数学代写|微分方程代写differential equation代考|MATH2021

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微分方程(ODE)是一个微分方程,包含一个或多个独立变量的函数以及这些函数的导数。术语普通是与术语偏微分方程相对应的,后者可能与一个以上的独立变量有关。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|微分方程代写differential equation代考|MATH2021

数学代写|微分方程代写differential equation代考|Numerical Methods

The first method to numerically simulate the diffusion equation is one that we have already used, namely the method of lines. With this method, we discretize the spatial region into a grid with points at $x_{j}=j \Delta x$, $j=0,1, \ldots, N$, and then write the diffusion equation approximately as the system of ordinary differential equations
$$
\frac{d u_{j}}{d t}=\frac{D}{\Delta x^{2}}\left(u_{j+1}-2 u_{j}+u_{j-1}\right) .
$$
At the endpoints, take the equations to be
$$
\frac{d u_{0}}{d t}=\frac{2 D}{\Delta x^{2}}\left(u_{1}-u_{0}\right), \quad \frac{d u_{N}}{d t}=\frac{2 D}{\Delta x^{2}}\left(u_{j-1}-u_{N}\right) .
$$
This choice follows from the approximation to the derivative of $u,\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|{x=j \Delta x} \approx \frac{u{j+1}-u_{j-1}}{2 \Delta x}$, so at the boundaries the zero derivative (Neumann) boundary condition implies that $u_{-1}=u_{1}$, and $u_{N+1}=u_{N-1}$. (The points at $j=-1$ and $j=N+1$ are called ghost points and are useful for this calculation, but are never actually computed.)

This system of equations is then simulated using a numerical ordinary differential equation solver. The Matlab code for this for Neumann or Robin boundary conditions is titled Diffusion_NK_via_MUL.m and for Dirichlet boundary conditions is titled Diffusion_Dirichlet_via_MOL.m.

It is convenient for future discussions to represent $u(j \Delta x, t)$ as a vector $\mathbf{u}(t)=\left(u_{j}\right)$, and then to rewrite (5.37) using vector/matrix notation as
$$
\frac{d \mathbf{u}}{d t}=\frac{D}{\Delta x^{2}} A \mathbf{u}
$$
where the matrix $A$ has diagonal elements $-2$, and first upper and lower off-diagonal elements 1 , except the first element of the upper diagonal and last element of the lower diagonal are both 2, i.e.,
$$
A=\left(\begin{array}{ccccc}
-2 & 2 & 0 & \cdots & 0 \
1 & -2 & 1 & 0 & \cdots \
& & \vdots & & \
0 & \cdots & 1 & -2 & 1 \
0 & \cdots & 0 & 2 & -2
\end{array}\right)
$$

