数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Complex Line Integrals

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复数函数是一个从复数到复数的函数。换句话说,它是一个以复数的一个子集为域,以复数为子域的函数。复数函数通常应该有一个包含复数平面的非空开放子集的域。

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数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Complex Line Integrals

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Real and Complex Line Integrals

In the previous chapter, we approached the question of finding a function with given partial derivatives by integrating along vertical and horizontal directions only. The fact that the horizontal derivative is $\partial / \partial x$ and the vertical derivative is $\partial / \partial y$ then made the computations in Section $1.5$ obvious. But the restriction to such integrals is geometrically unnatural. In this section we are going to develop an integration process along more general curves. It is in fact not a new method of integration at all but is the process of line integration which you learned in calculus. Our chief job here is to make it rigorous and to introduce notation that is convenient for complex analysis.

First, let us define the class of curves we shall consider. It is convenient to think of a curve as a (continuous) function $\gamma$ from a closed interval $[a, b] \subseteq \mathbb{R}$ into $\mathbb{R}^{2} \approx \mathbb{C}$. Although it is frequently convenient to refer to the geometrical object $\tilde{\gamma} \equiv{\gamma(t): t \in[a, b]}$, most of our analysis will be done with the function $\gamma$. It is often useful to write
$$
\gamma(t)=\left(\gamma_{1}(t), \gamma_{2}(t)\right) \quad \text { or } \quad \gamma(t)=\gamma_{1}(t)+i \gamma_{2}(t),
$$
depending on the context. The curve $\gamma$ is called closed if $\gamma(a)=\gamma(b)$. It is called simple closed if $\left.\gamma\right|_{[a, b)}$ is one-to-one and $\gamma(a)=\gamma(b)$. Intuitively, a simple closed curve is a curve with no self-intersections, except of course for the closing up at $t=a, t=b$.

In order to work effectively with $\gamma$, we need to impose on it some differentiability properties. Since $\gamma$ is defined on a closed interval, this requires a new definition.

Definition 2.1.1. A function $\phi:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ is called continuously differentiable (or $\left.C^{1}\right)$, and we write $\phi \in C^{1}([a, b])$, if
(a) $\phi$ is continuous on $[a, b]$
(b) $\phi^{\prime}$ exists on $(a, b)$;
(c) $\phi^{\prime}$ has a continuous extension to $[a, b]$.
In other words, we require that
$$
\lim {t \rightarrow a^{+}} \phi^{\prime}(t) \text { and } \lim {t \rightarrow b^{-}} \phi^{\prime}(t)
$$
both exist.
The motivation for the definition is that if $\phi \in C^{1}([a, b])$ and $\phi$ is realvalued, then
$$
\begin{aligned}
\phi(b)-\phi(a) &=\lim {\epsilon \rightarrow 0^{+}}(\phi(b-\epsilon)-\phi(a+\epsilon)) \ &=\lim {\epsilon \rightarrow 0^{+}} \int_{a+\epsilon}^{b-\epsilon} \phi^{\prime}(t) d t \
&=\int_{a}^{b} \phi^{\prime}(t) d t
\end{aligned}
$$
So the fundamental theorem of calculus holds for $\phi \in C^{1}([a, b])$.

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Complex Differentiability and Conformality

The goal of our work so far has been to develop a complex differential and integral calculus. We recall from ordinary calculus that when we differentiate functions on $\mathbb{R}^{2}$, we consider partial derivatives and directional derivatives, as well as a total derivative. It is a very nice byproduct of the field structure of $\mathbb{C}$ that we may now unify these ideas in the complex case.

First we need a suitable notion of limit. The definition is in complete analogy with the usual definition in calculus:

Let $U \subseteq \mathbb{C}$ be open, $P \in U$, and $g: U \backslash{P} \rightarrow \mathbb{C}$ a function. We say that
$$
\lim _{z \rightarrow P} g(z)=\ell, \quad \ell \in \mathbb{C},
$$
if for any $\epsilon>0$ there is a $\delta>0$ such that when $z \in U$ and $0<|z-P|<\delta$, then $|g(z)-\ell|<\epsilon$.

In a similar fashion, if $f$ is a complex-valued function on an open set $U$ and $P \in U$, then we say that $f$ is continuous at $P$ if $\lim {z \rightarrow P} f(z)=f(P)$. Now let $f$ be a function on the open set $U$ in $\mathbb{C}$ and consider, in analogy with one variable calculus, the difference quotient $$ \frac{f(z)-f\left(z{0}\right)}{z-z_{0}}
$$
for $z_{0} \neq z \in U$. In case
$$
\lim {z \rightarrow z{0}} \frac{f(z)-f\left(z_{0}\right)}{z-z_{0}}
$$
exists, then we say that $f$ has a complex derivative at $z_{0}$. We denote the complex derivative by $f^{\prime}\left(z_{0}\right)$. Observe that if $f$ has a complex derivative at $z_{0}$, then certainly $f$ is continuous at $z_{0}$.

