数学代写|微分方程代写differential equation代考|MATHS 2102

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微分方程(ODE)是一个微分方程,包含一个或多个独立变量的函数以及这些函数的导数。术语普通是与术语偏微分方程相对应的,后者可能与一个以上的独立变量有关。

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数学代写|微分方程代写differential equation代考|MATHS 2102

数学代写|微分方程代写differential equation代考|Discrete Boxes

Suppose there are a number of boxes connected side-by-side along a one-dimensional line, with concentration of some chemical species $u_{j}$ in box $j,-\infty<j<\infty$. Now suppose that the chemical leaves box $j$ at rate $2 \lambda$, so that the concentration in box $j$ is governed by
$$
\frac{d u_{j}}{d t}=-2 \lambda u_{j},
$$
provided there is no inflow. This is exactly the decay process described in Section 1.3.1. However, here we assume that the particles that flow out of box $j$ are evenly split to go into the neighboring boxes $j-1$ and $j+1$. Consequently, half of the particles that leave boxes $j-1$ and $j+1$ enter box $j$, so that
$$
\frac{d u_{j}}{d t}=\lambda u_{j-1}-2 \lambda u_{j}+\lambda u_{j+1}
$$

It is a straightforward matter to simulate this system of ordinary differential equations. The Matlab file to do so is titled diffusion_via_MOL.m, and you are encouraged to run this code to see if what happens matches with your intuition.

Now suppose that $u_{j}$ is a sample of a smooth function $u(x, t)$ at points $x=j \Delta x$, i.e., $u_{j}=u(j \Delta x, t)$. Using Taylor’s theorem,
$$
\begin{aligned}
u_{j \pm 1} \equiv & u\left(x_{j} \pm \Delta x, t\right) \
=& u\left(x_{j}, t\right) \pm \Delta x \frac{\partial}{\partial x} u\left(x_{j}, t\right)+\frac{1}{2} \Delta x^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} u\left(x_{j}, t\right) \
& \pm \frac{1}{6} \Delta x^{3} \frac{\partial^{3}}{\partial x^{3}} u\left(x_{j}, t\right)+O\left(\Delta x^{4}\right)
\end{aligned}
$$
Substituting this Taylor series into (3.4), It follows that
$$
\frac{\partial u}{\partial t}=\lambda \Delta x^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+O\left(\Delta x^{4}\right)
$$
which, keeping only the largest terms in $\Delta x$, is the diffusion equation with diffusion constant $D=\lambda \Delta x^{2}$.

数学代写|微分方程代写differential equation代考|A Random Walk

Consider the problem where we take a number of random steps at discrete times, and for each step we make a decision to take a step of length $m \Delta x$ where $m=-1,0$, or 1 , with probability $\alpha, 1-2 \alpha$, and $\alpha$, respectively. Let $x_{n}$ be the position after $n$ steps, $x_{n}=\Delta x \sum_{j=1}^{n} m_{j}$.

The first thing to do here is to simulate this process. This is easy to do, and the Matlab code for this is entitled discrete_random_walk.m. (Or, with a group of friends or classmates, perform this experiment for yourselves, taking steps on a sidewalk to the left when a coin flip gives heads and a step to the right when a coin flip gives tails.) Examples of sample paths for this process are shown in Figure 3.1(a) and the mean squared displacement $\left\langle x_{n}^{2}\right\rangle$, defined as $\left\langle x_{n}^{2}\right\rangle=\frac{1}{N} \sum_{N \text { trials }} x_{n}^{2}$, as a function of time step $n$, averaged over $N=1000$ particle trajectories, is shown in Figure 3.1(b).

