数学代写|微分方程代写differential equation代考|MAST20030

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微分方程(ODE)是一个微分方程,包含一个或多个独立变量的函数以及这些函数的导数。术语普通是与术语偏微分方程相对应的,后者可能与一个以上的独立变量有关。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|微分方程代写differential equation代考|MAST20030

数学代写|微分方程代写differential equation代考|Multiple Species

This method of simulation and analysis generalizes readily to the situation where there are multiple species and multiple reactions. At any given time, the state vector is the vector of integers $\mathcal{S}=\left(n_{1}, n_{2}, \ldots, n_{K}\right)$, and there are $J$ reactions with rates $r_{j}$ that depend on the state of the system $\mathcal{S}$. For each reaction there is a change in the state vector $c(j, k)$, meaning that if reaction $j$ occurs, the $k$ th integer $n_{k}$ changes by the amount $c(j, k)$.
As an example, consider the SIR reactions
$$
S+I \stackrel{\alpha}{\longrightarrow} 2 I, \quad I \stackrel{\beta}{\longrightarrow} R .
$$
Here $S$ represents susceptible individuals in a population, $I$ represents the infected and contagious individuals, and $R$ represents those individuals who are removed and no longer contagious. The deterministic differential equations for these reactions are given by (1.63), however, as we all know from experience with COVID-19, the evolution of an epidemic is highly stochastic.

An interesting question to ask is how many individuals have been infected and how many susceptibles remain (or survive) after an infection has run its course, and we can address this question using a stochastic simulation. The setup for this stochastic simulation is straightforward. The state space is identified by the three integers $n_{s}, n_{i}$, and $n_{r}$, and the two reactions are at rates
$$
r_{1}=\alpha n_{s} n_{i}, \quad r_{2}=\beta n_{i},
$$
and the change matrix $C=c(j, k)$ is
$$
C=\left(\begin{array}{ccc}
-1 & 1 & 0 \
0 & -1 & 1
\end{array}\right)
$$
This is easily implemented in Matlab code and in fact, the code that does this is titled stochastic_SIR.m.

Scatter plots of recovery times vs. number of survivors for the SIR stochastic process shown in Figure $1.10$ are surprising, and are certainly different than what is predicted by the deterministic model. (Recovery time refers to the first time at which there are no more infected individuals.) The deterministic model predicts a unique outcome (recall (1.67)), with an epidemic spreading if $R_{0}=\frac{\alpha s(0)}{\beta}>1$ and not spreading if $R_{0}=\frac{\alpha s(0)}{\beta}<1$. However, in Figure $1.10(\mathrm{a})$, where $R_{0}=2.5$, the results of the stochastic simulation show a biphasic outcome, with many of the trials, as expected, having a large epidemic with few survivors and long recovery times, but also with a significant number of trials with little spread of the infection, a large percentage of survivors, and a short recovery time. Similarly, in Figure $1.10(\mathrm{~b})$, where $R_{0}=0.9$, most of the trials result in a short-lived epidemic with a high percentage of survivors. However, there are nonetheless quite a few trials showing a substantial epidemic with few survivors and long recovery times, noticeably different than the prediction of the deterministic model.