The classical method of studying complex function theory is by means of the complex derivative. We take this opportunity to tie up the (well motivated) classical viewpoint with our present one.

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Antiderivatives Revisited

It is our goal in this section to extend Theorems 1.5.1 and $1.5 .3$ to the situation where $f$ and $g$ (for Theorem 1.5.1) and $F$ (for Theorem 1.5.3) have isolated singularities. These rather technical results will be needed for our derivation of what is known as the Cauchy integral formula in the next section. In particular, we shall want to study the complex line integral of
$$
\frac{F(z)-F\left(z_{0}\right)}{z-z_{0}}
$$

when $F$ is holomorphic on $U$ and $z_{0} \in U$ is fixed. Such a function is certainly $C^{1}$ on $U \backslash\left{z_{0}\right}$. But it is a priori known only to be continuous on the entire set $U$ (if it is defined to equal $F^{\prime}\left(z_{0}\right)$ at $z_{0}$ ). We need to deal with this situation, and doing so is the motivation for the rather technical refinements of this section.
We begin with a lemma about functions on $\mathbb{R}$.
Lemma 2.3.1. Let $(\alpha, \beta) \subseteq \mathbb{R}$ be an open interval and let $H:(\alpha, \beta) \rightarrow \mathbb{R}$, $F:(\alpha, \beta) \rightarrow \mathbb{R}$ be continuous functions. Let $p \in(\alpha, \beta)$ and suppose that $d H / d x$ exists and equals $F(x)$ for all $x \in(\alpha, \beta) \backslash{p}$. See Figure 2.2. Then $(d H / d x)(p)$ exists and $(d H / d x)(x)=F(x)$ for all $x \in(\alpha, \beta)$.

Proof. It is enough to prove the result on a compact subinterval $[a, b]$ of $(\alpha, \beta)$ that contains $p$ in its interior. Set
$$
K(x)=H(a)+\int_{a}^{x} F(t) d t
$$
Then $K^{\prime}(x)$ exists on all of $[a, b]$ and $K^{\prime}(x)=F(x)$ on both $[a, p)$ and $(p, b]$. Thus $K$ and $H$ differ by constants on each of these half open intervals. Since both functions are continuous on all of $[a, b]$, it follows that $K-H$ is constant on all of $[a, b]$. Since $(K-H)(a)=0$, it follows that $K \equiv H$.

Theorem 2.3.2. Let $U \subseteq \mathbb{C}$ be either an open rectangle or an open disc and let $P \in U$. Let $f$ and $g$ be continuous, real-valued functions on $U$ which are continuously differentiable on $U \backslash{P}$ (note that no differentiability hypothesis is made at the point $P$ ). Suppose further that
$$
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial g}{\partial x} \quad \text { on } U \backslash{P}
$$
Then there exists a $C^{1}$ function $h: U \rightarrow \mathbb{R}$ such that
$$
\frac{\partial h}{\partial x}=f, \quad \frac{\partial h}{\partial y}=g
$$
at every point of $U$ (including the point $P$ ).
Proof. As in the proof of Theorem 1.5.1, we fix a point $\left(a_{0}, b_{0}\right)=a_{0}+i b_{0} \in$ $U$ and define
$$
h(x, y)=\int_{a_{0}}^{x} f\left(t, b_{0}\right) d t+\int_{b_{0}}^{y} g(x, s) d s
$$

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Complex Line Integrals

复变函数代写

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Real and Complex Line Integrals

在上一章中,我们只通过沿垂直和水平方向积分来解决寻找具有给定偏导数的函数的问题。水平导数是∂/∂X垂直导数是∂/∂是然后在 Section 中进行计算1.5明显的。但是对这种积分的限制在几何上是不自然的。在本节中,我们将沿着更一般的曲线开发一个集成过程。它实际上根本不是一种新的积分方法,而是您在微积分中学到的线积分过程。我们在这里的主要工作是使其严谨并引入便于复杂分析的符号。

首先,让我们定义我们要考虑的曲线类别。将曲线视为(连续)函数很方便C从闭区间[一种,b]⊆R进入R2≈C. 尽管参考几何对象通常很方便C~≡C(吨):吨∈[一种,b], 我们的大部分分析将使用函数完成C. 写作通常很有用
C(吨)=(C1(吨),C2(吨)) 或者 C(吨)=C1(吨)+一世C2(吨),
取决于上下文。曲线C被称为关闭如果C(一种)=C(b). 它被称为简单封闭如果C|[一种,b)是一对一的并且C(一种)=C(b). 直观地说,一条简单的闭合曲线是一条没有自相交的曲线,当然除了在吨=一种,吨=b.

