数学代写|微积分代写Calculus代写| Cauchy Criterion

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微积分是数学的一个分支,涉及瞬时变化率的计算(微积分)和无限多的小因素相加以确定一些整体(积分微积分)

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数学代写|微积分代写Calculus代写| Cauchy Criterion

数学代写|微积分代写Calculus代写|Cauchy Criterion

In Theorem 1.1.14, we have given a sufficient condition for the convergence of a sequence $\left(a_{n}\right)$, namely, that if $\left(a_{n}\right)$ satisfies
$$
\left|a_{n+2}-a_{n+1}\right| \leq r\left|a_{n+1}-a_{n}\right| \forall n \in \mathbb{N}
$$
for some $r$ with $0m$. Thus, $\left|a_{n}-a_{m}\right|$ can be made arbitrarily small for all large enough $n, m \in \mathbb{N}$. Now, we show that any sequence $\left(a_{n}\right)$ such that $\left|a_{n}-a_{m}\right|$ can be made arbitrarily small for all large enough $n, m \in \mathbb{N}$ actually converges. First, let us formally define the requirement on the sequence.

Definition 1.1.13 A a sequence $\left(a_{n}\right)$ is said to be a Cauchy sequence ${ }^{3}$ if for every $\varepsilon>0$, there exists $N \in \mathbb{N}$ such that
$$
\left|a_{n}-a_{m}\right|<\varepsilon \quad \forall n, m \geq N .
$$
We have already observed in Remark $1.1 .15$ that if $\left(a_{n}\right)$ converges, then it need not satisfy the assumption in Theorem 1.1.14. However, we have the following theorem.
Theorem 1.1.15 Every convergent sequence is a Cauchy sequence.

Proof Suppose $\left(a_{n}\right)$ converges to $a$. Let $\varepsilon>0$ be given. Then we know that there exists $N \in \mathbb{N}$ such that $\left|a_{n}-a\right|<\varepsilon / 2$ for all $n \geq N$. Hence, we have
$$
\left|a_{n}-a_{m}\right| \leq\left|a_{n}-a\right|+\left|a-a_{m}\right|<\varepsilon \forall n, m \geq N
$$
This completes the proof.
Now, we show that the converse of Theorem 1.1.15 is also true. The idea of the proof is akin to the idea used in the proof of Theorem 1.1.14, namely, we first show that $\left(a_{n}\right)$ is a bounded sequence, so that by Bolzano-Weierstrass theorem (Theorem $1.1 .13),\left(a_{n}\right)$ has a subsequence which converges to some $a$, and then show that $\left(a_{n}\right)$ itself converges to $a$.

Theorem 1.1.16 (Cauchy criterion) Every Cauchy sequence of real numbers converges.

Proof Let $\left(a_{n}\right)$ be a Cauchy sequence. Taking $\varepsilon=1$, there exists $N \in \mathbb{N}$ such that
$$
\left|a_{n}-a_{m}\right|<1 \quad \forall n, m \geq N . $$ In particular, for all $n \geq N$, $$ \left|a_{n}\right| \leq\left|\left(a_{n}-a_{N}\right)+a_{N}\right| \leq\left|a_{n}-a_{N}\right|+\left|a_{N}\right| \leq 1+\left|a_{N}\right| . $$ Therefore, $$ \left|a_{n}\right| \leq \max \left\{\left|a_{1}\right|,\left|a_{2}\right|, \ldots,\left|a_{N}\right|, 1+\left|a_{N}\right|\right\} $$ Thus, $\left(a_{n}\right)$ is a bounded sequence. As already mentioned, by Bolzano-Weierstrass theorem (Theorem $1.1 .13),\left(a_{n}\right)$ has a subsequence $\left(a_{k_{n}}\right)$ which converges to some $a$. Now, let $\varepsilon>0$ be given. Then there exist positive integers $N_{1}, N_{2}$ such that
$$
\left|a_{k_{n}}-a\right|<\varepsilon / 2 \quad \forall n \geq N_{1}, \quad\left|a_{n}-a_{k_{n}}\right|<\varepsilon / 2 \quad \forall n \geq N_{2} .
$$
Therefore,
$$
\left|a_{n}-a\right| \leq\left|a_{n}-a_{k_{n}}\right|+\left|a_{k_{n}}-a\right|<\varepsilon / 2+\varepsilon / 2=\varepsilon
$$
for all $n \geq N_{3}:=\max \left{N_{1}, N_{2}\right}$. Thus, $a_{n} \rightarrow a$. This completes the proof.

