}
&=\frac{z^{2}}{4}+\frac{z \bar{z}}{2}+\frac{\bar{z}^{2}}{4}-\frac{z^{2}}{4}+\frac{z \bar{z}}{2}-\frac{\bar{z}^{2}}{4} \
&=z \cdot \bar{z}
\end{aligned}
$$
You can check for yourself that there is no polynomial expression in $z$, without any $\bar{z}$ ‘s, that equals $x^{2}+y^{2}$ : the occurrence of $\bar{z}$ is required.
Of course, sometimes one can be lucky and there will not be any $\bar{z}$ ‘s:
$$
\begin{aligned}
x^{2}-y^{2}+2 i x y &=\left(\frac{z+\bar{z}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{z-\bar{z}}{2 i}\right)^{2}+2 i\left(\frac{z+\bar{z}}{2}\right)\left(\frac{z-\bar{z}}{2 i}\right) \
&=\frac{z^{2}}{4}+\frac{z \bar{z}}{2}+\frac{\bar{z}^{2}}{4}+\frac{z^{2}}{4}-\frac{z \bar{z}}{2}+\frac{\bar{z}^{2}}{4}+\frac{2 i\left(z^{2}-\bar{z}^{2}\right)}{2 \cdot 2 i} \
&=z^{2} .
\end{aligned}
$$
In this example, all the $\bar{z}$ terms cancel out.

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Fundamental Concepts

复变函数代写

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Elementary Properties of the Complex Numbers

我们认为实数是理所当然的,用符号表示R. 然后我们设置R2=(X,是):X∈R,是∈R. 复数C包括R2配备了一些特殊的代数运算。即,一个定义
(X,是)+(X′,是′)=(X+X′,是+是′) (X,是)⋅(X′,是′)=(XX′−是是′,X是′+是X′).
你可以自己检查一下这些操作+和⋅是可交换的和关联的。

它既传统又方便表示(1,0)由 1 和(0,1)经过一世. 我们还通过约定,如果一种∈R, 然后
一种⋅(X,是)=(一种,0)⋅(X,是)=(一种X,一种是).
然后每个复数(X,是)可以用一种且只有一种方式写成形式X⋅1+是⋅一世和X,是∈R. 我们通常把这个数字写得更简洁X+一世是. 那么我们的加法和乘法定律就变成了
(X+一世是)+(X′+一世是′)=(X+X′)+一世(是+是′), (X+一世是)⋅(X′+一世是′)=(XX′−是是′)+一世(X是′+是X′).
请注意一世⋅一世=−1. 此外,我们的乘法定律与行中引入的实数乘法一致(∗).

符号和,在,G常用于表示复数。除非另有明确说明,否则我们总是取和=X+一世是,在= 在+一世在,G=X+一世这. 真实数字X被称为实部和并且是

书面X=关于⁡和. 同样地是被称为虚部和并写成是=在里面⁡和.

复数X−一世是根据定义是复数的共轭X+一世是. 我们表示复数的共轭和按符号和¯. 因此,如果和=X+一世是, 然后和¯=X−一世是.

请注意和+和¯=2X,和−和¯=2一世是. 你应该自己验证
和+在¯=和¯+在¯ 和⋅在¯=和¯⋅在¯
复数是实数(没有虚部)当且仅当和=和¯. 如果是虚数(实部为零)和=−和¯.

的普通欧几里得距离(X,是)到(0,0)是X2+是2. 我们也称这个数为复数的模数(或绝对值)和=X+一世是,我们写|和|=X2+是2. 请注意
和⋅和¯=X2+是2=|和|2.
你应该自己检查距离和到在是|和−在|. 还要验证|和⋅在|=|和|⋅|在|(两边正方形)。还|关于⁡和|≤|和|和|在里面⁡和|≤|和|.

让0=0+一世0. 如果和∈C, 然后和+0=和. 还有,让−和=−X−一世是,我们注意到和+(−和)=0. 所以每个复数都有与逆。
自从1=1+一世0, 它遵循1⋅和=和⋅1=和对于每个复数和. 如果|和|≠0, 然后|和|2≠0和
和⋅和¯|和|2=|和|2|和|2=1.
所以每个非零复数都有一个乘法逆元。定义很自然1/和成为乘法逆元和¯/|和|2的和并且,更一般地,定义
和在=和⋅1在=和在¯|在|2 为了 在≠0.
你也可以看到和/在¯=和¯/在¯.
现在观察乘法和加法满足通常的分配、结合和交换(如前所述)定律。所以C是一个字段。它来自域的一般属性,或者您可以直接检查,每个复数都有一个唯一的加法逆,每个非零复数都有一个唯一的乘法逆。还C以明显的方式包含实数的副本:
R∋X↦X+一世0∈C.

