数学代写|实变函数作业代写Real analysis代考|The Supremum and Infimum of a Set of Real Numbers

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实变函数是分析学的一个领域,研究诸如序列及其极限、连续性、微分、积分和函数序列的概念。根据定义,实分析侧重于实数,通常包括正负无穷大,以形成扩展实线。

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|实变函数作业代写Real analysis代考|The Supremum and Infimum of a Set of Real Numbers

数学代写|实变函数作业代写Real analysis代考|Bounded Sets

First, we start with a set being bounded above.
Definition 2.6.1 Sets Bounded Above
We say a nonempty set $S$ is bounded above if there is a number $M$ so that $x \leq M$ for all $x$ in $S$. We call $M$ an upper bound of $S$ or just an u.b.

Example 2.6.1 If $S=\left{y: y=x^{2}\right.$ and $\left.-1 \leq x \leq 2\right}$, there are many u.b.’s of $S$. Some choices are $M=5, M=4.1$. Note $M=1.9$ is not an u.b. You should draw a graph of this to help you understand what is going on.

Example 2.6.2 If $S={y: y=\tanh (x)$ and $x \in \Re}$, there are many u.b.’s of S. Some choices are $M=2, M=2.1$. Note $M=0$ is not an u.b. Draw a picture of this graph too.
We can also talk about a set being bounded below.
Definition 2.6.2 Sets Bounded Below
We say a set $S$ is bounded below if there is a number $m$ so that $x \geq m$ for all $x$ in $S$. We call $m$ a lower bound of $S$ or just $a$ l.b.
Example 2.6.3 If $S=\left{y: y=x^{2}\right.$ and $\left.-1 \leq x \leq 2\right}$, there are many l.b.’s of $S$. Some choices are $m=-2, m=-0.1$. Note $m=0.3$ is not a l.b.

Example 2.6.4 If $S={y: y=\tanh (x)$ and $x \in \Re}$, there are many l.b.’s of S. Some choices are $m=-1.1, m=-1.05$. Note $m=-0.87$ is not $a$ l.b. Draw a picture of this graph again.
We can then combine these ideas into a definition of what it means for a set to be bounded.
Definition 2.6.3 Bounded Sets
We say a set $S$ is bounded if $S$ is bounded above and bounded below. That is, there are finite numbers $m$ and $M$ so that $m \leq x \leq M$ for all $x \in S$. We usually overestimate the bound even more and say $S$ is bounded if we can find a number $B$ so that $|x| \leq B$ for all $x \in S$. A good choice of such $a B$ is to let $B=\max (|m|,|M|)$ for any choice of l.b. $m$ and u.b. $M$.
Example 2.6.5 If $S=\left{y: y=x^{2}\right.$ and $\left.-1 \leq x<2\right}$, here $S=[0,4)$ and so for $m=-2$ and $M=5$, a choice of $B$ is $B=5$. Of course, there are many other choices of $B$. Another choice of $m$ is $m=-1.05$ and with $M=2.1$, we could use $B=2.1$.

Example 2.6.6 If $S={y: y=\tanh (x)$ and $x \in \Re}$, we have $S=(-1,1)$ and for $m=-1.1$ and $M=1.2$, a choice of $B$ is $B=1.2$.

数学代写|实变函数作业代写Real analysis代考|Least Upper Bounds and Greatest Lower Bounds

The next material is more abstract! We need to introduce the notion of least upper bound and greatest lower bound. We also call the least upper bound the l.u.b. It is also called the supremum of the set $S$. We use the notation $\sup (S)$ as well. We also call the greatest lower bound the g.l.b. It is also called the infimum of the set $S$. We use the notation $\inf (S)$ as well.
Definition 2.6.4 Least Upper Bound and Greatest Lower Bound
The least upper bound, l.u.b. or sup of the set $S$ is a number $U$ satisfying

  1. $U$ is an upper bound of $S$
  2. If $M$ is any other upper bound of $S$, then $U \leq M$.
    The greatest lower bound, g.l.b. or inf of the set $S$ is a number u satisfying
  3. $u$ is a lower bound of $S$
  4. If $m$ is any other lower bound of $S$, then $u \geq m$.

