### 数学代写|实变函数作业代写Real analysis代考|Triangle Inequalities

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## 数学代写|实变函数作业代写Real analysis代考|Absolute Values

Let $x$ be any real number. We define the absolute value of $x$, denoted by $|x|$, by
$$|x|=\left{\begin{array}{cc} x, & \text { if } x \geq 0 \ -x, & \text { if } x<0 \end{array}\right.$$
For example, $|-3|=3$ and $|4|=4$.
Using this definition of the absolute value of a number, we can prove a fundamental inequality called the triangle inequality which we will use frequently to do estimates.
Theorem 2.5.1 Triangle Inequality
Let $x$ and $y$ be any two real numbers. Then
\begin{aligned} &|x+y| \leq|x|+|y| \ &|x-y| \leq|x|+|y| \end{aligned}
and for any number $z$.
$$|x-y| \leq|x-z|+|z-y|$$
Proof 2.5.1
We know $(|x+y|)^{2}=(x+y)^{2}$ which implies $(|x+y|)^{2}=x^{2}+2 x y+y^{2}$. But $2 x y \leq 2|x | y|$ implying
$$(|x+y|)^{2} \leq x^{2}+2|x||y|+y^{2}=|x|^{2}+2|x||y|+|y|^{2}=(|x|+|y|)^{2} .$$
Taking square roots, we find $|x+y| \leq|x|+|y|$. Of course, the argument for $x-y$ is similar as $x-y=x+(-y)$. To do the next part, we know $|a+b| \leq|a|+|b|$ for any $a$ and $b$. Let $a=x-z$ and $b=z-y$. Then $|(x-z)+(z-y)| \leq|x-z|+|z-y|$.

Comment 2.5.1 The technique where we do $x-y=(x-z)+(z-y)$ is called the Add and Subtract Trick and we will use it a lot!

## 数学代写|实变函数作业代写Real analysis代考|A First Look at the Cauchy – Schwartz Inequality

We can use our new tools to provide a first look at something you probably have seen before: the Cauchy – Schwartz Inequality. The $\ell_{2}$ norm of a vector $x$
$$\boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{c} x_{1} \ x_{2} \ \vdots \ x_{n} \end{array}\right]$$
is defined by $|\boldsymbol{x}|=\sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}}$ and if we have two such vectors $\boldsymbol{a}$ and $\boldsymbol{b}$, we can prove this fundamental inequality.
Theorem 2.5.5 $\ell_{2}$ Cauchy – Schwartz Inequality
Let $\left{a_{1}, \ldots, a_{n}\right}$ and $\left{b_{1}, \ldots, b_{n}\right}$ be finite collections of real numbers with $n \geq 1$. Then
$$\left|\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}\right|^{2} \leq\left(\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}\right)\left(\sum_{i=1}^{n} b_{i}^{2}\right)$$
Proof 2.5.5
BASIS: $P(1)$ is the statement $\left|a_{1} b_{1}\right|^{2} \leq a_{1}^{2} b_{1}^{2}$; the basis step is true.
INDUCTIVE. We assume $P(k)$ is true for $k>1$. Hence, we know
$$\left|\sum_{i=1}^{k} a_{i} b_{i}\right|^{2} \leq\left(\sum_{i=1}^{k} a_{i}^{2}\right)\left(\sum_{i=1}^{k} b_{i}^{2}\right)$$

## 数学代写|实变函数作业代写Real analysis代考|PROVING PROPOSITIONS

Now look at $P(k+1)$.
$$\left|\sum_{i=1}^{k+1} a_{i} b_{i}\right|^{2}=\left|\sum_{i=1}^{k} a_{i} b_{i}+a_{k+1} b_{k+1}\right|^{2}$$
Let $A$ denote the first piece; i.e. $A=\sum_{i=1}^{k} a_{i} b_{i}$. Then expanding the term $\left|A+a_{k+1} b_{k+1}\right|^{2}$, we have
\begin{aligned} \left|\sum_{i=1}^{k+1} a_{i} b_{i}\right|^{2} &=\left(\sum_{i=1}^{k+1} a_{i} b_{i}\right)^{2}=A^{2}+2 A a_{k+1} b_{k+1}+a_{k+1}^{2} b_{k+1}^{2} \ &=\left|\sum_{i=1}^{k} a_{i} b_{i}\right|^{2}+2\left(\sum_{i=1}^{k} a_{i} b_{i}\right) a_{k+1} b_{k+1}+a_{k+1}^{2} b_{k+1}^{2} \end{aligned}
or
$$\left|\sum_{i=1}^{k+1} a_{i} b_{i}\right|^{2} \leq\left|\sum_{i=1}^{k} a_{i} b_{i}\right|^{2}+2\left|\sum_{i=1}^{k} a_{i} b_{i}\right| a_{k+1} b_{k+1}+a_{k+1}^{2} b_{k+1}^{2}$$
Now use the induction hypothesis to see
\begin{aligned} \left|\sum_{i=1}^{k+1} a_{i} b_{i}\right|^{2} \leq & \sum_{i=1}^{k} a_{i}^{2} \sum_{i=1}^{k} b_{i}^{2}+2 \sqrt{\sum_{i=1}^{k} a_{i}^{2}} \sqrt{\sum_{i=1}^{k} b_{i}^{2} a_{k+1} b_{k+1}} \ &+a_{k+1}^{2} b_{k+1}^{2} \end{aligned}
Now let $\alpha=\sqrt{\sum_{i=1}^{k} a_{i}^{2}} b_{k+1}$ and $\beta=\sqrt{\sum_{i=1}^{k} b_{i}^{2}} a_{k+1}$. We know for any real numbers $\alpha$ and $\beta$ that $(\alpha-\beta)^{2} \geq 0$. Thus, $\alpha^{2}+\beta^{2} \geq 2 \alpha \beta$. We can use this in our complicated sum above. We have
$2 \alpha \beta=2 \sqrt{\sum_{i=1}^{k} a_{i}^{2}} \sqrt{\sum_{i=1}^{k} b_{i}^{2} a_{k+1} b_{k+1}}$
$\alpha^{2}+\beta^{2}=\left(\sum_{i=1}^{k} a_{i}^{2}\right) b_{k+1}^{2}+\left(\sum_{i=1}^{k} b_{i}^{2}\right) a_{k+1}^{2}$
Hence, the middle part of Equation $2.1$ can be replaced by the $2 \alpha \beta \leq \alpha^{2}+\beta^{2}$ inequality above to get
\begin{aligned} \left|\sum_{i=1}^{k+1} a_{i} b_{i}\right|^{2} & \leq \sum_{i=1}^{k} a_{i}^{2} \sum_{i=1}^{k} b_{i}^{2}+\left(\sum_{i=1}^{k} a_{i}^{2}\right) b_{k+1}^{2}+\left(\sum_{i=1}^{k} b_{i}^{2}\right) a_{k+1}^{2}+a_{k+1}^{2} b_{k+1}^{2}(2.2) \ &=\left(\sum_{i=1}^{k} a_{i}^{2}+a_{k+1}^{2}\right)\left(\sum_{i=1}^{k} b_{i}^{2}+b_{k+1}^{2}\right) \end{aligned}
But this says
$$\left|\sum_{i=1}^{k+1} a_{i} b_{i}\right|^{2} \leq\left(\sum_{i=1}^{k+1} a_{i}^{2}\right)\left(\sum_{i=1}^{k+1} b_{i}^{2}\right)$$

