### 数学代写|微分几何代写Differential Geometry代考|MATH4030

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## 数学代写|微分几何代写Differential Geometry代考|Differentiation Rules; Functions of Class C

In a single-variable calculus course, one learns a number of differentiation rules. With functions $F$ from $\mathbb{R}^{n}$ to $\mathbb{R}^{m}$, one must use some caution since the matrix $[d F]$ of the differential $d F$ is not a vector function but a matrix of functions. (Again, we remind the reader that our notation for evaluating the matrix of functions $[d F]$ at a point $\vec{a}$ is $\left[d F_{\vec{a}}\right]$.)

Theorem 1.3.1. Let $U$ be an open set in $\mathbb{R}^{n}$. Let $F$ and $G$ be functions from $U$ to $\mathbb{R}^{m}$, and let $w: U \rightarrow \mathbb{R}$ be a scalar function. If $F, G$, and $w$ are differentiable at $\vec{a}$, then $F+G$ and $w F$ are differentiable at $\vec{a}$ and

1. $d(F+G){\vec{a}}=d F{\vec{a}}+d G_{\vec{a}}$;
2. $\left[d(w F){\vec{a}}\right]=w(\vec{a})\left[d F{\vec{a}}\right]+[F(\vec{a})]\left[d w_{\vec{a}}\right]$.
Proof. The proof for both parts follows from Proposition 1.2.17. Explicitly for the second part, the $i j$-entry of $\left[d(w F){\vec{a}}\right]$ is $$\frac{\partial\left(w F{i}\right)}{\partial x_{j}}=w(\vec{a}) \frac{\partial F_{i}}{\partial x_{j}}(\vec{a})+\frac{\partial w}{\partial x_{j}}(\vec{a}) F_{i}(\vec{a}) .$$
The first term on the right side is the $i j$-entry of $w(\vec{a})\left[d F_{\vec{a}}\right]$ while the second term is the $i j$-entry of $[F(\vec{a})]\left[d w_{\vec{a}}\right]$, which is the product of a columns by a row vector. The result follows.

Note that in Theorem 1.3.1(2), $[F(\vec{a})]$ is a column vector of dimension $m$, while $\left[d w_{\vec{a}}\right]$ is a row vector of dimension $n$. Hence $[F(\vec{a})]\left[d w_{\vec{a}}\right]$ is an $m \times n$ matrix of rank $1 .$

## 数学代写|微分几何代写Differential Geometry代考|Inverse and Implicit Function Theorems

In single- and multivariable calculus of a function $F: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$, one defines a critical point as a point $\vec{a}=\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)$ such that the gradient of $F$ at $\vec{a}$ is $\overrightarrow{0}$, i.e.,
$$\nabla F(\vec{a})=\left(\frac{\partial F}{\partial x_{1}}(\vec{a}), \ldots, \frac{\partial F}{\partial x_{n}}(\vec{a})\right)=\overrightarrow{0}$$
At such a point, $F$ is said to have a flat tangent line or tangent plane, and, according to standard theorems in calculus, $F(\vec{a})$ is either a local minimum, local maximum, or a “saddle point.” This notion is a special case of the following general definition.
Definition 1.4.1. Let $U$ be an open subset of $\mathbb{R}^{n}$ and $F: U \rightarrow \mathbb{R}^{m}$ a differentiable function. We call $q \in U$ a critical point of $F$ if $F$ is not differentiable at $q$ or if $d F_{q}: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m}$ is not of maximum rank, i.e., if $\operatorname{rank}\left(d F_{q}\right)<\min (m, n)$. If $q$ is a critical point of $F$, we call $F(q)$ a critical value. If $p \in \mathbb{R}^{m}$ is not a critical value of $F$ (even if $p$ is not in the image of $F$ ), then we call $p$ a regular value of $F$.

We point out that this definition simultaneously generalizes the notion of a critical point for functions $F: U \rightarrow \mathbb{R}$, with $U$ an open subset of $\mathbb{R}^{n}$, and the definition for a critical point of a parametric curve in $\mathbb{R}^{n}$ (Definition $3.2 .1$ in $[5]$ ). If $m=n$, the notion of a critical point has a few alternate equivalent criteria.

## 数学代写|微分几何代写Differential Geometry代考| Differentiation Rules; Functions of Class C

1. $d(F+G) \vec{a}=d F \vec{a}+d G_{\vec{a}}$
2. $[d(w F) \vec{a}]=w(\vec{a})[d F \vec{a}]+[F(\vec{a})]\left[d w_{\vec{a}}\right]$.
证明。这两个部分的证明都来自命题1.2.17。明确地对于第二部分， $i j$-进入 $[d(w F) \vec{a}]$ 是
$$\frac{\partial(w F i)}{\partial x_{j}}=w(\vec{a}) \frac{\partial F_{i}}{\partial x_{j}}(\vec{a})+\frac{\partial w}{\partial x_{j}}(\vec{a}) F_{i}(\vec{a}) .$$
右侧的第一个术语是 $i j$-进入 $w(\vec{a})\left[d F_{\vec{a}}\right]$ 而第二个术语是 $i j$-进入 $[F(\vec{a})]\left[d w_{\vec{a}}\right]$ ，它是列乘以行向量的乘 积。结果如下。
请注意，在定理 $1.3 .1$ (2) 中， $[F(\vec{a})]$ 是维度的列向量 $m$ 而 $\left[d w_{\vec{a}}\right]$ 是维度的行向量 $n$. 因此 $[F(\vec{a})]\left[d w_{\vec{a}}\right]$ 是一个 $m \times n$ 等级矩阵 1 .

## 数学代写|微分几何代写Differential Geometry代考| Inverse and Implicit Function Theorems

$$\nabla F(\vec{a})=\left(\frac{\partial F}{\partial x_{1}}(\vec{a}), \ldots, \frac{\partial F}{\partial x_{n}}(\vec{a})\right)=\overrightarrow{0}$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。