Example 2.6.7 If $S=\left{y: y=x^{2}\right.$ and $\left.-1 \leq x<2\right}$, here $S=[0,4)$ and so inf $(S)=0$ and $\sup (S)=4$

Example 2.6.8 If $S={y: y=\tanh (x)$ and $x \in \Re}$, we have $\inf (S)=-1$ and $\sup (S)=1$. Note the inf and sup of a set $S$ need NOT be in $S$ !

Example 2.6.9 If $S={y: \cos (2 n \pi / 3), \quad \forall n \in \mathbb{N}}$, The only possible values in $S$ are $\cos (2 \pi / 3)=$ $-1 / 2, \cos (4 \pi / 3)=-1 / 2$, and $\cos (6 \pi / 3)=1$. There are no other values and these 2 values are endlessly repeated in a cycle. Here $\inf (S)=-1 / 2$ and $\sup (S)=1$.

Comment 2.6.1 If a set $S$ has no finite lower bound, we set $\inf (S)=-\infty$. If a set $S$ has no finite upper bound, we set $\sup (S)=\infty$.
Comment 2.6.2 If the set $S=0$, we set $\inf (S)=\infty$ and $\sup (S)=-\infty$.
These ideas then lead to the notion of the minimum and maximum of a set.
Definition 2.6.5 Maximum and Minimum of a Set
We say $Q \in S$ is a maximum of $S$ if $\sup (S)=Q$. This is the same, of course, as saying $x \leq Q$ for all $x$ in $S$ which is the usual definition of an upper bound. But this is different as $Q$ is in $S$. We call $Q$ a maximizer or a maximum element of $S$.
We say $q \in S$ is a minimum of $S$ if $\inf (S)=q$. Again, this is the same as saying $x \geq q$ for all $x$ in $S$ which is the usual definition of a lower bound. But this is different as $q$ is in $S$.
We call $q$ a minimizer or a minimal element of $S$.

数学代写|实变函数作业代写Real analysis代考|The Completeness Axiom and Consequences

There is a fundamental axiom about the behavior of the real numbers which is very important.
Axiom 1 The Completeness Axiom
Let $S$ be a set of real numbers which is nonempty and bounded above. Then the supremum of $S$ exists and is finite.
Let $S$ be a set of real numbers which is nonempty and bounded below. Then the infimum of $S$ exists and is finite.
Comment 2.6.3 So nonempty bounded sets of real numbers always have a finite infimum and supremum. This does not say the set has a finite minimum and finite maximum. Another way of saying this is that we don’t know if $S$ has a minimizer and maximizer.
We can prove some basic results about these things.
Theorem 2.6.1 A Set has a Maximum if and only if its Supremum is in the Set
Let $S$ be a nonempty set of real numbers which is bounded above. Then $\sup (S)$ exists and is finite. Then $S$ has a maximal element if and only if $(I F F) \sup (S) \in S$. We also use the symbol $\Longleftrightarrow$ to indicate IFF.
Proof 2.6.1
$(\Leftarrow)$ :
Assume $\sup (S)$ is in $S$. By definition, $\sup (S)$ is an upper bound of $S$ and so must satisfy $x \leq \sup (S)$ for all $x$ in $S$. This says $\sup (S)$ is a maximizer of $S$.
$(\Rightarrow)$ :
Let $Q$ denote a maximizer of $S$. Then by definition $x \leq Q$ for all $x$ in $S$ and is an upper bound. So by

the definition of a supremum, $\sup (S) \leq Q$. Since $Q$ is a maximizer, $Q$ is in $S$ and from the definition of upper bound, we have $Q \leq \sup (S)$ as well. This says $\sup (S) \leq Q \leq \sup (S)$ or $\sup (S)=Q$.
Theorem 2.6.2 A Set has a Minimum if and only if its Infimum is in the Set
Let $S$ be a nonempty set of real numbers which is bounded below. Then $\inf (S)$ exists and is finite. Then
$S$ has a minimal element $\Longleftrightarrow \inf (S) \in S$.
Proof 2.6.2
$(\Leftarrow)$ : Assume $\inf (S)$ is in $S$. By definition, $\inf (S)$ is a lower bound of $S$ and so must satisfy $x \geq$ $\inf (S)$ for all $x$ in $S$. This says $\inf (S)$ is a minimizer of $S$.
$(\Rightarrow)$ : Let $q$ denote a minimizer of $S$. Then by definition $x \geq q$ for all $x$ in $S$ and is a lower bound. So by the definition of an infimum, $q \leq \inf (S)$. Since $q$ is a minimizer, $q$ is in $S$ and from the definition of lower bound, we have $\inf (S) \leq q$ as well. This says $\inf (S) \leq q \leq \inf (S)$ or $\inf (S)=q$.

