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微分方程（ODE）是一个微分方程，包含一个或多个独立变量的函数以及这些函数的导数。术语普通是与术语偏微分方程相对应的，后者可能与一个以上的独立变量有关。
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数学代写|微分方程代写differential equation代考|Background Material
1.1.1. Partial Derivatives. In what is to come, we will be dealing with functions of both space and time. We may be interested in the electrolyte balance within muscle tissue, or the distribution of microorganisms occupying a lake; either way, we are studying how something occupying a region in space evolves over time. We often describe position in this space by using the Cartesian coordinates $x, y$, and $z$, and time by the variable $t$ (although other coordinate representations like polar or spherical coordinates are sometimes useful).
The quantity of interest may be the concentration (= number per unit volume) of calcium ions in a cell or the concentration of microorganisms in the lake, but it is typically denoted by some scalar function $u=u(x, y, z, t)$. If $u$ changes smoothly in time, then it has a time derivative $\frac{\partial u}{\partial t}$ defined by ${ }^{1}$
$$
\frac{\partial u}{\partial t}=\lim {\Delta t \rightarrow 0} \frac{u(x, y, z, t+\Delta t)-u(x, y, z, t)}{\Delta t} $$ The fundamental theorem of calculus states that $$ u(x, y, z, b)-u(x, y, z, a)=\int{a}^{b} \frac{\partial u}{\partial t} d t
$$
In words, the cumulative change in $u$ over an interval of time can be measured by observing the difference between $u$ at the end and the beginning of the interval.
Similarly, if $u$ varies smoothly in space, spatial derivatives can be defined, such as
$$
\frac{\partial u}{\partial x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{u(x+\Delta x, y, z, t)-u(x, y, z, t)}{\Delta x},
$$
and this is one component of the gradient of $u$, the vector-valued function
$$
\nabla u=\left(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z}\right)
$$
The gradient holds all of the information we need about how $u$ changes in space, but since there are an infinite number of directions in which we could move from a particular point, to find the derivative of $u$ in a particular direction, $\mathbf{v}$, where $\mathbf{v}$ is a unit vector, we define the directional derivative,
$$
\frac{\partial u}{\partial \mathbf{v}}=\nabla u \cdot \mathbf{v} \text {. }
$$
One important object that uses the gradient is
$$
\mathbf{n}=\frac{\nabla u}{|\nabla u|},
$$
which, provided $|\nabla u| \neq 0$, is a unit vector pointing in the direction of the greatest increase of the function $u$. The importance of this to a skier or snowboarder is obvious, pointing in the direction parallel to the “fall-line”. It is also noteworthy that $\mathbf{n}$ is perpendicular (orthogonal) to level surfaces of the function $u$. We can verify this by noting that if $(x(s), y(s), z(s))$ is a curve in space parametrized by $s$, the tangent direction of the curve is the vector $(\dot{x}(s), \dot{y}(s), \dot{z}(s))$. If the function $u(x, y, z)$ is a constant on this curve, $u(x(s), y(s), z(s))=C$, then differentiating this with respect to $s$, we find that
$$
0=\frac{\partial u}{\partial x} \dot{x}(s)+\frac{\partial u}{\partial y} \dot{y}(s)+\frac{\partial u}{\partial z} \approx(s) \equiv \nabla u \cdot\left(\begin{array}{c}
\dot{x}(s) \
\dot{y}(s) \
\dot{z}(s)
\end{array}\right)
$$
as claimed.
数学代写|微分方程代写differential equation代考|Ordinary Differential Equations
1.2.1. First Order Equations. An nrdinary differential equation specifies a relationship between the (time) derivative of some quantity $u$ and its values through, say,
$$
\frac{d u}{d t}=f(u, t) .
$$
This equation is autonomous if $f$ is independent of $t$, so that
$$
\frac{d u}{d t}=f(u) .
$$
Many of the problems discussed in this book are autonomous in time.
If $u$ is a scalar quantity, the solution of equation (1.25) can be readily understood using graphical means, i.e., by plotting $\frac{d u}{d t}$ vs. $u$. An example is shown in Figure $1.1$.