数学代写|微分方程代写differential equation代考|Other Boundary Conditions

Everything discussed in the previous section was for Neumann boundary conditions. However, the only difference for the numerical methods with different boundary conditions is with the definition of the corner entries of the matrix $A$. For homogeneous Robin boundary conditions (5.23), we write the approximations
$$
D\left(\frac{u_{1}-u_{-1}}{2 \Delta x}\right)=\delta u_{0}, \quad-D\left(\frac{u_{N+1}-u_{N-1}}{2 \Delta x}\right)=\delta u_{N}
$$
which when substituted into the finite difference approximation of the diffusion equation (5.37) yields
$$
\frac{d u_{0}}{d t}=\frac{D}{\Delta x^{2}}\left(2 u_{1}-2\left(1+\frac{\delta \Delta x}{D}\right) u_{0}\right)
$$
$$
\frac{d u_{N}}{d t}=\frac{D}{\Delta x^{2}}\left(2\left(-1-\frac{\delta \Delta x}{D}\right) u_{N}+2 u_{N-1}\right) .
$$
This implies that the matrix $A$ in (5.40) needs to be modified slightly to have first and last diagonal elements
$$
A_{1,1}=-2-2 \frac{\delta \Delta x}{D}, \quad A_{N+1, N+1}=-2-2 \frac{\delta \Delta x}{D}
$$
For homogeneous Dirichlet boundary conditions, the unknown variables are $u_{j}$, $j=1,2, \ldots, u_{N-1}$, (two less than for Neumann and Robin conditions) and the finite difference approximation (5.37) for $u_{1}$ and $u_{N ~}$
$$
\text { (5.56) } \frac{d u_{1}}{d t}=\frac{D}{\Delta x^{2}}\left(u_{2}-2 u_{1}\right), \quad \frac{d u_{N-1}}{d t}=\frac{D}{\Delta x^{2}}\left(-2 u_{N-1}+u_{N-2}\right)
$$
(since $u_{0}=u_{N}=0$ ) and consequently, the matrix $A$ (which is now an $N-1 \times N-1$ matrix) is
$$
A=\left(\begin{array}{ccccc}
-2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \
1 & -2 & 1 & 0 & \cdots \
& & \vdots & & \
0 & \cdots & 1 & -2 & 1 \
0 & \cdots & 0 & 1 & -2
\end{array}\right)
$$
For Dirichlet boundary conditions, the Matlab codes are FEuler_diffusion_dirichlet.m, BEuler_diffusion_Dirichlet.m, and CN_diffusion_Dirichlet.m for forward Euler, backward Euler, and Crank-Nicolson methods, respectively.

数学代写|微分方程代写differential equation代考|Birth-Death with Diffusion

Suppose that there is some population or chemical species $U$ that diffuses on an infinite domain and experiences either decay, as in
$$
U \stackrel{\alpha}{\longrightarrow} \emptyset,
$$
or birth via asexual duplication as in
$$
U \stackrel{\alpha}{\longrightarrow} 2 U
$$
Setting $u=[U]$, the equation describing the evolution of this population is
$$
\frac{\partial u}{\partial t}=D \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\sigma \alpha u,
$$
where $\alpha>0, \sigma=-1$ for decay, and $\sigma=1$ for growth.
As an example, suppose that signaling molecules are produced at some point, and that the target of the signal is some distance away. Specifically, many copies of a transcription factor may be made when only one is needed to activate transcription of a gene. What percentage, if any, of the signaling molecules reach the target before they degrade? Roughly $10^{8}$ sperm cells are initially released to reach the oocyte in human fertilization when only one is required. What are the consequences of releasing fewer sperm cells? This could also be a model to determine the distribution of seeds falling

to the ground after release from a seed pod into the air. This seed dispersal problem is discussed more in Chapter $13 .$

Let’s begin our study of this problem of diffusion with decay with a stochastic simulation. To do this, we modify the algorithm from Chapter 4 that simulates diffusing particles to account for the possibility of degradation. At each time step, the particle can move or degrade, and if it degrades, its motion is terminated. The Matlab code to implement this is titled decay_probability.m, and the result of a simulation is shown in Figure 6.1. What we see in this figure may be a bit surprising; the distribution of decay position is clearly not a Gaussian distribution. But what is it?

数学代写|微分方程代写differential equation代考|MATH2021

微分方程代考

数学代写|微分方程代写differential equation代考|Numerical Methods

第一种数值模拟扩散方程的方法是我们已经使用过的方法,即线法。使用这种方法,我们将空间区域离散化为一个网格,其中的点位于Xj=jΔX, j=0,1,…,ñ,然后将扩散方程近似写为常微分方程组

d在jd吨=DΔX2(在j+1−2在j+在j−1).
在端点处,取方程为

d在0d吨=2DΔX2(在1−在0),d在ñd吨=2DΔX2(在j−1−在ñ).
这种选择是从近似到导数得出的在,∂在∂X|X=jΔX≈在j+1−在j−12ΔX,因此在边界处,零导数 (Neumann) 边界条件意味着在−1=在1, 和在ñ+1=在ñ−1. (点在j=−1和j=ñ+1被称为鬼点,对这种计算很有用,但实际上从未计算过。)