数学代写|微积分代写Calculus代写|Series of Real Numbers

In the last section we have come across sequences whose terms involve some other sequences. For example, we had sequences such as $\left(a_{n}\right)$ with
(i) $a_{n}=\frac{3}{10}+\frac{3}{10^{2}}+\cdots+\frac{3}{10^{n}}$,
(ii) $a_{n}=1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}$,
(iii) $a_{n}=1+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}$.
Recall that, the sequence in (i) and (iii) converge whereas the sequence in (ii) diverge. In (i), we have also seen that the sequence converges to $\frac{1}{3}$. Because of this we may represent the number $\frac{1}{3}$ as
$$
\frac{1}{3}=\frac{3}{10}+\frac{3}{10^{2}}+\cdots
$$
More generally, we may have a sequence $\left(a_{n}\right)$ of real numbers, and we may form a new sequence $\left(s_{n}\right)$ by defining its $n^{\text {th }}$ term as sum of the first $n$ terms of $\left(a_{n}\right)$, that is,
$$
s_{n}=a_{1}+\cdots+a_{n} .
$$
Then we may enquire whether this new sequence converges or not. In case this sequence $\left(s_{n}\right)$ converge, then we may write its limit as
$$
a_{1}+a_{2}+\cdots
$$
This expression has a special name!

Definition 1.2.1 A series of real numbers is an expression of the form
$$
a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots
$$
or more compactly,
$$
\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}
$$
where $\left(a_{n}\right)$ is a sequence of real numbers. The number $a_{n}$ is called the $n^{\text {th }}$ term of the series and the sum of the first $n$ terms of $\left(a_{n}\right)$, that is,
$$
s_{n}:=a_{1}+\cdots+a_{n},
$$
is called the $n^{\text {th }}$ partial sum of the series.
Remark 1.2.1 Some authors denote a series as the sequence $\left(a_{n}, s_{n}\right)$, where $s_{n}$ is $n^{\text {th }}$ partial sum of the sequence $\left(a_{n}\right)$.
Example 1.2.1 Following are some examples of series:
(i) $\frac{3}{10}+\frac{3}{10^{2}}+\cdots$,
(ii) $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots$,
(iii) $1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots$
Note that in (i), (ii), (iii) above the partial sums are
$$
\sum_{k=1}^{n} \frac{3}{10^{k}}, \quad \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}, \quad \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}}
$$
respectively.

数学代写|微积分代写Calculus代写|Convergence and Divergence of Series

The following definition is on expected lines (Fig. 1.9):
Definition 1.2.2 A series $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ is said to be a convergent series if the corresponding sequence $\left(s_{n}\right)$ of partial sums converges. If $s_{n} \rightarrow s$, then we say that the series $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ converges to $s$, and $s$ is called the sum of the series, and we write this fact as
$$
s=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}
$$

Observe the following: Suppose $a_{n} \geq 0$ for all $n \in \mathbb{N}$. Then the sequence $\left(s_{n}\right)$ of partial sums of the series $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ is monotonically increasing. Hence, in this case, either $\left(s_{n}\right)$ converges or $s_{n} \rightarrow \infty$.
Example 1.2.2 Consider the three series given in Example 1.2.1, i.e.,
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{10^{n}}, \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}, \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}
$$
Note that the partial sums of these series, say $\left(s_{n}^{(1)}\right),\left(s_{n}^{(2)}\right),\left(s_{n}^{(3)}\right)$ with
$$
s_{n}^{(1)}:=\sum_{k=1}^{n} \frac{3}{10^{k}}, \quad s_{n}^{(2)}:=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}, \quad s_{n}^{(3)}:=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}},
$$
are the sequences considered in Examples 1.1.5,1.1.19, 1.1.24, respectively, and we have seen that $\left(s_{n}^{(1)}\right)$ and $\left(s_{n}^{(3)}\right)$ converge, whereas $\left(s_{n}^{(2)}\right)$ diverges. Thus, $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{10^{n}}$ and $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ are convergent series, whereas $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ is a divergent series.
Example 1.2.3 Consider the geometric series
$$
1+q+q^{2}+\cdots
$$
for $q \in \mathbb{R}$. We show that this series converges if and only if $|q|<1$ :
Note that
$$
s_{n}=1+q+\cdots+q^{n-1}= \begin{cases}n & \text { if } q=1 \ \left(1-q^{n}\right) /(1-q) & \text { if } q \neq 1\end{cases}
$$

数学代写|微积分代写Calculus代写| Cauchy Criterion

微积分代考

数学代写|微积分代写Calculus代写|Cauchy Criterion

在定理 1.1.14 中,我们给出了一个序列收敛的充分条件(一个n),即,如果(一个n)满足

|一个n+2−一个n+1|≤r|一个n+1−一个n|∀n∈ñ
对于一些r和0米. 因此,|一个n−一个米|可以任意小到足够大n,米∈ñ. 现在,我们证明任何序列(一个n)这样|一个n−一个米|可以任意小到足够大n,米∈ñ实际上收敛。首先,让我们正式定义对序列的要求。