数学代写|实变函数作业代写Real analysis代考|The Supremum and Infimum of a Set of Real Numbers

实变函数代写

数学代写|实变函数作业代写Real analysis代考|Bounded Sets

首先,我们从上面有界的集合开始。
定义 2.6.1 有界
的集合 我们说一个非空集合小号如果有数字,则有界米以便X≤米对全部X在小号. 我们称之为米的上限小号或者只是一个ub

示例 2.6.1 如果S=\left{y: y=x^{2}\right.$ 和 $\left.-1 \leq x \leq 2\right}S=\left{y: y=x^{2}\right.$ 和 $\left.-1 \leq x \leq 2\right},有很多ub的小号. 一些选择是米=5,米=4.1. 笔记米=1.9不是 ub 你应该画一个图表来帮助你理解发生了什么。

示例 2.6.2 如果小号=是:是=腥⁡(X)$一种nd$X∈ℜ, 有很多 ub 的 S. 一些选择是米=2,米=2.1. 笔记米=0不是 ub 也画这张图。
我们也可以在下面讨论一个有界的集合。
定义 2.6.2 有界
的集合 我们说一个集合小号如果有数字,则有界米以便X≥米对全部X在小号. 我们称之为米的下限小号要不就一种lb
示例 2.6.3 如果S=\left{y: y=x^{2}\right.$ 和 $\left.-1 \leq x \leq 2\right}S=\left{y: y=x^{2}\right.$ 和 $\left.-1 \leq x \leq 2\right}, 有很多磅的小号. 一些选择是米=−2,米=−0.1. 笔记米=0.3不是磅

示例 2.6.4 如果小号=是:是=腥⁡(X)$一种nd$X∈ℜ,有很多磅的 S。一些选择是米=−1.1,米=−1.05. 笔记米=−0.87不是一种lb 再画一张这张图。
然后,我们可以将这些想法组合成一个集合有界的定义。
定义 2.6.3 有界集合
我们说一个集合小号有界如果小号上界和下界。也就是说,有有限的数米和米以便米≤X≤米对全部X∈小号. 我们通常会更加高估界限并说小号如果我们能找到一个数字是有界的乙以便|X|≤乙对全部X∈小号. 这样的一个不错的选择一种乙是让乙=最大限度(|米|,|米|)对于任何磅的选择米和 ub米.
示例 2.6.5 如果S=\left{y: y=x^{2}\right.$ 和 $\left.-1 \leq x<2\right}S=\left{y: y=x^{2}\right.$ 和 $\left.-1 \leq x<2\right}, 这里小号=[0,4)等等米=−2和米=5, 的选择乙是乙=5. 当然,还有很多其他的选择乙. 另一种选择米是米=−1.05与米=2.1,我们可以使用乙=2.1.

示例 2.6.6 如果小号=是:是=腥⁡(X)$一种nd$X∈ℜ, 我们有小号=(−1,1)并且对于米=−1.1和米=1.2, 的选择乙是乙=1.2.

数学代写|实变函数作业代写Real analysis代考|Least Upper Bounds and Greatest Lower Bounds

下一个材料更抽象!我们需要引入最小上界和最大下界的概念。我们也称最小上界为 lub 也称为集合的上界小号. 我们使用符号支持(小号)也是。我们也称最大下界为 glb 它也被称为集合的下确界小号. 我们使用符号信息(小号)也是。
定义 2.6.4 最小上界和最大下界
集合的最小上界、lub 或 sup小号是一个数字在令人满意的

  1. 在是一个上限小号
  2. 如果米是的任何其他上界小号, 然后在≤米.
    集合的最大下限、glb 或 inf小号是一个你满意的数字
  3. 在是的下界小号
  4. 如果米是的任何其他下限小号, 然后在≥米.

