数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Holomorphic Functions, the Cauchy-Riemann

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复数函数是一个从复数到复数的函数。换句话说,它是一个以复数的一个子集为域,以复数为子域的函数。复数函数通常应该有一个包含复数平面的非空开放子集的域。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
Fundamental Concepts Of Computer System - Kmacims | Education Annex
数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Holomorphic Functions, the Cauchy-Riemann

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Equations, and Harmonic Functions

Functions $f$ which satisfy $(\partial / \partial \bar{z}) f \equiv 0$ are the main concern of complex analysis. We make a precise definition:

Definition 1.4.1. A continuously differentiable $\left(C^{1}\right)$ function $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ defined on an open subset $U$ of $\mathbb{C}$ is said to be holomorphic if
$$
\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=0
$$
at every point of $U$.
Remark: Some books use the word “analytic” instead of “holomorphic.” Still others say “differentiable” or “complex differentiable” instead of “holomorphic.” The use of “analytic” derives from the fact that a holomorphic function has a local power series expansion about each point of its domain. The use of “differentiable” derives from properties related to the CauchyRiemann equations and conformality. These pieces of terminology, and their significance, will all be sorted out as the book develops.

If $f$ is any complex-valued function, then we may write $f=u+i v$, where $u$ and $v$ are real-valued functions. For example,
$$
z^{2}=\left(x^{2}-y^{2}\right)+i(2 x y)
$$
in this example $u=x^{2}-y^{2}$ and $v=2 x y$. The following lemma reformulates Definition $1.4 .1$ in terms of the real and imaginary parts of $f$ :

Lemma 1.4.2. A continuously differentiable function $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ defined on an open subset $U$ of $\mathbb{C}$ is holomorphic if, writing $f(z)=u(x, y)+i v(x, y)$, with $z=x+i y$ and real-valued functions $u$ and $v$, we have that $u$ and $v$ satisfy the equations
$$
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} \quad \text { and } \quad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}
$$
at every point of $U$.
Proof. The assertion follows immediately from the definition of holomorphic function and the formula
$$
\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y}\right)+\frac{i}{2}\left(\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\right)
$$
The equations
$$
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} \quad \text { and } \quad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}
$$
are called the Cauchy-Riemann equations. The proof of the following easy result is left as an exercise for you:

Proposition 1.4.3. If $f: U \rightarrow \mathbb{C}$ is $C^{1}$ and if $f$ satisfies the CauchyRiemann equations, then
$$
\frac{\partial f}{\partial z} \equiv \frac{\partial f}{\partial x} \equiv-i \frac{\partial f}{\partial y}
$$
on $U$.
The Cauchy-Riemann equations suggest a further line of investigation which is of considerable importance. Namely, suppose that $u$ and $v$ are $C^{2}$ functions which satisfy the Cauchy-Riemann equations. Then
$$
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)
$$
and
$$
\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)=-\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)
$$
Exploiting the standard theorem on the equality of mixed partial derivatives $\left(\right.$ that $\left.\partial^{2} v / \partial x \partial y=\partial^{2} v / \partial y \partial x\right)$, we obtain
$$
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0
$$
A similar calculation shows that
$$
\frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} v}{\partial y^{2}}=0
$$
You should check this last equation as an exercise.

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Real and Holomorphic Antiderivatives

In this section we want to treat in greater generality the question of whether a real-valued harmonic function $u$ is the real part of a holomorphic function $F$. Notice that if we write $F=u+i v$, then the Cauchy-Riemann equations say that
$$
\begin{aligned}
&\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y} \
&\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x}
\end{aligned}
$$
In short, once $u$ is given, then $\partial v / \partial x$ and $\partial v / \partial y$ are completely determined. These in turn determine $v$ up to an additive constant. Thus determining the existence of $v$ (and hence of $F$ ) amounts to solving a familiar problem of multivariable calculus: Given two functions $f$ and $g$ (in this case $-\partial u / \partial y$ and $\partial u / \partial x$, respectively), can we find a function $v$ such that $\partial v / \partial x=f$ and $\partial v / \partial y=g$ ?