Figure 1.1. Plot of $\frac{d u}{d t}$ vs. $u$ for the bistable function $f(u)=a u(1-u)(u-\alpha)$ with $\alpha=0.25, a=10 .$
The first things to notice are the zeros of $f(u)$, i.e., the equilibria. For the example $f(u)=a u(u-1)(\alpha-u)$, shown in Figure 1.1, the equilibria are at $u_{0}=0, u_{0}=$ $\alpha$, and $u_{0}=1$. Next, one can determine the direction of movement if $u$ is not at an equilibrium. These are shown with arrows in Figure 1.1. For example, if $00$ so that $u$ is increasing there. This is our first indication that $u_{0}=0$ and $u_{0}=1$ are stable equilibria, while $u_{0}=\alpha$ is unstable.
The next thing to do is to linearize the equations about the equilibria. Linearization is a very important procedure by which one reduces a nonlinear equation to a linear equation. ${ }^{3}$ It is a good idea to understand it thoroughly, because it is used often in this text.
数学代写|微分方程代写differential equation代考|Systems of first order equations
1.2.2. Systems of first order equations. We now turn our attention to systems of first order equations, which can still be written in the form of (1.24) provided we recognize that $u$ is a vector, rather than a scalar, quantity. The most important example for this text is when there are two unknown scalar functions $u(t)$ and $v(t)$ and the equations describing their evolution are in the form
$$
\begin{aligned}
\frac{d u}{d t} &=f(u, v) \
\frac{d v}{d t} &=g(u, v)
\end{aligned}
$$
As with first order equations, a useful way to proceed is with a graphical, or phase plane, analysis. The first step of this analysis is to plot the nullclines, the curves in the $u-v$ plane along which either $u$ or $v$ do not change, i.e., $\frac{d u}{d t}=0$ or $\frac{d v}{d t}=0$.
There are many examples of this procedure in this book, however, for purposes of illustration, let’s look at solutions of the second order differential equation
$$
\frac{d^{2} u}{d t^{2}}+f(u)=0
$$
where $f(u)=a u(1-u)(u-\alpha)$, the same function as used above. To write this equation as a first order system, we set $v=\frac{d u}{d t}$, and then the equations are
$$
\begin{aligned}
&\frac{d u}{d t}=v \
&\frac{d v}{d t}=-f(u)
\end{aligned}
$$
The nullclines for this system are easily determined, being the line $v=0$ for the $u$ nullcline, and $f(u)=0$ for the $v$ nullclines, i.e., the lines $u=0, u=\alpha$, and $u=1$. These are shown plotted in Figure $1.3$ as dashed lines.
The next step is to identify all the critical points, i.e., the points at which $\frac{d u}{d t}$ and $\frac{d v}{d t}$ are simultaneously zero, hence, points of equilibrium. These are, of course, all the intersections of the $u$ and $v$ nullclines. For this example, they are the points with $v=0$ and $u=0, \alpha$ and 1 .
微分方程代考
数学代写|微分方程代写differential equation代考|Background Material
1.1.1。偏导数。在接下来的内容中，我们将处理空间和时间的功能。我们可能对肌肉组织内的电解质平衡或占据湖泊的微生物分布感兴趣；无论哪种方式，我们都在研究占据空间区域的事物如何随着时间的推移而演变。我们经常使用笛卡尔坐标来描述这个空间中的位置X,是， 和和, 和时间由变量吨（尽管有时极坐标或球坐标等其他坐标表示很有用）。
感兴趣的量可能是细胞中钙离子的浓度（=每单位体积的数量）或湖中微生物的浓度，但它通常由一些标量函数表示在=在(X,是,和,吨). 如果在随时间平滑变化，则有时间导数∂在∂吨被定义为1
∂在∂吨=林Δ吨→0在(X,是,和,吨+Δ吨)−在(X,是,和,吨)Δ吨微积分基本定理指出
在(X,是,和,b)−在(X,是,和,一个)=∫一个b∂在∂吨d吨
换句话说，累积变化在可以通过观察一段时间内的差异来测量在在间隔的结束和开始。
同样，如果在在空间上平滑变化，可以定义空间导数，例如
∂在∂X=林ΔX→0在(X+ΔX,是,和,吨)−在(X,是,和,吨)ΔX,
这是梯度的一个组成部分在, 向量值函数
∇在=(∂在∂X,∂在∂是,∂在∂和)
梯度包含我们需要的所有信息在空间的变化，但是由于我们可以从一个特定点移动的方向有无数个，因此要找到在在特定的方向，在， 在哪里在是单位向量，我们定义方向导数，
∂在∂在=∇在⋅在.