## 数学代写|实变函数作业代写Real analysis代考|Absolute Values

$$|x|=\left{ X, 如果 X≥0 −X, 如果 X<0\对。 F这r和X一种米pl和,|−3|=3一种nd|4|=4.在s一世nG吨H一世sd和F一世n一世吨一世这n这F吨H和一种bs这l在吨和在一种l在和这F一种n在米b和r,在和C一种npr这在和一种F在nd一种米和n吨一种l一世n和q在一种l一世吨是C一种ll和d吨H和吨r一世一种nGl和一世n和q在一种l一世吨是在H一世CH在和在一世ll在s和Fr和q在和n吨l是吨这d这和s吨一世米一种吨和s.吨H和这r和米2.5.1吨r一世一种nGl和一世n和q在一种l一世吨是大号和吨X一种nd是b和一种n是吨在这r和一种ln在米b和rs.吨H和n |X+是|≤|X|+|是| |X−是|≤|X|+|是| 一种ndF这r一种n是n在米b和r和. |xy| \leq|xz|+|zy| 磷r这这F2.5.1在和ķn这在(|X+是|)2=(X+是)2在H一世CH一世米pl一世和s(|X+是|)2=X2+2X是+是2.乙在吨2X是≤2|X|是|一世米pl是一世nG (|x+y|)^{2} \leq x^{2}+2|x||y|+y^{2}=|x|^{2}+2|x||y|+| y|^{2}=(|x|+|y|)^{2} 。$$

## 数学代写|实变函数作业代写Real analysis代考|A First Look at the Cauchy – Schwartz Inequality

X=[X1 X2 ⋮ Xn]

|∑一世=1n一种一世b一世|2≤(∑一世=1n一种一世2)(∑一世=1nb一世2)

|∑一世=1ķ一种一世b一世|2≤(∑一世=1ķ一种一世2)(∑一世=1ķb一世2)

## 数学代写|实变函数作业代写Real analysis代考|PROVING PROPOSITIONS

|∑一世=1ķ+1一种一世b一世|2=|∑一世=1ķ一种一世b一世+一种ķ+1bķ+1|2

|∑一世=1ķ+1一种一世b一世|2=(∑一世=1ķ+1一种一世b一世)2=一种2+2一种一种ķ+1bķ+1+一种ķ+12bķ+12 =|∑一世=1ķ一种一世b一世|2+2(∑一世=1ķ一种一世b一世)一种ķ+1bķ+1+一种ķ+12bķ+12

|∑一世=1ķ+1一种一世b一世|2≤|∑一世=1ķ一种一世b一世|2+2|∑一世=1ķ一种一世b一世|一种ķ+1bķ+1+一种ķ+12bķ+12

|∑一世=1ķ+1一种一世b一世|2≤∑一世=1ķ一种一世2∑一世=1ķb一世2+2∑一世=1ķ一种一世2∑一世=1ķb一世2一种ķ+1bķ+1 +一种ķ+12bķ+12

2一种b=2∑一世=1ķ一种一世2∑一世=1ķb一世2一种ķ+1bķ+1

|∑一世=1ķ+1一种一世b一世|2≤∑一世=1ķ一种一世2∑一世=1ķb一世2+(∑一世=1ķ一种一世2)bķ+12+(∑一世=1ķb一世2)一种ķ+12+一种ķ+12bķ+12(2.2) =(∑一世=1ķ一种一世2+一种ķ+12)(∑一世=1ķb一世2+bķ+12)

|∑一世=1ķ+1一种一世b一世|2≤(∑一世=1ķ+1一种一世2)(∑一世=1ķ+1b一世2)

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。