数学代写|微分方程代写differential equation代考|MATH4403

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微分方程(ODE)是一个微分方程,包含一个或多个独立变量的函数以及这些函数的导数。术语普通是与术语偏微分方程相对应的,后者可能与一个以上的独立变量有关。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|微分方程代写differential equation代考|MATH4403

数学代写|微分方程代写differential equation代考|An Agent-Based Approach

A popular way to simulate a population of particles is with an agent-based (or individual-based) approach, in which particles are tracked separately, but simultaneously.

Suppose, for example, we want to simulate a population (say, several hundred) of one dimensional run and tumble organisms. In the last section, we followed the motion of individuals one at a time, using a next reaction time algorithm to determine changes of state and position. This will not work for following several particles at once, since the transitions and movement are not synchronous.

So how does an agent-based approach work? We suppose that there are $N$ particles with position $x_{n}, n=1,2, \ldots, N$, each in state $s_{n}, n=1,2, \ldots, N$, where $s_{j}$ is one of the $K$ possible states $1,2, \ldots, K$. Now, there are rules for how a particle in state $k$ moves, say, with velocity $v(k)=v_{k}$, and there are rates for transitioning between states, say $\lambda_{j k}$ is the rate of transitioning from state $k$ to state $j$. We discretize time with a fixed time step $\Delta t$, and with each time step, let $\lambda_{j k} \Delta t$ be the probability of changing from the state $k$ to state $j$. The algorithm proceeds by first moving each particle by the amount $v\left(s_{n}\right) \Delta t$ and then modifying the states based on the probabilities $\lambda_{j k} \Delta t$ and $N$ uniformly distributed random numbers $R_{n}$.

To be specific, for the one dimensional run and tumble model, there are three states, say, $s={1,2,3}$ corresponding to leftward, resting, and rightward motion. The velocities in these three states are $-v, 0, v$, respectively. The rates of transition are $\lambda_{21}=\lambda_{23}=k_{\text {off }}$ and $\lambda_{12}=\lambda_{32}=\frac{k_{\text {on }}}{2}$.

The Matlab code that simulates this agent-based particle movement for run and tumble particles in one dimension is titled agent_based_run_and_tumble.m.

A reason that agent-based modeling is both useful and popular is that the rules for movement and change of state can be diverse and can be easily simulated, even though a partial differential equation description of the dynamics may not be known. We use agent-based modeling throughout this book, especially in Chapter 14 on Collective Behavior, where we discuss swarming behaviors of things like flying birds.

数学代写|微分方程代写differential equation代考|On an Infinite Domain

If the domain is the infinite line, and the initial data are concentrated at the origin, a solution is the normal distribution $\mathcal{N}(0,2 D t)$, found in Chapter 3 and given by
$$
u(x, t)=\frac{1}{\sqrt{4 \pi D t}} \exp \left(-\frac{x^{2}}{4 D t}\right)
$$
If the domain is the two dimensional plane, we look for radially symmetric solutions, and therefore need a solution of the equation
$$
\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{D}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial u}{\partial r}\right),
$$
where $r$ is the radius. We guess a solution of the form
$$
u(r, t)=\frac{1}{a(t)} \exp \left(\frac{-r^{2}}{b(t)}\right),
$$
and find it must be that
$$
a\left(\frac{d b}{d t}-4 D\right) r^{2}+4 a b D-b^{2} \frac{d a}{d t}=0
$$
for all $r$. This is a quadratic polynomial in $r$ which can be identically zero for all $r$ only if the individual coefficients of powers of $r$ are zero, or, that
$$
\frac{d b}{d t}=4 D, \quad \frac{d a}{d t}=4 D \frac{a}{b}
$$

so that $b(t)=4 D t, a(t)=a_{0} t$. Consequently, the solution is
$$
u(r, t)=\frac{1}{4 \pi D t} \exp \left(\frac{-r^{2}}{4 D t}\right),
$$
and this solution has the property
$$
2 \pi \int_{0}^{\infty} u(r, t) r d r=1
$$
for all time. Furthermore, the percentage of the population contained within a circle of radius $R$ is given by
$$
2 \pi \int_{0}^{R} u(r, t) r d r=\int_{0}^{R} \frac{1}{2 D t} \exp \left(\frac{-r^{2}}{4 D t}\right) r d r=1-\exp \left(\frac{-R^{2}}{4 D t}\right)
$$
confirming what we observed in the particle diffusion simulation in the last chapter. (See Figures $4.5$ and 4.6.)

