数学代写|微分方程代写differential equation代考|МАTH2921

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微分方程(ODE)是一个微分方程,包含一个或多个独立变量的函数以及这些函数的导数。术语普通是与术语偏微分方程相对应的,后者可能与一个以上的独立变量有关。

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|微分方程代写differential equation代考|МАTH2921

数学代写|微分方程代写differential equation代考|Growth with a Carrying Capacity—Fisher’s Equation

Now we consider a diffusing and reproducing population for which there is population size-dependent death. We can represent this by the two reactions
$$
U \stackrel{\alpha}{\longrightarrow} 2 U, \quad U+U \stackrel{\beta}{\longrightarrow} U .
$$
For these reactions, the conservation equation is
$$
\frac{\partial u}{\partial t}=D \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\alpha u-\beta u^{2} .
$$
It is common to write this equation in the slightly different form
$$
\frac{\partial u}{\partial t}=D \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\alpha u\left(1-\frac{u}{K}\right),
$$
where $K=\frac{\alpha}{\beta}$ is called the carrying capacity. Rescaling the variables by setting $u=$ $\frac{\alpha}{\beta} v=K v, t=\frac{\tau}{\alpha}$, and $x=\sqrt{\frac{D}{\alpha}} \xi$, the equation simplifies to
$$
\frac{\partial v}{\partial \tau}=\frac{\partial^{2} v}{\partial \xi^{2}}+v-v^{2}
$$
with no free parameters.
A second derivation of this equation is related to SIR epidemic models. Here we suppose that there are two populations, denoted by $S$ and $I$, representing susceptible and infected populations, respectively. A susceptible individual can become infected by contact with another infected individual, but there is no possible recovery from the infection; an infected individual is permanently contagious. This process can be represented by the reaction
$$
S+I \stackrel{\alpha}{\longrightarrow} 2 I
$$ and the conservation equations for these two populations are
$$
\frac{\partial s}{\partial t}=D_{s} \frac{\partial^{2} s}{\partial x^{2}}-\alpha s i, \quad \frac{\partial i}{\partial t}=D_{i} \frac{\partial^{2} i}{\partial x^{2}}+\alpha s i .
$$
Under the assumption that the diffusion coefficient for both populations is the same, $D_{s}=D_{i}$, the quantity $s+i$ satisfies the diffusion equation and so has steady, constant solutions $s+i=S_{0}$. With this conserved quantity, the equation for $i$ becomes
$$
\frac{\partial i}{\partial t}=D_{i} \frac{\partial^{2} i}{\partial x^{2}}+\alpha i\left(S_{0}-i\right)
$$
Rescaling the variables by setting $i=S_{0} v, t=\frac{\tau}{\alpha S_{0}}, x=\sqrt{\frac{D_{i}}{\alpha S_{0}}} \xi$, the equation simplifies to $(6.30)$.