A partial solution to this problem is given by the following theorem. We shall see later that the practice, begun in this theorem, of restricting consideration to functions defined on rectangles is not simply a convenience. In fact, the next theorem would actually be false if we considered functions defined on arbitrary open sets in $\mathbb{C}$ (see Exercise 52 ).
Theorem 1.5.1. If $f, g$ are $C^{1}$ functions on the rectangle
$$
\mathcal{R}=\left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}:|x-a|<\delta,|y-b|<\epsilon\right}
$$
and if
$$
\frac{\partial f}{\partial y} \equiv \frac{\partial g}{\partial x} \quad \text { on } \mathcal{R}
$$
then there is a function $h \in C^{2}(\mathcal{R})$ such that
$$
\frac{\partial h}{\partial x} \equiv f \quad \text { and } \quad \frac{\partial h}{\partial y} \equiv g
$$
on $\mathcal{R}$. If $f$ and $g$ are real-valued, then we may take $h$ to be real-valued also.
Proof. For $(x, y) \in \mathcal{R}$, set
$$
h(x, y)=\int_{a}^{x} f(t, b) d t+\int_{b}^{y} g(x, s) d s .
$$
By the fundamental theorem of calculus,
$$
\frac{\partial h}{\partial y}(x, y)=g(x, y)
$$

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|This is half of our resul

This is half of our result. To calculate $\partial h / \partial x$, notice that, by the fundamental theorem of calculus,
$$
\frac{\partial}{\partial x} \int_{a}^{x} f(t, b) d t=f(x, b) .
$$
Moreover, since $g$ is $C^{1}$, the theorem on differentiation under the integral sign (see Appendix A) guarantees that
$$
\frac{\partial}{\partial x} \int_{b}^{y} g(x, s) d s=\int_{b}^{y} \frac{\partial}{\partial x} g(x, s) d s,
$$
which by (1.5.1.1)
$$
\begin{aligned}
&=\int_{b}^{y} \frac{\partial}{\partial y} f(x, s) d s \
&=f(x, y)-f(x, b)
\end{aligned}
$$
(by the fundamental theorem of calculus). Now (1.5.1.2)-(1.5.1.4) give that $\partial h / \partial x=f$. Since
$$
\begin{aligned}
&\frac{\partial h}{\partial x}=f \in C^{1}(\mathcal{R}) \
&\frac{\partial h}{\partial y}=g \in C^{1}(\mathcal{R})
\end{aligned}
$$
we see that $h \in C^{2}(\mathcal{R})$. It is clear from (1.5.1.2) that $h$ is real-valued if $f$ and $g$ are.

It is worth noting that, while we constructed $h$ using integrals beginning at $(a, b)$ (the coordinates of the center of the square), we could have used any $\left(a_{0}, b_{0}\right) \in \mathcal{R}$ as our base point. This changes $h$ only by an additive constant. Note also that Theorem $1.5 .1$ holds for $\mathcal{R}$ an open disc: The only special property needed for the proof is that for some fixed point $P_{0} \in \mathcal{R}$ and for any point $Q \in \mathcal{R}$ the horizontal-vertical path from $P_{0}$ to $Q$ lies in $\mathcal{R}$. This property holds for the disc if we choose $P_{0}$ to be the center.

Corollary 1.5.2. If $\mathcal{R}$ is an open rectangle (or open disc) and if $u$ is a real-valued harmonic function on $\mathcal{R}$, then there is a holomorphic function $F$ on $\mathcal{R}$ such that $\operatorname{Re} F=u$.
Proof. Notice that
$$
f=-\frac{\partial u}{\partial y}, \quad g=\frac{\partial u}{\partial x}
$$
satisfy
$$
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial g}{\partial x} \quad \text { on } \mathcal{R}
$$

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复变函数代写

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Equations, and Harmonic Functions

职能F满足(∂/∂和¯)F≡0是复分析的主要关注点。我们做一个准确的定义:

定义 1.4.1。连续可微(C1)功能F:在→C在开放子集上定义在的C据说是全纯的,如果
∂F∂和¯=0
在每一点在.
备注:有些书使用“分析”一词而不是“全纯”。还有一些人说“可微”或“复可微”而不是“全纯”。“解析”的使用源于这样一个事实,即全纯函数在其域的每个点上都有一个局部幂级数展开。“可微分”的使用源于与 CauchyRiemann 方程和保形性相关的属性。随着本书的发展,这些术语及其意义都将被整理出来。

如果F是任何复值函数,那么我们可以写F=在+一世在, 在哪里在和在是实值函数。例如,
和2=(X2−是2)+一世(2X是)
在这个例子中在=X2−是2和在=2X是. 以下引理重新表述了定义1.4.1就实部和虚部而言F :