然后使用数值常微分方程求解器模拟该方程组。用于 Neumann 或 Robin 边界条件的 Matlab 代码标题为 Diffusion_NK_via_MUL.m,Dirichlet 边界条件的标题为 Diffusion_Dirichlet_via_MOL.m。

方便以后讨论代表在(jΔX,吨)作为向量在(吨)=(在j),然后使用向量/矩阵表示法将 (5.37) 重写为

d在d吨=DΔX2一个在
矩阵在哪里一个有对角线元素−2, 和第一个上和下非对角元素 1 ,除了上对角线的第一个元素和下对角线的最后一个元素都是 2,即

一个=(−220⋯0 1−210⋯ ⋮ 0⋯1−21 0⋯02−2)

数学代写|微分方程代写differential equation代考|Other Boundary Conditions

上一节讨论的所有内容都是针对 Neumann 边界条件的。然而,具有不同边界条件的数值方法的唯一区别是矩阵的角条目的定义一个. 对于齐次 Robin 边界条件 (5.23),我们写出近似值

D(在1−在−12ΔX)=d在0,−D(在ñ+1−在ñ−12ΔX)=d在ñ
当代入扩散方程(5.37)的有限差分近似时,得到

d在0d吨=DΔX2(2在1−2(1+dΔXD)在0)

d在ñd吨=DΔX2(2(−1−dΔXD)在ñ+2在ñ−1).
这意味着矩阵一个在(5.40)中需要稍微修改以具有第一个和最后一个对角线元素

一个1,1=−2−2dΔXD,一个ñ+1,ñ+1=−2−2dΔXD
对于齐次狄利克雷边界条件,未知变量为在j, j=1,2,…,在ñ−1,(Neumann 和 Robin 条件下小于两个)和有限差分近似 (5.37)在1和在ñ 

 (5.56) d在1d吨=DΔX2(在2−2在1),d在ñ−1d吨=DΔX2(−2在ñ−1+在ñ−2)
(自从在0=在ñ=0),因此,矩阵一个(现在是一个ñ−1×ñ−1矩阵)是

一个=(−210⋯0 1−210⋯ ⋮ 0⋯1−21 0⋯01−2)
对于 Dirichlet 边界条件,Matlab 代码分别为 FEuler_diffusion_dirichlet.m、BEuler_diffusion_Dirichlet.m 和 CN_diffusion_Dirichlet.m,用于正向 Euler、反向 Euler 和 Crank-Nicolson 方法。

数学代写|微分方程代写differential equation代考|Birth-Death with Diffusion

假设有一些种群或化学物种在它扩散到无限的领域并经历衰变,如

在⟶一个∅,
或通过无性复制出生,如

在⟶一个2在
环境在=[在],描述这个种群进化的方程是

∂在∂吨=D∂2在∂X2+σ一个在,
在哪里一个>0,σ=−1腐烂,和σ=1为了成长。
举个例子,假设信号分子是在某个点产生的,并且信号的目标距离很远。具体而言,当只需要一个来激活基因的转录时,可能会产生许多拷贝的转录因子。信号分子在降解之前达到目标的百分比(如果有的话)?大致108当只需要一个时,精子细胞最初会在人类受精过程中被释放以到达卵母细胞。释放更少的精子细胞会有什么后果?这也可以作为确定落下种子分布的模型

从种子荚释放到空中后落到地面上。种子传播问题将在本章中详细讨论13.

让我们通过随机模拟开始研究这个带有衰减的扩散问题。为此,我们修改了第 4 章中模拟扩散粒子的算法,以考虑降解的可能性。在每个时间步,粒子可以移动或退化,如果退化,它的运动就会终止。实现这一点的 Matlab 代码名为 decay_probability.m,仿真结果如图 6.1 所示。我们在这张图中看到的可能有点令人惊讶;衰减位置的分布显然不是高斯分布。但它是什么?

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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