数学代写|微分方程代写differential equation代考|The Conservation Law

The purpose of this text can be summarized as learning how to count biological objects as they change over time. Demographers do this by taking a census of their population of interest from time to time and then making a plot of the pointwise values and connecting the points with lines. This approach is of limited value because it gives no explanation, or mechanism, for the observed changes, and it has no predictive value. Even if data points are fit to a regression curve, there is no confidence that the fit curve can be extrapolated to values outside the range of times for which data was collected.
The approach taken here is to recognize that for any quantity of some material with density $u$ (i.e., number per unit volume) which is changing in time, it must be that the total amount of the material in some region of space can change only because of flux (i.e., movement) across the boundary or production/destruction in the interior of the region. In mathematical language, this can be stated as
$$
\frac{d}{d t} \int_{\Omega} u d V=-\int_{\partial \Omega} \mathbf{J} \cdot \mathbf{n} d S+\int_{\Omega} f d V
$$
where $\Omega$ is a closed region in space, $\partial \Omega$ is its boundary surface, and $\mathbf{n}$ is the outward unit normal to the boundary of $\Omega$. Here, $f$ is the rate of production (or destruction, if $f$ is negative) of $u$. Since the units of the terms on the left and right hand side of this equation must match, $f$ must have units of $u$ /time. Since $d V$ has units of volume, and $d S$ has units of area, the flux $\mathbf{J}$ is the vector-valued quantity with units of $u$ times length/time, i.e., units of $u$ times velocity, which is the same as number per unit area per time. ${ }^{1}$ The minus sign here is to recognize that if $\mathbf{J} \cdot \mathbf{n}$ is positive, then the flux of material is outward across the boundary, hence decreasing the amount of material in the domain.

数学代写|微分方程代写differential equation代考|Examples of Flux—How Things Move

There are several examples of flux that are important in biology.
Advection. Suppose particles with concentration $u$ are dissolved in water and the water is moving with velocity $\mathbf{v}$ and that the dissolved particles are moving with the same velocity. The flux of concentration at any point is the velocity of the water times the concentration
$$
\mathbf{J}=\mathbf{v} u
$$
This flux is a pointwise object having units of concentration times velocity. If this is constant in a tube like a vein or artery. with crossectional area $A$, then the flow in the tube is given by
$$
Q=A \mathbf{J}=A \mathbf{v} u,
$$
which has units of volume times concentration per unit time $=$ number of particles per unit time. This formula will be useful for Exercise 2.3.

Fick’s law. If individual particles have a velocity that is different than that of the water in which they are dissolved, for example, a random motion, then we might reasonably expect that they would tend to spread out, by moving, on average, down their concentration gradient. This is certainly what happens in our ordinary experience. For example, if you put a drop of ink into water, it will very quickly disperse, or diffuse, away, and eventually the ink will be uniformly distributed throughout the water, with no regions with higher or lower concentration. In math language, this is stated as
$$
\mathbf{J}=-D \nabla u,
$$
and is called Fick’s law, and $D$ is called the diffusion coefficient. Notice that $D$ must have units of (length) ${ }^{2}$ /time, since the flux must have units of velocity times units of $u$.
Fick’s law is not truly a law, but a model, hence appropriate in certain contexts. For example, it applies if the particles are diffuse with no self-interactions, but not so few that $u$ cannot be viewed as a continuous variable.

数学代写|微分方程代写differential equation代考|MAST20030

微分方程代考

数学代写|微分方程代写differential equation代考|Multiple Species

这种模拟和分析方法很容易推广到存在多种物质和多种反应的情况。在任何给定时间,状态向量都是整数向量小号=(n1,n2,…,nķ), 并且有Ĵ反应速率rj这取决于系统的状态小号. 对于每个反应,状态向量都会发生变化C(j,ķ), 意思是如果反应j发生时,ķ第一个整数nķ金额变化C(j,ķ).
例如,考虑 SIR 反应

小号+我⟶一个2我,我⟶bR.
这里小号代表人群中的易感个体,我代表受感染和具有传染性的个人,以及R代表那些被移除且不再具有传染性的个人。这些反应的确定性微分方程由 (1.63) 给出,但是,正如我们从 COVID-19 的经验中所知,流行病的演变是高度随机的。

