数学代写|实变函数作业代写Real analysis代考|MTH 408

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Another type of proof is one that is done by contradiction.
Theorem 2.4.1 $\sqrt{2}$ is not a Rational Number
$\sqrt{2}$ is not a rational number:
Proof 2.4.1
We will prove this technique using a technique called contradiction. Let’s assume we can find positive integers $p$ and $q$ so that $2=(p / q)^{2}$ with $p$ and $q$ having no common factors. When this happens we say $p$ and $q$ are relatively prime. This tells us $p^{2}=2 q^{2}$ which also tells us $p^{2}$ is divisible by 2. Thus, $p^{2}$ is even. Does this mean $p$ itself is even? Well, if $p$ was odd, we could write $p=2 \ell+1$ for some integer $\ell$. Then, we would know
$$p^{2}=(2 \ell+1)^{2}=4 \ell^{2}+4 \ell+1 .$$
The first two terms, $4 \ell^{2}$ and $4 \ell$ are even, so this implies $p^{2}$ would be odd. So we see $p$ odd implies $p^{2}$ is odd. Thus, we see $p$ must be even when $p^{2}$ is even. So we now know $p=2 k$ for some integer $k$ as it is even. But since $p^{2}=2 q^{2}$, we must have $4 k^{2}=2 q^{2}$. But this says $q^{2}$ must be even.

The same reasoning we just used to show $p$ odd implies $p^{2}$ is odd, then tells us $q$ odd implies $q^{2}$ is odd. Thus $q$ is even too.

Now here is the contradiction. We assumed $p$ and $q$ were relatively prime; i.e. they had no common factors. But if they are both even, they share the factor 2 . This is the contradiction we seek.

数学代写|实变函数作业代写Real analysis代考|Triangle Inequalities

Now let’s study some of the properties of the real numbers.
Definition 2.5.1 Absolute Values
Let $x$ be any real number. We define the absolute value of $x$, denoted by $|x|$, by
$$|x|=\left{\begin{array}{cc} x, & \text { if } x \geq 0 \ -x, & \text { if } x<0 . \end{array}\right.$$
For example, $|-3|=3$ and $|4|=4$.
Using this definition of the absolute value of a number, we can prove a fundamental inequality called the triangle inequality which we will use frequently to do estimates.
Theorem 2.5.1 Triangle Inequality
Let $x$ and $y$ be any two real numbers. Then
\begin{aligned} &|x+y| \leq|x|+|y| \ &|x-y| \leq|x|+|y| \end{aligned}
and for any number $z$.
$$|x-y| \leq|x-z|+|z-y|$$
Proof 2.5.1
We know $(|x+y|)^{2}=(x+y)^{2}$ which implies $(|x+y|)^{2}=x^{2}+2 x y+y^{2}$. But $2 x y \leq 2|x | y|$ implying
$$(|x+y|)^{2} \leq x^{2}+2|x||y|+y^{2}=|x|^{2}+2|x||y|+|y|^{2}=(|x|+|y|)^{2} .$$
Taking square roots, we find $|x+y| \leq|x|+|y|$. Of course, the argument for $x-y$ is similar as $x-y=x+(-y)$. To do the next part, we know $|a+b| \leq|a|+|b|$ for any $a$ and $b$. Let $a=x-z$ and $b=z-y$. Then $|(x-z)+(z-y)| \leq|x-z|+|z-y|$.

Comment 2.5.1 The technique where we do $x-y=(x-z)+(z-y)$ is called the Add and Subtract Trick and we will use it a lot!

实变函数代写

$\sqrt{2}$ 不是有理数:

$p^{2}$ 甚至。意思是不是 $p$ 本身是偶数? 好吧，如果 $p$ 很奇怪，我们可以写 $p=2 \ell+1$ 对于某个整数 $\ell$. 那么，我们就会 知道
$$p^{2}=(2 \ell+1)^{2}=4 \ell^{2}+4 \ell+1$$

数学代写|实变函数作业代写Real analysis代考|Triangle Inequalities

Let $x$ 是任何实数。我们定义的绝对值 $x$ ，表示为 $|x|$ ，由
$\$ \$$|x|=\operatorname{left}{ x, \quad if x \geq 0-x, \quad if x<0 正确的。 Forexample, \|-3|=3 \ a n d \|4|=4 \$$ Usingthisde finitionoftheabsolutevalueofanumber, wecan
$$|x+y| \leq|x|+|y| \quad|x-y| \leq|x|+|y|$$
and foranynumber $\$ z \$$. |x y| \operatorname{leq}|x z|+|z y| Proof 2.5.1Weknow \(|x+y|)^{2}=(x+y)^{2} \$$ whichimplies $\$(|x+y|)^{2}=x^{2}+2 x y+y^{2} \$.$ But $\$ 2 x y \leq(|x+y|)^{\wedge}{2} \wedge$leq$x \wedge{2}+2|x||y|+y \wedge{2}=|x| \wedge{2}+2|x||y|+|y| \wedge{2}=(|x|+|y|)^{\wedge}{2}$。$\$\$$取平方根，我们发现$|x+y| \leq|x|+|y|$. 当然，论据$x-y$类似于$x-y=x+(-y)$. 做下一部分，我们知道$|a+b| \leq|a|+|b|$对于任何$a$和$b$. 让$a=x-z$和$b=z-y$. 然后$|(x-z)+(z-y)| \leq|x-z|+|z-y|$评论$2.5 .1$我们所做的技术$x-y=(x-z)+(z-y)\$ 被称为加减法，我们会经常使用它!

有限元方法代写

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MATLAB代写

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