示例 2.6.7 如果S=\left{y: y=x^{2}\right.$ 和 $\left.-1 \leq x<2\right}S=\left{y: y=x^{2}\right.$ 和 $\left.-1 \leq x<2\right}, 这里小号=[0,4)等等(小号)=0和支持(小号)=4

示例 2.6.8 如果小号=是:是=腥⁡(X)$一种nd$X∈ℜ, 我们有信息(小号)=−1和支持(小号)=1. 注意集合的 inf 和 sup小号不需要在小号 !

示例 2.6.9 如果小号=是:因⁡(2n圆周率/3),∀n∈ñ, 中唯一可能的值小号是因⁡(2圆周率/3)= −1/2,因⁡(4圆周率/3)=−1/2, 和因⁡(6圆周率/3)=1. 没有其他值,这两个值在一个循环中无限重复。这里信息(小号)=−1/2和支持(小号)=1.

注释 2.6.1 如果一个集合小号没有有限的下界,我们设信息(小号)=−∞. 如果一组小号没有有限的上界,我们设支持(小号)=∞.
注释 2.6.2 如果设置小号=0, 我们设置信息(小号)=∞和支持(小号)=−∞.
然后这些想法导致了集合的最小值和最大值的概念。
定义 2.6.5 集合的最大值和最小值
我们说问∈小号是最大的小号如果支持(小号)=问. 这当然是一样的,就像说X≤问对全部X在小号这是上限的通常定义。但这是不同的问在小号. 我们称之为问一个最大化器或一个最大元素小号.
我们说q∈小号是最小的小号如果信息(小号)=q. 同样,这与说X≥q对全部X在小号这是下限的通常定义。但这是不同的q在小号.
我们称之为q最小化器或最小元素小号.

数学代写|实变函数作业代写Real analysis代考|The Completeness Axiom and Consequences

关于实数的行为有一个非常重要的基本公理。
公理 1 完备性公理
让小号是一组非空且有界的实数。那么最高的小号存在并且是有限的。
让小号是一组非空且有界的实数。那么下确界小号存在并且是有限的。
评论 2.6.3 所以非空有界实数集总是有一个有限的下确界和上确界。这并不是说该集合具有有限的最小值和有限的最大值。另一种说法是,我们不知道是否小号有一个最小化器和一个最大化器。
我们可以证明一些关于这些事情的基本结果。
定理 2.6.1 一个集合有一个最大值当且仅当它的上确界在集合
中小号是一个有界的非空实数集。然后支持(小号)存在并且是有限的。然后小号有一个最大元素当且仅当(一世FF)支持(小号)∈小号. 我们也使用符号⟺表示IFF。
证明 2.6.1
(⇐):
假设支持(小号)在小号. 根据定义,支持(小号)是一个上限小号所以必须满足X≤支持(小号)对全部X在小号. 这说支持(小号)是一个最大化者小号.
(⇒):
让问表示一个最大值小号. 然后根据定义X≤问对全部X在小号并且是一个上限。所以通过

上确界的定义,支持(小号)≤问. 自从问是一个最大化者,问在小号从上界的定义,我们有问≤支持(小号)也是。这说支持(小号)≤问≤支持(小号)或者支持(小号)=问.
定理 2.6.2 一个集合有最小值当且仅当它的下确界在集合
Let小号是一组有界的非空实数。然后信息(小号)存在并且是有限的。然后
小号有一个最小元素⟺信息(小号)∈小号.
证明 2.6.2
(⇐): 认为信息(小号)在小号. 根据定义,信息(小号)是的下界小号所以必须满足X≥ 信息(小号)对全部X在小号. 这说信息(小号)是一个极小值小号.
(⇒): 让q表示一个最小化器小号. 然后根据定义X≥q对全部X在小号并且是一个下界。所以根据下确界的定义,q≤信息(小号). 自从q是一个最小化器,q在小号并且根据下界的定义,我们有信息(小号)≤q也是。这说信息(小号)≤q≤信息(小号)或者信息(小号)=q.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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