数学代写|微分方程代写differential equation代考|On the Semi-infinite Line

Suppose that a long capillary, open at one end, with uniform cross-sectional area $A$ and filled with water, is inserted into a solution of known chemical concentration $u_{0}$, and the chemical species is free to diffuse into the capillary through the open end. Since the concentration of the chemical species depends only on the distance along the tube and time, it is governed by the diffusion equation (3.2), and for convenience we assume that the capillary is infinitely long, so that $0<x<\infty$. Because the solute bath in which the capillary sits is large, it is reasonable to assume that the chemical concentration at the tip is fixed at $u(0, t)=u_{0}$, and since the tube is initially filled with pure water, $u(x, 0)=0$ for all $x, 0<x<\infty$.

There are (at least) two ways to find the solution of this problem. One is to use the Fourier-Sine transform, a technique which is beyond the scope of this text (but you can learn about it in [34]). The second is to make a lucky (or semi-informed) guess. Here, we make the guess that the solution should be of the form $u(x, t)=f(\xi)$, where $\xi=\frac{x}{\sqrt{2 D t}}$. Substitute this guess into the diffusion equation and find
$$
f^{\prime} \xi+f^{\prime}=0 .
$$
This is a separable equation for $f^{\prime}$ and can be written as
$$
\frac{d f^{\prime}}{f^{\prime}}=-\xi d \xi
$$
so that
$$
\frac{d f}{d \xi}=a \exp \left(-\frac{\xi^{2}}{2}\right)
$$
where $a$ is a yet to be determined constant. From this we determine that a solution of the diffusion equation is given by
$$
u(x, t)=b+a \int_{0}^{z} \exp \left(-\frac{s^{2}}{2}\right) d s, \quad z=\frac{x}{\sqrt{2 D t}},
$$
with constants $a$ and $b$ determined from boundary and initial data. Setting $x=z=0$, and requiring $u(0, t)=u_{0}$ determines that $b=u_{0}$. Setting $t=0$, i.e., $z=\infty$, and requiring $u(x, 0)=0$ implies that $a=-u_{0} \sqrt{\frac{2}{\pi}}$, and consequently,
$$
u(x, t)=u_{0}\left(1-\sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_{0}^{z} \exp \left(-\frac{s^{2}}{2}\right) d s\right), \quad z=\frac{x}{\sqrt{2 D t}}
$$
Plots of this solution plotted as a function of $z$ (a surrogate for $x$ ), and as a function of $z^{-\frac{1}{2}}$ (a surrogate for $t$ ) are shown in Figure $5.1$ and were made using Matlab code tube_diffusion.m.

数学代写|微分方程代写differential equation代考|MATH4403

微分方程代考

数学代写|微分方程代写differential equation代考|An Agent-Based Approach

模拟粒子群的一种流行方法是使用基于代理(或基于个体)的方法,其中粒子被单独跟踪,但同时进行。

例如,假设我们要模拟一维奔跑和翻滚生物的种群(例如,数百个)。在上一节中,我们一次跟随一个人的运动,使用下一个反应时间算法来确定状态和位置的变化。这不适用于一次跟随多个粒子,因为过渡和移动不是同步的。

那么基于代理的方法是如何工作的呢?我们假设有ñ有位置的粒子Xn,n=1,2,…,ñ, 每个都处于状态sn,n=1,2,…,ñ, 在哪里sj其中一个ķ可能的状态1,2,…,ķ. 现在,对于粒子如何处于状态有一些规则ķ比如说,以速度移动在(ķ)=在ķ,并且有状态之间的转换率,比如说λjķ是从状态转换的速率ķ陈述j. 我们用固定的时间步长离散时间Δ吨,并且随着每个时间步长,让λjķΔ吨是从状态改变的概率ķ陈述j. 该算法首先将每个粒子移动一定量在(sn)Δ吨然后根据概率修改状态λjķΔ吨和ñ均匀分布的随机数Rn.