一个有趣的问题是,有多少人被感染,多少易感者在感染结束后仍然存在(或存活),我们可以使用随机模拟来解决这个问题。这种随机模拟的设置很简单。状态空间由三个整数标识ns,n一世, 和nr, 并且这两个反应的速率是

r1=一个nsn一世,r2=bn一世,
和变化矩阵C=C(j,ķ)是

C=(−110 0−11)
这在 Matlab 代码中很容易实现,事实上,执行此操作的代码名为 stochastic_SIR.m。

SIR 随机过程的恢复时间与幸存者数量的散点图如图所示1.10令人惊讶,并且肯定与确定性模型所预测的不同。(恢复时间是指第一次没有更多受感染的个体。)确定性模型预测一个独特的结果(回忆(1.67)),如果流行病传播,R0=一个s(0)b>1如果不传播R0=一个s(0)b<1. 然而,在图1.10(一个), 在哪里R0=2.5,随机模拟的结果显示出双相结果,正如预期的那样,许多试验具有大规模流行病,幸存者很少,恢复时间长,但也有大量试验,感染传播很少,大存活率高,恢复时间短。同样,在图1.10( b), 在哪里R0=0.9,大多数试验导致一种短暂的流行病,幸存者比例很高。然而,仍有相当多的试验表明,大规模流行病几乎没有幸存者,恢复时间很长,这与确定性模型的预测明显不同。

数学代写|微分方程代写differential equation代考|The Conservation Law

本文的目的可以概括为学习如何计算随时间变化的生物对象。人口统计学家不时对其感兴趣的人口进行普查,然后绘制逐点值的图并将点与线连接起来。这种方法的价值有限,因为它没有对观察到的变化给出解释或机制,也没有预测价值。即使数据点拟合到回归曲线,也没有信心可以将拟合曲线外推到收集数据的时间范围之外的值。
这里采用的方法是认识到对于任何数量的具有密度的材料在(即每单位体积的数量)随时间变化,一定是空间某个区域的物质总量只能因为跨边界的通量(即运动)或内部的生产/破坏而变化该地区的。在数学语言中,这可以表示为

dd吨∫Ω在d在=−∫∂ΩĴ⋅nd小号+∫ΩFd在
在哪里Ω是空间上的封闭区域,∂Ω是它的边界面,并且n是垂直于边界的向外单位Ω. 这里,F是生产率(或破坏率,如果F是负数)的在. 由于该等式左侧和右侧的项的单位必须匹配,F必须有单位在/时间。自从d在有体积单位,并且d小号有面积单位,通量Ĵ是向量值量,单位为在乘以长度/时间,即单位在乘以速度,与每单位时间单位面积的数量相同。1这里的减号是为了认识到如果Ĵ⋅n为正,则材料的通量向外越过边界,因此减少了域中的材料量。

数学代写|微分方程代写differential equation代考|Examples of Flux—How Things Move

有几个通量的例子在生物学中很重要。
平流。假设有浓度的粒子在溶解在水中并且水以速度移动在并且溶解的粒子以相同的速度移动。任何一点的浓度通量是水的速度乘以浓度

Ĵ=在在
该通量是具有浓度乘以速度单位的逐点对象。如果这在像静脉或动脉这样的管子中是恒定的。有截面积一个,则管中的流量由下式给出

问=一个Ĵ=一个在在,
它的单位是体积乘以每单位时间的浓度=单位时间内的粒子数。这个公式对练习 2.3 很有用。

菲克定律。如果单个粒子的速度与溶解它们的水的速度不同,例如随机运动,那么我们可以合理地预期它们会通过平均向下移动其浓度梯度而散布. 这当然是我们日常经验中发生的事情。例如,如果您将一滴墨水放入水中,它会非常迅速地分散或扩散,最终墨水将均匀分布在整个水中,没有浓度较高或较低的区域。在数学语言中,这表示为

Ĵ=−D∇在,
并且被称为菲克定律,并且D称为扩散系数。请注意D必须有(长度)的单位2/time,因为通量必须有速度单位乘以单位在.
菲克定律并不是真正的定律,而是一个模型,因此在某些情况下是合适的。例如,如果粒子是漫反射的,没有自相互作用,但不是那么少在不能被视为一个连续变量。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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