引理 1.4.2。连续可微函数F:在→C在开放子集上定义在的C是全纯的,如果,写作F(和)=在(X,是)+一世在(X,是), 和和=X+一世是和实值函数在和在, 我们有在和在满足方程
∂在∂X=∂在∂是 和 ∂在∂是=−∂在∂X
在每一点在.
证明。断言直接来自全纯函数的定义和公式
∂F∂和¯=12(∂在∂X−∂在∂是)+一世2(∂在∂X+∂在∂是)
方程
∂在∂X=∂在∂是 和 ∂在∂是=−∂在∂X
称为柯西-黎曼方程。以下简单结果的证明留给您作为练习:

命题 1.4.3。如果F:在→C是C1而如果F满足 CauchyRiemann 方程,则
∂F∂和≡∂F∂X≡−一世∂F∂是
在在.
Cauchy-Riemann 方程提出了一个相当重要的进一步研究方向。即,假设在和在是C2满足 Cauchy-Riemann 方程的函数。然后
∂∂X(∂在∂X)=∂∂X(∂在∂是)

∂∂是(∂在∂是)=−∂∂是(∂在∂X)
利用混合偏导数等式的标准定理(那∂2在/∂X∂是=∂2在/∂是∂X), 我们获得
∂2在∂X2+∂2在∂是2=0
类似的计算表明
∂2在∂X2+∂2在∂是2=0
您应该检查最后一个等式作为练习。

数学代写|复变函数作业代写Complex function代考|Real and Holomorphic Antiderivatives

在本节中,我们要更一般地处理实值调和函数是否在是全纯函数的实部F. 请注意,如果我们写F=在+一世在, 那么柯西-黎曼方程说
∂在∂X=−∂在∂是 ∂在∂是=∂在∂X
简而言之,一次在给出,那么∂在/∂X和∂在/∂是是完全确定的。这些反过来决定在直到一个附加常数。从而确定存在在(因此F) 相当于解决了一个熟悉的多变量微积分问题:给定两个函数F和G(在这种情况下−∂在/∂是和∂在/∂X,分别),我们能找到一个函数在这样∂在/∂X=F和∂在/∂是=G ?

下面的定理给出了这个问题的部分解决方案。稍后我们将看到,从这个定理开始的将考虑限制在矩形上定义的函数的实践不仅仅是一种方便。事实上,如果我们考虑定义在任意开集上的函数,下一个定理实际上是错误的C(见习题 52)。
定理 1.5.1。如果F,G是C1矩形上的函数
\mathcal{R}=\left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}:|xa|<\delta,|yb|<\epsilon\right}\mathcal{R}=\left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}:|xa|<\delta,|yb|<\epsilon\right}
而如果
∂F∂是≡∂G∂X 在 R
然后有一个功能H∈C2(R)这样
∂H∂X≡F 和 ∂H∂是≡G
在R. 如果F和G是实值的,那么我们可以取H也被实值估价。
证明。为了(X,是)∈R, 放
H(X,是)=∫一种XF(吨,b)d吨+∫b是G(X,s)ds.
根据微积分基本定理,
∂H∂是(X,是)=G(X,是)

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这是我们结果的一半。计算∂H/∂X,请注意,根据微积分基本定理,
∂∂X∫一种XF(吨,b)d吨=F(X,b).
此外,由于G是C1, 积分符号下的微分定理(见附录 A)保证
∂∂X∫b是G(X,s)ds=∫b是∂∂XG(X,s)ds,
由(1.5.1.1)
=∫b是∂∂是F(X,s)ds =F(X,是)−F(X,b)
(由微积分基本定理)。现在 (1.5.1.2)-(1.5.1.4) 给出∂H/∂X=F. 自从
∂H∂X=F∈C1(R) ∂H∂是=G∈C1(R)
我们看到H∈C2(R). 从 (1.5.1.2) 可以清楚地看出H是实值的,如果F和G是。

值得注意的是,虽然我们构建H使用从开始的积分(一种,b)(正方形中心的坐标),我们可以使用任何(一种0,b0)∈R作为我们的基点。这改变了H仅由一个附加常数。还要注意定理1.5.1为R一个开圆盘:证明所需的唯一特殊性质是对于某个不动点磷0∈R对于任何一点问∈R从水平垂直路径磷0到问在于R. 如果我们选择,此属性适用于光盘磷0成为中心。

推论 1.5.2。如果R是一个开放的矩形(或开放的圆盘),如果在是一个实值调和函数R, 那么有一个全纯函数F在R这样关于⁡F=在.
证明。请注意
F=−∂在∂是,G=∂在∂X
满足
∂F∂是=∂G∂X 在 R

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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