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我们首先考虑复指数,我们定义如下:
(1) 如果和=X是真实的,那么
和和=和X≡∑j=0∞Xjj!
就像在微积分中一样。
(2) 如果和=一世是是纯虚数,那么
和和=和一世是≡因⁡是+一世罪⁡是
(3) 如果和=X+一世是, 然后
和和=和X+一世是≡和X⋅(因⁡是+一世罪⁡是)
由于欧拉,定义的第 (2) 和 (3) 部分似乎有些武断。我们现在将使用幂级数证明这些定义是

完全自然。我们将等到第3.2详细介绍复幂级数理论。因此,我们将要介绍的幂级数论证应该被认为是纯粹形式的,主要是为了动机。
因为,如(1)中所述,我们有
和X=∑j=0∞Xjj!
那么很自然地尝试定义
和和=∑j=0∞和jj!.
如果我们假设这个级数在某种合理的意义上是收敛的,并且可以像我们熟悉的真实幂级数一样操纵它,那么我们可以进行如下操作:
如果和=一世是,是∈R, 然后
和一世是=∑j=0∞(一世是)jj! =1+一世是−是22!−一世是33!+是44! +一世是55!−是66!−一世是77!+是88!+⋯ =(1−是22!+是44!−是66!+是88!−⋯) =因⁡是+一世罪⁡是
通过对系列的正式操作,现在可以使用定义 (*) 轻松检查,即
和一种+b=和一种和b, 任何 一种,b∈C.
那么对于和=X+一世是我们有
和和=和X+一世是=和X和一世是 =和X(因⁡是+一世罪⁡是)
因此给出了我们对指数定义的正式“证明”。
为了强调这里不涉及循环推理,我们重申复指数的定义是,对于和=X+一世是,
和和=和X(因⁡是+一世罪⁡是).

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在实变量的微积分中,多项式是最简单的非平凡函数。本节的目的是考虑复变量的复值多项式,以了解出现了哪些新特征。稍后我们将使用讨论作为考虑更一般功能的动机。

从复数的角度来看多项式有几种略有不同的方法。一种方法是考虑多项式X和是, (X,是)∈R2,具有复系数:例如,(2+一世)X是+3一世是2+5X2. 这样的多项式给出的函数来自R2到C,我们同样可以将其视为来自的函数C到C, 和(X,是)取决于和=X+我。我们可以考虑的另一种多项式是复变量中的复系数多项式和, 例如,一世+(3+一世)和+5和2. 这些也给出了函数C到C. 多项式在和自然产生多项式X和是通过替换和=X+一世是和扩大。例如
一世+(3+一世)和+5和2=一世+(3+一世)(X+一世是)+5(X+一世是)2 =一世+3X−是+一世X+3一世是+5X2+10一世X是−5是2 =一世+(3+一世)X+(3一世−1)是+5X2+(10一世)X是−5是2
一个重要且有点令人惊讶的事实是,这个展开过程的逆过程并不总是有效:在X和是不能写成多项式和. 让我们考虑一个具体的简单示例:多项式X本身。如果这是真的
X=磷(和)=磷(X+一世是)
对于一些多项式磷(和)在和, 然后磷必须是一级。但是一阶多项式一种和+b=一种X+一世一种是+b不能完全等于X,无论我们如何选择一种和b在C(见习题 35)。这里到底发生了什么?

写多项式的一种方法X和是在复杂的符号是使用替换
X=和+和¯2,是=和−和¯2一世,
在哪里和¯=X−一世是如第 1.1 节所述。上一段的要点是,当多项式在X,是被转换为和,和¯符号,那么通常会有一些和¯’s 在结果表达式中,而这些和¯的可能不会取消。
例如,
X2+是2=(和+和¯2)2+(和−和¯2一世)2=和24+和和¯2+和¯24−和24+和和¯2−和¯24 =和⋅和¯
您可以自己检查是否没有多项式表达式和, 没有任何和¯的,这等于X2+是2: 的发生和¯是必须的。
当然,有时一个人可能很幸运,但不会有任何和¯的:
X2−是2+2一世X是=(和+和¯2)2−(和−和¯2一世)2+2一世(和+和¯2)(和−和¯2一世) =和24+和和¯2+和¯24+和24−和和¯2+和¯24+2一世(和2−和¯2)2⋅2一世 =和2.
在这个例子中,所有和¯条款取消。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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