### 数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|KMA321

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## 数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|The Least Upper Bound Property

In this section, we will consider the concept of the least upper bound of a set and introduce the least upper bound or supremum property of the real numbers $\mathbb{R}$. Prior to introducing these new ideas we briefly review the algebraic and order properties of $\mathbb{Q}$ and $\mathbb{R}$.

Both the rational numbers $\mathbb{Q}$ and the real numbers $\mathbb{R}$ are algebraic systems known as fields. The key facts about a field which we need to know is that it is a set $\mathbb{F}$ with two operations, addition $(+)$ and multiplication $(\cdot)$, which satisfy the following axioms:

1. If $a, b \in \mathbb{F}$, then $a+b \in \mathbb{F}$ and $a \cdot b \in \mathbb{F}$.
2. The operations are commutative; that is, for all $a, b \in \mathbb{F}$
$$a+b=b+a \quad \text { and } \quad a \cdot b=b \cdot a .$$
3. The operations are associative; that is, for all $a, b, c \in \mathbb{F}$,
$$a+(b+c)=(a+b)+c \quad \text { and } \quad a \cdot(b \cdot c)=(a \cdot b) \cdot c .$$
4. There exists an element $0 \in \mathbb{F}$ such that $a+0=a$ for every $a \in \mathbb{F}$.
5. Every $a \in \mathbb{F}$ has an additive inverse; that is, there exists an element $-a$ in $\mathbb{F}$ such that
$$a+(-a)=0 .$$
6. There exists an element $1 \in \mathbb{F}$ with $1 \neq 0$ such that $a \cdot 1=a$ for all $a \in \mathbb{F}$.
7. Every $a \in \mathbb{F}$ with $a \neq 0$ has a multiplicative inverse; that is, there exists an element $a^{-1}$ in $\mathbb{F}$ such that
$$a \cdot a^{-1}=1 .$$
8. The operation of multiplication is distributive over addition; that is, for all $a, b, c \in \mathbb{F}$,
$$a \cdot(b+c)=a \cdot b+a \cdot c .$$

## 数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Consequences of the Least Upper Bound Property

In this section, we look at a number of elementary properties of the real numbers which in more elementary courses are usually always taken for granted. As we will see however, these are all actually consequences of the least upper bound property of the real numbers.

THEOREM 1.5.1 (Archimedian Property) If $x, y \in \mathbb{R}$ and $x>0$, then there exists a positive integer $n$ such that
$$n x>y .$$
Proof. If $y \leq 0$, then the result is true for all $n$. Thus assume that $y>0$. We will again use the method of proof by contradiction. Let
$$A={n x: n \in \mathbb{N}}$$
If the result is false, that is, there does not exist an $n \in \mathbb{N}$ such that $n x>y$, then $n x \leq y$ for all $n \in \mathbb{N}$. Thus $y$ is an upper bound for $A$. Thus since $A \neq \emptyset$, $A$ has a least upper bound in $\mathbb{R}$. Let $\alpha=\sup A$. Since $x>0, \alpha-x<\alpha$. Therefore $\alpha-x$ is not an upper bound and thus there exists an element of $A$, say $m x$ such that $$\alpha-xy. Remark. One way in which the previous result is often used is as follows: given \epsilon>0, there exists a positive integer n_{o} such that n_{o} \epsilon>1. As a consequence,$$
\frac{1}{n}<\epsilon
$$for all integers n, n \geq n_{o}. ## 实分析代写 ## 数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|The Least Upper Bound Property 在本节中，我们将考虑集合的最小上界的概念，并介绍实数的最小上界或上确界 \mathbb{R}. 在介绍这些新思想之前，我们 简要回顾一下 \mathbb{Q} 和 \mathbb{R}. 两个有理数 \mathbb{Q} 和实数 \mathbb{R} 是称为域的代数系统。我们需要知道的关于一个字段的关键事实是它是一个集合 \mathbb{F} 有两个操 作，加法 (+) 和乘法 (\cdot) ，满足以下公理： 1. 如果 a, b \in \mathbb{F} ， 然后 a+b \in \mathbb{F} 和 a \cdot b \in \mathbb{F}. 2. 操作是可交换的；也就是说，对于所有人 a, b \in \mathbb{F}$$
a+b=b+a \quad \text { and } \quad a \cdot b=b \cdot a .
$$3. 这些操作是关联的；也就是说，对于所有人 a, b, c \in \mathbb{F} ，$$
a+(b+c)=(a+b)+c \quad \text { and } \quad a \cdot(b \cdot c)=(a \cdot b) \cdot c .
$$4. 存在一个元素 0 \in \mathbb{F} 这样 a+0=a 对于每个 a \in \mathbb{F}. 5. 每一个 a \in \mathbb{F} 有一个加法逆; 即存在一个元素 -a 在 \mathbb{F} 这样$$
a+(-a)=0 .
$$6. 存在一个元素 1 \in \mathbb{F} 和 1 \neq 0 这样 a \cdot 1=a 对所有人 a \in \mathbb{F}. 7. 每一个 a \in \mathbb{F} 和 a \neq 0 有一个乘法逆元；即存在一个元素 a^{-1} 在 \mathbb{F} 这样$$
a \cdot a^{-1}=1 \text {. }
$$8. 乘法的运算是对加法的分配；也就是说，对于所有人 a, b, c \in \mathbb{F} ，$$
a \cdot(b+c)=a \cdot b+a \cdot c .
$$## 数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Consequences of the Least Upper Bound Property 在本节中，我们将研究实数的一些基本性质，这些性质在更基础的课程中通常被认为是理所当然的。然而，正如 我们将看到的，这些实际上都是实数的最小上界性质的结果。 定理 1.5 .1 (阿基米德性质) 如果 x, y \in \mathbb{R} 和 x>0 ，则存在一个正整数 n 这样$$
n x>y .
$$证明。如果 y \leq 0 ，那么结果对所有人都是正确的 n. 因此假设 y>0. 我们将再次使用反证法。让$$
A=n x: n \in \mathbb{N}
$$如果结果为假，即不存在 n \in \mathbb{N} 这样 n x>y ，然后 n x \leq y 对所有人 n \in \mathbb{N}. 因此 y 是一个上限 A. 因此自从 A \neq \emptyset, A 在 \mathbb{R}. 让 \alpha=\sup A. 自从 x>0, \alpha-x<\alpha. 所以 \alpha-x 不是上限，因此存在一个元素 A ，说 m x 这 样 \ \$$ 、alpha-xy\$。 评论。经常使用先前结果的一种方式如下：给定$\epsilon>0$， 存在一个正整数$n_{o}$这样$n_{o} \epsilon>1$. 作为结果， $$\frac{1}{n}<\epsilon$$ 对于所有整数$n, n \geq n_{o}\$.

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