Lel’s nuw salculate the probability that $x_{n}$ has the value $k \Delta x$, denuted $p_{k, n}=$ $P\left(x_{n}=k \Delta x\right)$
$$
p_{k, n}=\alpha p_{k-1, n-1}+(1-2 \alpha) p_{k, n-1}+\alpha p_{k+1, n-1} .
$$
In words, the probability that $x_{n}$ is $k \Delta x$ is the sum of three terms, $\alpha$ times the probability that $x_{n-1}$ is $(k-1) \Delta x, \alpha$ times the probability that $x_{n-1}$ is $(k+1) \Delta x$, and $1-2 \alpha$ times the probability that $x_{n-1}$ is $k \Delta x$. Now, suppose that $p_{k, n}=P\left(x_{n}=k \Delta x\right)$ is the sampling of a smooth function $p(x, t)$, where $p_{k, n}=P\left(x_{n}=k \Delta x\right)=p(k \Delta x, n \Delta t)$. Again, using Taylor series, it follows that, to leading order in $\Delta t$ and $\Delta x$ (i.e., keeping only the largest terms in $\Delta t$ and $\Delta x$,
$$
\frac{\partial p}{\partial t}=\alpha \frac{\Delta x^{2}}{\Delta t} \frac{\partial^{2} p}{\partial x^{2}}
$$
which is, once again, the diffusion equation, with diffusion coefficient $D=\alpha \frac{\Delta x^{2}}{\Delta t}$. This is the same diffusion coefficient as above if we make the identification $\lambda=\frac{\alpha}{\Delta t}$.

数学代写|微分方程代写differential equation代考|The Cable Equation

The third derivation of the diffusion equation comes from a completely different, and perhaps surprising, consideration.

The membrane of a cell is a phospholipid bilayer that acts as a barrier to the movement of ions between the intracellular (inside) and extracellular (outside) spaces. As a barrier, it can store charge much like a capacitor. Further, the movement of ions across a membrane is carefully regulated and they flow through a variety of ion channels. This is true for many electrically active cells, including neurons, cardiac cells, and smooth muscle cells. For example, the neurons studied by Hodgkin and Huxley (see Exercise 1.11) have three different ion species that flow through ion channels. These are depicted in Figure $3.2$ as $I_{N a}, I_{K}$, and $I_{l}$, for sodium, potassium, and leak, respectively. Consequently, the electrical nature of these cells can be described by a capacitor (the membrane) and resistors (the ion channels) in parallel, as shown in the circuit diagram in Figure 3.2. For this diagram there are two transmembrane currents, the ionic currents $I_{\text {ion }}$, and the capacitive current. The fundamental law of capacitance states that the total charge on the capacitor is capacitance times voltage, $Q=C_{m} V$, where $C_{m}$ is the membrane capacitance, and $V=V_{i}-V_{e}$ is the transmembrane voltage potential, $V_{i}$ and $V_{e}$ are the intracellular and extracellular voltage potentials, respectively. This implies that the capacitive current is $I_{c}=\frac{d Q}{d t}=C_{m} \frac{d V}{d t}$. Thus, the total transmembrane current, $I_{t}$, is the sum of capacitive and ionic currents, i.e.,
$$
C_{m} \frac{d V}{d t}+I_{\text {ion }}=I_{t} .
$$
This model applies only for a small homogeneous patch of membrane. However, nerve cells, or neurons, have axons, that are long slender cylindrical projections that extend away from the neuron’s cell body, or soma, and can be quite long (cf. Figure 3.3). For example, the human sciatic nerve originates in the lower back and extends down the back of the thigh and leg, ending in the foot.

To incorporate the effects of an elongated membrane, we view the axon as a long cylindrical piece of membrane surrounding an interior of cytoplasm (called a cable), and suppose that everywhere along its length, the potential depends only on the length variable and not on radial or angular variables. We divide the cable into a number of short pieces of isopotential membrane each of length $d x$, two sections of which are depicted in Figure 3.4.

数学代写|微分方程代写differential equation代考|MATHS 2102

微分方程代考

数学代写|微分方程代写differential equation代考|Discrete Boxes

假设有许多沿着一维线并排连接的盒子,其中有一些化学物质的浓度在j在盒子里j,−∞<j<∞. 现在假设化学品离开盒子j以速率2λ, 使箱内的浓度j由

d在jd吨=−2λ在j,
前提是没有流入。这正是 1.3.1 节中描述的衰减过程。但是,这里我们假设流出盒子的粒子j均分进入相邻的盒子j−1和j+1. 因此,离开盒子的粒子有一半j−1和j+1输入框j, 以便

d在jd吨=λ在j−1−2λ在j+λ在j+1

模拟这个常微分方程系统是一件简单的事情。执行此操作的 Matlab 文件的标题是diffusion_via_MOL.m,我们鼓励您运行此代码以查看发生的情况是否符合您的直觉。

现在假设在j是一个平滑函数的样本在(X,吨)在点X=jΔX, IE,在j=在(jΔX,吨). 使用泰勒定理,

在j±1≡在(Xj±ΔX,吨) =在(Xj,吨)±ΔX∂∂X在(Xj,吨)+12ΔX2∂2∂X2在(Xj,吨) ±16ΔX3∂3∂X3在(Xj,吨)+○(ΔX4)
将这个泰勒级数代入(3.4),可以得出

∂在∂吨=λΔX2∂2在∂X2+○(ΔX4)
其中,只保留最大的条款ΔX, 是具有扩散常数的扩散方程D=λΔX2.

