数学代写|实变函数作业代写Real analysis代考|Course 18

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数学代写|实变函数作业代写Real analysis代考|Mathematical Induction

We begin our study of analysis by looking at a powerful tool for proving certain types of propositions: the Principle of Mathematical Induction;
Theorem 2.1.1 The Principle of Mathematical Induction
For each natural number $n$, let $P(n)$ be a statement or proposition about the numbers $n$.

• If $P(1)$ is true: This is called the BASIS STEP
• If $P(k+1)$ is true when $P(k)$ is true: This is called the INDUCTIVE STEP then we can conclude $P(n)$ is true for all natural numbers $n$.
A proof using the POMI is organized as follows:
Proof 2.1.1
State the Proposition Proof: BASIS Verify $P(1)$ is true
INDUCTIVE
Assume $P(k)$ is true for arbitrary $k>1$ and use that information to prove $P(k+1)$ is true.
We have verified the inductive step. Hence, by the POMI, $P(n)$ holds for all $n$.
QED
You must include this finishing statement as part of your proof and show the QED as above. Here QED is an abbreviation for the Latin Quod Erat Demonstratum or that which was to be shown. We often use the symbol $\mathbf{\text { instead of QED. }}$

Note, the natural numbers or counting numbers are usually denoted by the symbol $\mathbb{N}$. The set of all integers, positive, negative and zero is denoted by $\mathbb{Z}$ and the real numbers is denoted by $\Re$ or $\mathbb{R}$. There are many alternative versions of this. One useful one is this:

Theorem 2.1.2 The Principle of Mathematical Induction II
For each natural number $n$, let $P(n)$ be a statement or proposition about the numbers $n$. If

• If there is a number $n_{0}$ so that $P\left(n_{0}\right)$ is true:
BASIS STEP
• If $P(k+1)$ is true when $P(k)$ is true for all $k \geq n_{0}$ :
INDUCTIVE STEP
then we can conclude $P(n)$ is true for all natural numbers $n \geq n_{0}$.

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Let’s work out some of these type arguments.
Theorem $2.2 .1$
$$1+2+3+\cdots+n=\frac{1}{2} n(n+1), \quad \forall n \geq 1$$
Proof 2.2.1
BASIS: $P(1)$ is the statement $1=\frac{1}{2}(1)(2)=1$ which is true. So the basis step is verified.

INDUCTIVE. We assume $P(k)$ is true for an arbitrary $k>1$. Hence, we know
$$1+2+3+\cdots+k=\frac{1}{2} k(k+1)$$
Now look at $P(k+1)$. We note
$$1+2+3+\cdots+(k+1)={1+2+3+\cdots+k}+(k+1)$$
Now apply the induction hypothesis and let $1+2+3+\cdots+k=\frac{1}{2} k(k+1)$ We find
$$1+2+3+\cdots+(k+1)=\frac{1}{2} k(k+1)+(k+1)=(k+1)\left{\frac{1}{2} k+1\right}=\frac{1}{2}(k+1)(k+2)$$
This is precisely the statement $P(k+1)$. Thus $P(k+1)$ is true and we have verified the inductive step. Hence, by the POMI, $P(n)$ holds for all $n$.

Recall when you first encountered Riemann integration, you probably looked at taking the limit of Riemann sums using right side partitions. So for example, for $f(x)=2+x$ on the interval $[0,1]$ using a partition width of $\frac{1}{n}$, the Riemann sum is
$$\sum_{i=1}^{n} f\left(0+\frac{i}{n}\right) \frac{1}{n}=\sum_{i=1}^{n}\left(2+\frac{i}{n}\right) \frac{1}{n}=\frac{2}{n} \sum_{i=1}^{n} 1+\frac{1}{n^{2}} \sum_{i=1}^{n} i$$
The first sum, $\sum_{i=1}^{n} 1=n$ and so the first term is $2 \frac{n}{n}=2$. To evaluate the second term, we use our formula from above: $\sum_{i=1}^{n} i=\frac{1}{2} n(n+1)$ and so the second term becomes $\frac{n(n+1)}{2 n n}$ which simplifies to $\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{n}\right)$. So the Riemann sum here is $2+\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{n}\right)$ which as $n$ gets large clearly approaches the value $2.5$. The terms $2.5+\frac{1}{2 n}$ form what is called a sequence and the limit of this sequence is 2.5. We will talk about this a lot more later. From your earlier calculus courses, you know
$$\int_{0}^{1}(2+x) d x=\left.\left(2 x+\frac{1}{2} x^{2}\right)\right|_{0} ^{1}=2+\frac{1}{2} .$$
which matches what we found with the Riemann sum limit. In later chapters, we discuss the theory of Riemann integration much more carefully, so consider this just a taste of that kind of theory!

数学代写|实变函数作业代写Real analysis代考|Mathematical Induction

n， 让磷(n)是关于数字的陈述或命题n.

• 如果磷(1)是真的：这被称为基础步骤
• 如果磷(ķ+1)是真的磷(ķ)是真的：这被称为归纳步骤然后我们可以得出结论磷(n)对所有自然数都成立n.
使用 POMI 的证明组织如下：
证明 2.1.1
陈述命题证明：基础验证磷(1)是真的
归纳
假设磷(ķ)任意为真ķ>1并使用该信息来证明磷(ķ+1)是真的。
我们已经验证了归纳步骤。因此，通过 POMI，磷(n)适用于所有人n.
QED
您必须将此完成声明作为证明的一部分，并按上述方式出示 QED。这里的 QED 是拉丁语 Quod Erat Demonstratum 或将要显示的内容的缩写。我们经常使用符号 而不是 QED。

• 如果有号码n0以便磷(n0)是真的：
基础步骤
• 如果磷(ķ+1)是真的磷(ķ)对所有人都是正确的ķ≥n0:
归纳步骤
然后我们可以得出结论磷(n)对所有自然数都成立n≥n0.

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$$1+2+3+\cdots+n=\frac{1}{2} n(n+1), \quad \forall n \geq 1$$

$$1+2+3+\cdots+k=\frac{1}{2} k(k+1)$$

$$1+2+3+\cdots+(k+1)=1+2+3+\cdots+k+(k+1)$$

$$\sum_{i=1}^{n} f\left(0+\frac{i}{n}\right) \frac{1}{n}=\sum_{i=1}^{n}\left(2+\frac{i}{n}\right) \frac{1}{n}=\frac{2}{n} \sum_{i=1}^{n} 1+\frac{1}{n^{2}} \sum_{i=1}^{n} i$$

$\sum_{i=1}^{n} i=\frac{1}{2} n(n+1)$ 所以第二项变成 $\frac{n(n+1)}{2 n n}$ 这简化为 $\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{n}\right)$. 所以这里的黎曼和是 $2+\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{n}\right)$ 作为 $n$ 变大明显接近价值 $2.5$. 条款 $2.5+\frac{1}{2 n}$ 形成所谓的序列，这个序列的极限是 2.5。我们稍后会更多地讨论这个问 题。从你早期的微积分课程中，你知道
$$\int_{0}^{1}(2+x) d x=\left.\left(2 x+\frac{1}{2} x^{2}\right)\right|_{0} ^{1}=2+\frac{1}{2}$$

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MATLAB代写

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