数学代写|微分方程代写differential equation代考|MAT3105

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微分方程(ODE)是一个微分方程,包含一个或多个独立变量的函数以及这些函数的导数。术语普通是与术语偏微分方程相对应的,后者可能与一个以上的独立变量有关。

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数学代写|微分方程代写differential equation代考|MAT3105

数学代写|微分方程代写differential equation代考|With Boundary Conditions

Up to this point we have not discussed much about boundary conditions, but these can be avoided no longer. As the name implies, a boundary condition is a condition on the solution at the boundary of the domain of interest. In general, one needs one condition for every derivative that appears in the equation. Thus, for example, for a differential equation that describes the time evolution of some object with an equation of the form $u_{t}=f(u, t)$, one needs one initial condition to specify $u\left(t_{0}\right)$, where $t_{0}$ is the start time. On the other hand for a differential equation that can be written as $u_{x x}=g\left(u, u_{x}, x\right)$, one needs two conditions at the boundaries in order to specify $u$ completely. Thus, for the diffusion equation on a finite domain, one needs to specify an initial condition at $t=0$ for all values of $x$ in the domain, and two boundary conditions at the ends of the spatial domain. For a one dimensional spatial domain there are four possibilities:

  • Dirichlet condition is when the value of the unknown $u$ is specified at the boundary. If $u$ is a probability, the condition $u=0$ is said to be an absorbing boundary condition, because a particle that crosses the boundary disappears and cannot re-enter the domain.
  • Neumann condition is when the flux of the unknown $u$ across the boundary is specified. In a biological context, the flux across a boundary is zero if the boundary is impermeable to the particles, and is often called a no-flux condition. If $u$ is a probability, $\nabla u \cdot \mathbf{n}=0$ is called a reflecting boundary condition.
  • Robin condition is a weighted combination of Dirichlet and Neumann boundary conditions, typically of the form $D \nabla u \cdot \mathbf{n}+a u=b$ and is often appropriate when the diffusing species can undergo a chemical reaction at the boundary, or, as we see below, when the species can diffuse across a porous boundary.
  • Periodic conditions apply when the one dimensional domain is actually a closed loop of length $L$, with the point at $x=0$ the same as the point at $x=L$. In this case, one requires that the function $u$ and its derivative be continuous at the “boundary”.

数学代写|微分方程代写differential equation代考|At Steady State

Before we move on to solve the diffusion equation with different boundary conditions, it is worthwhile to gain some exposure to these by examining what happens when a diffusion process is at steady state. Steady state means that $u$ is not changing in time, i.e., $\frac{\partial u}{\partial t}=0$, so that the process is in equilibrium, but it does not mean that nothing is happening.

To illustrate, suppose $u$ is held fixed at $u=u_{0}$ at $x=0$ and $u=u_{L}$ at $x=L$. Then, the steady state solution satisfies $u_{x x}=0$, which implies that $u$ is a linear function satisfying the boundary conditions, i.e.,
$$
u(x)=u_{L} \frac{x}{L}+u_{0}\left(1-\frac{x}{L}\right) .
$$
To verify that something is happening, notice that the flux is
$$
J=-D u_{x}=\frac{D}{L}\left(u_{0}-u_{L}\right),
$$
which is not zero, unless $u_{L}=u_{0}$.