数学代写|微分方程代写differential equation代考|Resource Consumption

Now consider the situation in which organisms, say bacteria, consume a resource substrate, such as glucose, of which there is a finite supply. For example, suppose bacteria are grown on an agar gel on a Petrie dish. The reaction describing this is
$$
U+S \stackrel{\alpha}{\longrightarrow} 2 U .
$$
The units on $U$ and $S$ are such that one unit of $S$ converts into one unit of $U$. We assume that both the glucose and the bacteria move by diffusion. Consequently, the differential equations describing this evolution (in one spatial dimension) are
$$
\begin{aligned}
&\frac{\partial u}{\partial t}=D_{u} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\alpha u s \
&\frac{\partial s}{\partial t}=D_{g} \frac{\partial^{2} s}{\partial x^{2}}-\alpha u s
\end{aligned}
$$
where $s$ represents the concentration of the resource substrate (i.e., the glucose). Numerical simulation of this system of equations is shown in Figure 6.13. The Matlab code for this simulation is titled CN_diffusion_gluc_micro_X.m. This simulation again suggests that there should be a traveling wave solution. The first step of the analysis is to simplify the equations by introducing scaled variables $t=\frac{\tau}{\alpha}, x=\sqrt{\frac{D_{u}}{\alpha}} \xi$, in terms of which the equations become
$$
\begin{aligned}
&\frac{\partial u}{\partial \tau}=\frac{\partial^{2} u}{\partial \xi^{2}}+u s \
&\frac{\partial s}{\partial \tau}=\delta \frac{\partial^{2} s}{\partial \xi^{2}}-u s
\end{aligned}
$$
where $\delta=\frac{D_{g}}{D_{u}}$.
Now, to examine the possibility of traveling wave solutions, we look for a solution of the form $u(\xi, \tau)=U(\xi-c \tau), s(\xi, \tau)=S(\xi-c \tau)$, and find the system of ordinary differential equations
$$
\begin{aligned}
0 &=\frac{d^{2} U}{d \zeta^{2}}+c \frac{d U}{d \zeta}+U S \
0 &=\delta \frac{d^{2} S}{d \zeta^{2}}+c \frac{d S}{d \zeta}-U S
\end{aligned}
$$

数学代写|微分方程代写differential equation代考|Spread of Rabies—SIR with Diffusion

It has been observed in England that rabid foxes tend to travel across much larger distances than rabies free animals. This observation has led to consideration of the spread of an infectious disease where the infected animals diffuse, but susceptible animals do not [51]. For this we consider the standard SIR disease dynamics
$$
S+I \stackrel{\alpha}{\longrightarrow} 2 I, \quad I \stackrel{\beta}{\longrightarrow} R,
$$
where $S$ represents the susceptible population, $I$ represents the infected population, and $R$ represents the recovered (or removed) population. The corresponding differential equations are
$$
\begin{aligned}
&\frac{\partial s}{\partial t}=-\alpha s i \
&\frac{\partial i}{\partial t}=\alpha s i-\beta i+D \frac{\partial^{2} i}{\partial x^{2}} .
\end{aligned}
$$
Introducing dimensionless variables $\sigma=\frac{s}{S_{0}}, u=\frac{i}{S_{0}}, t=\frac{\tau}{\alpha S_{0}}$, and $x=\sqrt{\frac{D}{\alpha S_{0}}} \xi$, we find the dimensionless equations
$$
\begin{aligned}
&\frac{\partial \sigma}{\partial \tau}=-\sigma u, \
&\frac{\partial u}{\partial \tau}=\sigma u-\eta u+\frac{\partial^{2} u}{\partial \xi^{2}},
\end{aligned}
$$
depending on the single parameter $\eta=\frac{\beta}{\alpha S_{0}}=\frac{1}{R_{0}}$. A simulation of these equations is shown in Figure 6.15, and was computed using the Matlab code $\mathrm{CN}_{\text {_diffusion_SIR.m. }}$
As you can see from this figure, an initial amount of $u$ grows and spreads as a traveling wave, leading to a permanent decrease in the amount of $\sigma$, while the spreading bulge of $u$ is only temporary, as recovery eventually restores $u$ to zero. We would like to determine how fast this infection spreads and how much of the initial susceptible population is affected by it.

数学代写|微分方程代写differential equation代考|МАTH2921

微分方程代考

数学代写|微分方程代写differential equation代考|Growth with a Carrying Capacity—Fisher’s Equation

现在我们考虑一个扩散和繁殖的人口,其中存在人口规模依赖性死亡。我们可以用两个反应来表示这一点

在⟶一个2在,在+在⟶b在.
对于这些反应,守恒方程为

∂在∂吨=D∂2在∂X2+一个在−b在2.
通常以稍微不同的形式写出这个方程

∂在∂吨=D∂2在∂X2+一个在(1−在ķ),
在哪里ķ=一个b称为承载能力。通过设置重新调整变量在= 一个b在=ķ在,吨=τ一个, 和X=D一个X,方程简化为

∂在∂τ=∂2在∂X2+在−在2
没有自由参数。
该方程的第二个推导与 SIR 流行病模型有关。这里我们假设有两个种群,表示为小号和我,分别代表易感人群和感染人群。易感个体可以通过与另一个受感染个体接触而被感染,但不可能从感染中恢复;受感染的个体具有永久传染性。这个过程可以用反应来表示