为了有效地与C,我们需要对其施加一些可微性属性。自从C是在闭合区间上定义的,这需要一个新的定义。

定义 2.1.1。一个函数φ:[一种,b]→R称为连续可微(或C1),我们写φ∈C1([一种,b]), 如果
(a)φ是连续的[一种,b]
(二)φ′存在于(一种,b);
(C)φ′有一个连续的延伸到[一种,b].
换句话说,我们要求
林吨→一种+φ′(吨) 和 林吨→b−φ′(吨)
两者都存在。
定义的动机是,如果φ∈C1([一种,b])和φ是实值的,那么
φ(b)−φ(一种)=林ε→0+(φ(b−ε)−φ(一种+ε)) =林ε→0+∫一种+εb−εφ′(吨)d吨 =∫一种bφ′(吨)d吨
所以微积分基本定理成立φ∈C1([一种,b]).

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Complex Differentiability and Conformality

到目前为止,我们工作的目标是开发复杂的微积分和微积分。我们从普通微积分中回忆起,当我们在R2,我们考虑偏导数和方向导数,以及全导数。它是字段结构的一个非常好的副产品C我们现在可以在复杂的情况下统一这些想法。

首先,我们需要一个合适的极限概念。该定义与微积分中的通常定义完全类比:

让在⊆C开放,磷∈在, 和G:在∖磷→C一个函数。我们说
林和→磷G(和)=ℓ,ℓ∈C,
如果有的话ε>0有一个d>0这样当和∈在和0<|和−磷|<d, 然后|G(和)−ℓ|<ε.

以类似的方式,如果F是开集上的复值函数在和磷∈在,那么我们说F是连续的磷如果林和→磷F(和)=F(磷). 现在让F是开集上的一个函数在在C并考虑,类似于一个变量演算,差商F(和)−F(和0)和−和0
为了和0≠和∈在. 如果
林和→和0F(和)−F(和0)和−和0
存在,那么我们说F在处有一个复导数和0. 我们将复数导数表示为F′(和0). 观察如果F在处有一个复导数和0, 那么当然F是连续的和0.

研究复函数理论的经典方法是借助复导数。我们借此机会将(动机良好的)古典观点与我们目前的观点联系起来。

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Antiderivatives Revisited

本节的目标是扩展定理 1.5.1 和1.5.3到这种情况F和G(对于定理 1.5.1)和F(对于定理 1.5.3)具有孤立的奇点。我们在下一节推导所谓的柯西积分公式将需要这些相当技术性的结果。特别是,我们将要研究的复线积分
F(和)−F(和0)和−和0

什么时候F是全纯的在和和0∈在是固定的。这样的功能肯定是C1在U \backslash\left{z_{0}\right}U \backslash\left{z_{0}\right}. 但它是先验已知的,仅在整个集合上是连续的在(如果它被定义为等于F′(和0)在和0)。我们需要处理这种情况,这样做是本节进行相当技术性改进的动机。
我们从关于函数的引理开始R.
引理 2.3.1。让(一种,b)⊆R是一个开区间并且让H:(一种,b)→R, F:(一种,b)→R是连续函数。让p∈(一种,b)并假设dH/dX存在且等于F(X)对全部X∈(一种,b)∖p. 请参见图 2.2。然后(dH/dX)(p)存在并且(dH/dX)(X)=F(X)对全部X∈(一种,b).

证明。证明紧凑子区间上的结果就足够了[一种,b]的(一种,b)包含p在它的内部。放
ķ(X)=H(一种)+∫一种XF(吨)d吨
然后ķ′(X)存在于所有[一种,b]和ķ′(X)=F(X)双方[一种,p)和(p,b]. 因此ķ和H每个半开区间的常数不同。由于这两个函数在所有[一种,b], 它遵循ķ−H对所有都是恒定的[一种,b]. 自从(ķ−H)(一种)=0, 它遵循ķ≡H.

定理 2.3.2。让在⊆C是一个开放的矩形或开放的圆盘,让磷∈在. 让F和G是连续的实值函数在是连续可微的在∖磷(请注意,此时没有做出可微性假设磷)。进一步假设
∂F∂是=∂G∂X 在 在∖磷
那么存在一个C1功能H:在→R这样
∂H∂X=F,∂H∂是=G
在每一点在(包括点磷)。
证明。正如在定理 1.5.1 的证明中,我们固定一个点(一种0,b0)=一种0+一世b0∈ 在并定义
H(X,是)=∫一种0XF(吨,b0)d吨+∫b0是G(X,s)ds

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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