使用渐变的一个重要对象是
n=∇在|∇在|,
其中，提供|∇在|≠0, 是指向函数最大增量方向的单位向量在. 这对滑雪者或单板滑雪者的重要性是显而易见的，指向与“下降线”平行的方向。还值得注意的是n与函数的水平面垂直（正交）在. 我们可以通过注意到如果(X(s),是(s),和(s))是一条空间曲线，参数化为s，曲线的切线方向为向量(X˙(s),是˙(s),和˙(s)). 如果函数在(X,是,和)在这条曲线上是一个常数，在(X(s),是(s),和(s))=C，然后将其区分为s, 我们发现
0=∂在∂XX˙(s)+∂在∂是是˙(s)+∂在∂和≈(s)≡∇在⋅(X˙(s) 是˙(s) 和˙(s))
如声称的那样。
数学代写|微分方程代写differential equation代考|Ordinary Differential Equations
1.2.1。一阶方程。一个普通微分方程指定了某个量的（时间）导数之间的关系在以及它的价值，比如说，
d在d吨=F(在,吨).
这个方程是自治的，如果F独立于吨， 以便
d在d吨=F(在).
本书中讨论的许多问题在时间上都是自主的。
如果在是一个标量，方程（1.25）的解可以很容易地使用图形方法来理解，即通过绘制d在d吨对比在. 一个例子如图所示1.1.
图 1.1。情节d在d吨对比在对于双稳态函数F(在)=一个在(1−在)(在−一个)和一个=0.25,一个=10.
首先要注意的是零F(在)，即均衡。例如F(在)=一个在(在−1)(一个−在)，如图 1.1 所示，平衡点位于在0=0,在0= 一个， 和在0=1. 接下来，可以确定运动的方向，如果在不处于平衡状态。这些在图 1.1 中用箭头表示。例如，如果00以便在那里正在增加。这是我们的第一个迹象表明在0=0和在0=1是稳定的平衡，而在0=一个不稳定。
接下来要做的是线性化关于平衡的方程。线性化是一个非常重要的过程，通过它可以将非线性方程简化为线性方程。3彻底理解它是个好主意，因为它在本文中经常使用。
数学代写|微分方程代写differential equation代考|Systems of first order equations
1.2.2。一阶方程组。我们现在将注意力转向一阶方程组，只要我们认识到在是一个向量，而不是一个标量，数量。本文最重要的例子是当有两个未知的标量函数时在(吨)和在(吨)描述它们演化的方程是
d在d吨=F(在,在) d在d吨=G(在,在)
与一阶方程一样，一种有用的方法是使用图形或相平面分析。该分析的第一步是绘制零斜线，即在−在沿哪个平面在或者在不要改变，即d在d吨=0或者d在d吨=0.
本书中有很多这个过程的例子，然而，为了说明的目的，让我们看看二阶微分方程的解
d2在d吨2+F(在)=0
在哪里F(在)=一个在(1−在)(在−一个)，与上面使用的功能相同。为了把这个方程写成一阶系统，我们设置在=d在d吨，然后方程是
d在d吨=在 d在d吨=−F(在)
该系统的零斜线很容易确定，即在=0为了在零斜线，和F(在)=0为了在nullclines，即线条在=0,在=一个， 和在=1. 这些显示在图1.3作为虚线。
下一步是识别所有关键点，即d在d吨和d在d吨同时为零，因此是平衡点。当然，这些都是在和在空斜线。对于这个例子，它们是与在=0和在=0,一个和 1。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
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回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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