小号+我⟶一个2我这两个种群的守恒方程是

∂s∂吨=Ds∂2s∂X2−一个s一世,∂一世∂吨=D一世∂2一世∂X2+一个s一世.
在假设两个群体的扩散系数相同的情况下,Ds=D一世, 数量s+一世满足扩散方程,因此具有稳定、恒定的解s+一世=小号0. 有了这个守恒量,方程为一世变成

∂一世∂吨=D一世∂2一世∂X2+一个一世(小号0−一世)
通过设置重新调整变量一世=小号0在,吨=τ一个小号0,X=D一世一个小号0X,方程简化为(6.30).

数学代写|微分方程代写differential equation代考|Resource Consumption

现在考虑生物体(例如细菌)消耗资源基质(例如葡萄糖)的情况,而葡萄糖的供应是有限的。例如,假设细菌在 Petrie 培养皿上的琼脂凝胶上生长。描述这个的反应是

在+小号⟶一个2在.
上的单位在和小号是这样的,一个单位小号转换为一个单位在. 我们假设葡萄糖和细菌都通过扩散移动。因此,描述这种演变的微分方程(在一个空间维度上)是

∂在∂吨=D在∂2在∂X2+一个在s ∂s∂吨=DG∂2s∂X2−一个在s
在哪里s表示资源底物(即葡萄糖)的浓度。该方程组的数值模拟如图 6.13 所示。该仿真的 Matlab 代码名为 CN_diffusion_gluc_micro_X.m。该模拟再次表明应该存在行波解决方案。分析的第一步是通过引入缩放变量来简化方程吨=τ一个,X=D在一个X,据此方程变为

∂在∂τ=∂2在∂X2+在s ∂s∂τ=d∂2s∂X2−在s
在哪里d=DGD在.
现在,为了检验行波解的可能性,我们寻找以下形式的解在(X,τ)=在(X−Cτ),s(X,τ)=小号(X−Cτ), 并找到常微分方程组

0=d2在dG2+Cd在dG+在小号 0=dd2小号dG2+Cd小号dG−在小号

数学代写|微分方程代写differential equation代考|Spread of Rabies—SIR with Diffusion

在英格兰已经观察到,与没有狂犬病的动物相比,患有狂犬病的狐狸往往会穿越更远的距离。这一观察结果导致人们考虑传染病的传播,其中受感染的动物扩散,但易感动物没有[51]。为此,我们考虑标准 SIR 疾病动态

小号+我⟶一个2我,我⟶bR,
在哪里小号代表易感人群,我代表受感染的人群,并且R代表恢复(或删除)的人口。对应的微分方程是

∂s∂吨=−一个s一世 ∂一世∂吨=一个s一世−b一世+D∂2一世∂X2.
引入无量纲变量σ=s小号0,在=一世小号0,吨=τ一个小号0, 和X=D一个小号0X,我们找到无量纲方程

∂σ∂τ=−σ在, ∂在∂τ=σ在−这在+∂2在∂X2,
取决于单个参数这=b一个小号0=1R0. 这些方程的模拟如图 6.15 所示,并使用 Matlab 代码计算Cñ_diffusion_SIR.m。 
从图中可以看出,初始数量为在以行波的形式增长和传播,导致数量永久减少σ,而膨胀的膨胀在只是暂时的,因为恢复最终会恢复在为零。我们想确定这种感染的传播速度以及有多少最初的易感人群受到它的影响。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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