Suppose, instead, that the boundaries at $x=0$ and $x=L$ are porous membranes, with $u=u_{0}$ and $u=u_{L}$ just outside the domain, and the species $u$ can diffuse through the boundaries and therefore must satisfy the Robin boundary conditions
$$
\left.D u_{x}\right|{x=0}=\delta\left(u(0)-u{0}\right), \quad-\left.D u_{x}\right|{x=L}=\delta\left(u(L)-u{L}\right) .
$$
where $\delta>0$ represents the porosity of the boundary membrane, and $u(0), u(L)$ are the values of $u$ at the membrane just inside the domain. Notice what these conditions mean in words: the term $\delta\left(u(0)-u_{0}\right)$ is the diffusive flux of u across the membrane to the outside, and $\left.D u_{x}\right|{x=0}$ is the flux of $u$ out of the domain at $x=0$. Clearly these must match. Notice also the difference in the sign for these two conditions. This is because if $u(0)>u{0}$, the flux will be out of the domain to the left, i.e., negative (and because flux is the negative spatial derivative of $u, u$ must therefore have positive slope). If $u(L)>u_{L}$, the flux will be out of the domain to the right, i.e., positive (hence $u$ must have a negative slope). As before, $u$ is a linear function in the interior of the domain, and the requirement that it satisfy the two Robin boundary conditions yields that
$$
u(x)=\frac{1}{1+2 \Delta}\left(u_{L}-u_{0}\right) \frac{x}{L}+\frac{\Delta\left(u_{0}+u_{L}\right)+u_{0}}{1+2 \Delta}
$$
where $\Delta=\frac{D}{\delta L}$. Once again, the flux is nontrivial, being
$$
J=-D u_{x}=\frac{D}{1+2 \Delta} \frac{u_{0}-u_{L}}{L} .
$$
The quantity $D_{\text {eff }}=\frac{D}{1+2 \Delta}$ is the effective diffusion coefficient for this membrane bound medium, since the species must diffuse across both membranes and well as through the interior of the medium. Notice also the identity
$$
\frac{L}{D_{\text {eff }}}=\frac{1}{\delta}+\frac{L}{D}+\frac{1}{\delta}
$$
(What do you suspect the answer is if the two porosities are different? Can you verify this suspicion? See Exercise 5.5.) Clearly, in the limit that the porosity of the membrane $\delta \rightarrow \infty$, the problem reduces to the Dirichlet boundary condition with solution (5.22) (see Figure 5.2).

数学代写|微分方程代写differential equation代考|Separation of Variables

In biological applications, the most common boundary condition is the no-flux (homogeneous Neumann) condition, when particles are trapped inside a bounded domain, and this is where we begin our study of time dependent solutions of the diffusion equation on a bounded domain.

An important feature of the no-flux boundary condition is that the total amount of the quantity $u$ is conserved; this follows immediately from the conservation law as stated in (2.1). When solving any differential equation (in time) with constant coefficients, it is reasonable to try a solution that is exponential in time. For the diffusion

equation, we try a solution of the form
$$
u(x, t)=U(x) \exp (\lambda t),
$$
and upon substituting into the diffusion equation (3.2), we find
$$
D \frac{d^{2} U}{d x^{2}}-\lambda U=0 .
$$
This equation must be solved subject to the no-flux boundary condition $U^{\prime}(0)=$ $U^{\prime}(L)=0 .$

There are an infinite number of possible solutions, but they are all of the same form, namely
$$
U_{n}(x)=a_{n} \cos \left(\frac{n \pi x}{L}\right),
$$
with the important restriction that
$$
\lambda=\lambda_{n} \equiv-\frac{n^{2} \pi^{2} D}{L^{2}},
$$
with $n=0,1,2, \ldots$
Since there are an infinite number of possible solutions, and the diffusion equation is linear, the fully general solution is an arbitrary linear combination of the possible solutions, namely
$$
u(x, t)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \exp \left(-\frac{D n^{2} \pi^{2} t}{L^{2}}\right) \cos \left(\frac{n \pi x}{L}\right)
$$

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微分方程代考

数学代写|微分方程代写differential equation代考|With Boundary Conditions

到目前为止,我们还没有过多地讨论边界条件,但这些已经无法避免了。顾名思义,边界条件是对感兴趣域边界处的解的条件。一般来说,方程中出现的每一个导数都需要一个条件。因此,例如,对于描述某个对象的时间演化的微分方程,其方程为在吨=F(在,吨), 需要一个初始条件来指定在(吨0), 在哪里吨0是开始时间。另一方面,对于可以写成的微分方程在XX=G(在,在X,X), 在边界处需要两个条件才能指定在完全地。因此,对于有限域上的扩散方程,需要指定初始条件吨=0对于所有值X在域中,在空间域的末端有两个边界条件。对于一维空间域,有四种可能性:

  • 狄利克雷条件是当未知值在在边界处指定。如果在是概率,条件在=0被称为吸收边界条件,因为穿过边界的粒子消失并且不能重新进入域。
  • 诺伊曼条件是当未知的通量在指定跨界。在生物学背景下,如果边界对粒子是不可渗透的,则跨边界的通量为零,并且通常称为无通量条件。如果在是概率,∇在⋅n=0称为反射边界条件。
  • Robin 条件是 Dirichlet 和 Neumann 边界条件的加权组合,通常形式为D∇在⋅n+一个在=b当扩散物质可以在边界发生化学反应时,或者正如我们在下面看到的,当物质可以扩散穿过多孔边界时,通常是合适的。
  • 当一维域实际上是一个长度的闭环时,周期性条件适用大号, 点在X=0与点相同X=大号. 在这种情况下,需要函数在并且它的导数在“边界”处是连续的。

数学代写|微分方程代写differential equation代考|At Steady State

在我们继续求解具有不同边界条件的扩散方程之前,有必要通过检查扩散过程处于稳态时发生的情况来了解这些情况。稳定状态意味着在不随时间变化,即∂在∂吨=0,因此过程处于平衡状态,但这并不意味着什么都没有发生。

为了说明,假设在固定在在=在0在X=0和在=在大号在X=大号. 那么稳态解满足在XX=0,这意味着在是满足边界条件的线性函数,即

在(X)=在大号X大号+在0(1−X大号).
要验证某事正在发生,请注意通量是

Ĵ=−D在X=D大号(在0−在大号),
这不是零,除非在大号=在0.

相反,假设边界在X=0和X=大号是多孔膜,具有在=在0和在=在大号就在领域之外,物种在可以通过边界扩散,因此必须满足 Robin 边界条件

D在X|X=0=d(在(0)−在0),−D在X|X=大号=d(在(大号)−在大号).
在哪里d>0表示边界膜的孔隙率,并且在(0),在(大号)是的值在在域内的膜上。请注意这些条件在文字中的含义:术语d(在(0)−在0)是 u 穿过膜到外部的扩散通量,并且D在X|X=0是通量在在域外X=0. 显然,这些必须匹配。还要注意这两个条件的符号差异。这是因为如果在(0)>在0,通量将在左侧的域外,即负(并且因为通量是负空间导数在,在因此必须具有正斜率)。如果在(大号)>在大号,通量将在域外向右,即正(因此在必须有一个负斜率)。和以前一样,在是域内部的线性函数,并且它满足两个 Robin 边界条件的要求产生

在(X)=11+2Δ(在大号−在0)X大号+Δ(在0+在大号)+在01+2Δ
在哪里Δ=Dd大号. 再一次,通量是不平凡的,即

Ĵ=−D在X=D1+2Δ在0−在大号大号.
数量D效果 =D1+2Δ是这种膜结合介质的有效扩散系数,因为物质必须扩散穿过两个膜并穿过介质内部。还要注意身份

大号D效果 =1d+大号D+1d
(如果两个孔隙率不同,你怀疑答案是什么?你能证实这个怀疑吗?见习题 5.5。)显然,在膜孔隙率的极限内d→∞,问题归结为狄利克雷边界条件,解为 (5.22)(见图 5.2)。

数学代写|微分方程代写differential equation代考|Separation of Variables

在生物应用中,最常见的边界条件是无通量(齐次诺依曼)条件,当粒子被困在有界域内时,我们开始研究有界域上扩散方程的时间相关解。

无通量边界条件的一个重要特征是数量的总量在是保守的;这直接来自 (2.1) 中所述的守恒定律。在求解任何具有常数系数的微分方程(时间)时,尝试时间上的指数解是合理的。对于扩散

方程,我们尝试以下形式的解

在(X,吨)=在(X)经验⁡(λ吨),
并代入扩散方程(3.2),我们发现

Dd2在dX2−λ在=0.
该方程必须在无通量边界条件下求解在′(0)= 在′(大号)=0.

有无数种可能的解,但它们的形式都是一样的,即

在n(X)=一个n因⁡(n圆周率X大号),
有一个重要的限制,即

λ=λn≡−n2圆周率2D大号2,
和n=0,1,2,…
由于有无限多的可能解,并且扩散方程是线性的,所以完全一般解是可能解的任意线性组合,即

在(X,吨)=∑n=0∞一个n经验⁡(−Dn2圆周率2吨大号2)因⁡(n圆周率X大号)

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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