具体来说,对于一维奔跑和翻滚模型,存在三种状态,例如,s=1,2,3对应于向左、静止和向右运动。这三种状态下的速度是−在,0,在, 分别。过渡率是λ21=λ23=ķ离开 和λ12=λ32=ķ上 2.

模拟这种基于代理的粒子在一维中运行和翻滚的粒子运动的 Matlab 代码名为 agent_based_run_and_tumble.m。

基于代理的建模既有用又流行的一个原因是,运动和状态变化的规则可以是多种多样的,并且可以很容易地模拟,即使可能不知道动力学的偏微分方程描述。我们在整本书中都使用了基于代理的建模,特别是在第 14 章集体行为中,我们讨论了像飞鸟这样的物体的集群行为。

数学代写|微分方程代写differential equation代考|On an Infinite Domain

如果域是无限线,并且初始数据集中在原点,则解为正态分布ñ(0,2D吨), 在第 3 章中找到并由

在(X,吨)=14圆周率D吨经验⁡(−X24D吨)
如果域是二维平面,我们寻找径向对称解,因此需要方程的解

∂在∂吨=Dr∂∂r(r∂在∂r),
在哪里r是半径。我们猜测形式的解决方案

在(r,吨)=1一个(吨)经验⁡(−r2b(吨)),
并发现它一定是

一个(dbd吨−4D)r2+4一个bD−b2d一个d吨=0
对所有人r. 这是一个二次多项式r所有的都可以为零r仅当单个幂系数为r为零,或者,

dbd吨=4D,d一个d吨=4D一个b

以便b(吨)=4D吨,一个(吨)=一个0吨. 因此,解决方案是

在(r,吨)=14圆周率D吨经验⁡(−r24D吨),
该解决方案具有以下属性

2圆周率∫0∞在(r,吨)rdr=1
一直以来。此外,半径圆内包含的人口百分比R是(谁)给的

2圆周率∫0R在(r,吨)rdr=∫0R12D吨经验⁡(−r24D吨)rdr=1−经验⁡(−R24D吨)
证实了我们在上一章的粒子扩散模拟中观察到的情况。(见图4.5和 4.6.)

数学代写|微分方程代写differential equation代考|On the Semi-infinite Line

假设一根长毛细管,一端开口,横截面积均匀一个并充满水,插入已知化学浓度的溶液中在0,并且化学物质通过开口端自由地扩散到毛细管中。由于化学物质的浓度仅取决于沿管的距离和时间,它由扩散方程(3.2)控制,为方便起见,我们假设毛细管​​是无限长的,因此0<X<∞. 由于毛细管所在的溶质浴很大,因此可以合理地假设尖端的化学浓度固定为在(0,吨)=在0,并且由于管子最初充满纯水,在(X,0)=0对所有人X,0<X<∞.

有(至少)两种方法可以找到这个问题的解决方案。一种是使用傅里叶-正弦变换,这是一种超出本文范围的技术(但您可以在 [34] 中了解它)。第二个是做一个幸运的(或半明智的)猜测。在这里,我们猜测解的形式应该是在(X,吨)=F(X), 在哪里X=X2D吨. 将此猜测代入扩散方程并找到

F′X+F′=0.
这是一个可分方程F′并且可以写成

dF′F′=−XdX
以便

dFdX=一个经验⁡(−X22)
在哪里一个是一个尚未确定的常数。由此我们确定扩散方程的解由下式给出

在(X,吨)=b+一个∫0和经验⁡(−s22)ds,和=X2D吨,
有常数一个和b由边界和初始数据确定。环境X=和=0,并且要求在(0,吨)=在0确定b=在0. 环境吨=0, IE,和=∞,并且要求在(X,0)=0暗示一个=−在02圆周率, 因此,

在(X,吨)=在0(1−2圆周率∫0和经验⁡(−s22)ds),和=X2D吨
此解决方案的图绘制为函数和(一个替代品X),并且作为和−12(一个替代品吨) 如图5.1并使用 Matlab 代码 tube_diffusion.m 制作。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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