数学代写|微分方程代写differential equation代考|A Random Walk

考虑我们在离散时间采取许多随机步骤的问题,并且对于每一步我们决定采取一个长度的步骤米ΔX在哪里米=−1,0, 或 1 , 有概率一个,1−2一个, 和一个, 分别。让Xn成为之后的位置n脚步,Xn=ΔX∑j=1n米j.

这里要做的第一件事就是模拟这个过程。这很容易做到,Matlab 代码命名为discrete_random_walk.m。(或者,和一群朋友或同学一起,自己做这个实验,当抛硬币正面朝左走一步,抛硬币反面走右边一步。)这个过程如图 3.1(a) 和均方位移⟨Xn2⟩, 定义为⟨Xn2⟩=1ñ∑ñ 试验 Xn2, 作为时间步长的函数n, 平均超过ñ=1000粒子轨迹,如图 3.1(b) 所示。

Lel’s nuw 计算出以下概率Xn有价值ķΔX, 表示pķ,n= 磷(Xn=ķΔX)

pķ,n=一个pķ−1,n−1+(1−2一个)pķ,n−1+一个pķ+1,n−1.
换句话说,概率Xn是ķΔX是三项之和,一个乘以概率Xn−1是(ķ−1)ΔX,一个乘以概率Xn−1是(ķ+1)ΔX, 和1−2一个乘以概率Xn−1是ķΔX. 现在,假设pķ,n=磷(Xn=ķΔX)是平滑函数的采样p(X,吨), 在哪里pķ,n=磷(Xn=ķΔX)=p(ķΔX,nΔ吨). 再次,使用泰勒级数,它遵循的是,领先的顺序Δ吨和ΔX(即,只保留最大的项Δ吨和ΔX,

∂p∂吨=一个ΔX2Δ吨∂2p∂X2
这又是扩散方程,具有扩散系数D=一个ΔX2Δ吨. 如果我们进行识别,这与上述相同的扩散系数λ=一个Δ吨.

数学代写|微分方程代写differential equation代考|The Cable Equation

扩散方程的第三个推导来自一个完全不同的、也许令人惊讶的考虑。

细胞膜是一种磷脂双层,可作为离子在细胞内(内部)和细胞外(外部)空间之间移动的屏障。作为屏障,它可以像电容器一样存储电荷。此外,离子穿过膜的运动受到仔细调节,它们流经各种离子通道。这适用于许多电活性细胞,包括神经元、心肌细胞和平滑肌细胞。例如,霍奇金和赫胥黎研究的神经元(见练习 1.11)具有三种不同的离子种类,它们流经离子通道。这些在图3.2作为我ñ一个,我ķ, 和我l,分别用于钠、钾和泄漏。因此,这些电池的电气特性可以通过并联的电容器(膜)和电阻器(离子通道)来描述,如图 3.2 中的电路图所示。对于该图,有两个跨膜电流,离子电流我离子 和电容电流。电容的基本定律指出,电容器上的总电荷是电容乘以电压,问=C米在, 在哪里C米是膜电容,并且在=在一世−在和是跨膜电压,在一世和在和分别是细胞内和细胞外电压。这意味着电容电流是我C=d问d吨=C米d在d吨. 因此,总跨膜电流,我吨, 是电容电流和离子电流的总和,即

C米d在d吨+我离子 =我吨.
该模型仅适用于一小块均匀的膜。然而,神经细胞或神经元具有轴突,轴突是细长的圆柱形突起,从神经元的细胞体或胞体向外延伸,并且可能相当长(参见图 3.3)。例如,人的坐骨神经起源于下背部,向下延伸到大腿和小腿的后部,止于足部。

为了结合拉长膜的影响,我们将轴突视为围绕细胞质内部的长圆柱形膜片(称为电缆),并假设沿其长度的任何地方,电位仅取决于长度变量而不取决于径向或角度变量。我们将电缆分成若干个短片,每片长度为dX,其中的两个部分如图 3.4 所示。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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