定义 1.1.13 A a 序列(一个n)据说是柯西序列3如果对于每个e>0, 那里存在ñ∈ñ这样

|一个n−一个米|<e∀n,米≥ñ.
我们已经在 Remark 中观察到1.1.15如果(一个n)收敛,则它不需要满足定理 1.1.14 中的假设。但是,我们有以下定理。
定理 1.1.15 每个收敛序列都是一个柯西序列。

证明假设(一个n)收敛到一个. 让e>0被给予。然后我们知道存在ñ∈ñ这样|一个n−一个|<e/2对所有人n≥ñ. 因此,我们有

|一个n−一个米|≤|一个n−一个|+|一个−一个米|<e∀n,米≥ñ
这样就完成了证明。
现在,我们证明定理 1.1.15 的逆向也是正确的。证明的思想类似于定理 1.1.14 证明中使用的思想,即我们首先证明(一个n)是有界序列,因此由 Bolzano-Weierstrass 定理 (Theorem1.1.13),(一个n)有一个收敛到某个子序列一个,然后证明(一个n)自身收敛到一个.

定理 1.1.16(Cauchy 准则) 每个 Cauchy 实数序列收敛。

证明让(一个n)是一个柯西序列。服用e=1, 那里存在ñ∈ñ这样

|一个n−一个米|<1∀n,米≥ñ.特别是,对于所有n≥ñ,

|一个n|≤|(一个n−一个ñ)+一个ñ|≤|一个n−一个ñ|+|一个ñ|≤1+|一个ñ|.所以,

|一个n|≤最大限度{|一个1|,|一个2|,…,|一个ñ|,1+|一个ñ|}因此,(一个n)是有界序列。如前所述,由 Bolzano-Weierstrass 定理 (Theorem1.1.13),(一个n)有一个子序列(一个ķn)收敛到一些一个. 现在,让e>0被给予。那么存在正整数ñ1,ñ2这样

|一个ķn−一个|<e/2∀n≥ñ1,|一个n−一个ķn|<e/2∀n≥ñ2.
所以,

|一个n−一个|≤|一个n−一个ķn|+|一个ķn−一个|<e/2+e/2=e
对所有人n \geq N_{3}:=\max \left{N_{1}, N_{2}\right}n \geq N_{3}:=\max \left{N_{1}, N_{2}\right}. 因此,一个n→一个. 这样就完成了证明。

数学代写|微积分代写Calculus代写|Series of Real Numbers

在上一节中,我们遇到了术语涉及其他序列的序列。例如,我们有如下序列(一个n)与
(一)一个n=310+3102+⋯+310n,
(ii)一个n=1+12+⋯+1n,
(iii)一个n=1+122+⋯+1n2.
回想一下,(i) 和 (iii) 中的序列收敛,而 (ii) 中的序列发散。在 (i) 中,我们还看到序列收敛到13. 正因为如此,我们可以代表数字13作为

13=310+3102+⋯
更一般地说,我们可能有一个序列(一个n)实数,我们可以形成一个新的序列(sn)通过定义其nth 术语作为第一个的总和n条件(一个n), 那是,

sn=一个1+⋯+一个n.
然后我们可以询问这个新序列是否收敛。如果这个序列(sn)收敛,那么我们可以把它的极限写成

一个1+一个2+⋯
这个表达式有一个特殊的名字!

定义 1.2.1 一系列实数是以下形式的表达式

一个1+一个2+一个3+…
或更紧凑,

∑n=1∞一个n
在哪里(一个n)是实数序列。号码一个n被称为nth 系列的术语和第一个的总和n条件(一个n), 那是,

sn:=一个1+⋯+一个n,
被称为nth 系列的部分和。
备注 1.2.1 一些作者将系列表示为序列(一个n,sn), 在哪里sn是nth 序列的部分和(一个n).
示例 1.2.1 以下是系列的一些示例:
(i)310+3102+⋯,
(ii)1+12+13+⋯,
(iii)1+122+132+⋯
请注意,在上述 (i)、(ii)、(iii) 中,部分总和是

∑ķ=1n310ķ,∑ķ=1n1ķ,∑ķ=1n1ķ2
分别。

数学代写|微积分代写Calculus代写|Convergence and Divergence of Series

以下定义在预期线上(图 1.9):
定义 1.2.2 A 系列∑n=1∞一个n如果对应的数列称为收敛数列(sn)的部分和收敛。如果sn→s,那么我们说这个系列∑n=1∞一个n收敛到s, 和s称为级数之和,我们把这个事实写成

s=∑n=1∞一个n

请注意以下几点:假设一个n≥0对所有人n∈ñ. 然后是序列(sn)系列的部分和∑n=1∞一个n是单调递增的。因此,在这种情况下,要么(sn)收敛或sn→∞.
示例 1.2.2 考虑示例 1.2.1 中给出的三个系列,即

∑n=1∞310n,∑n=1∞1n,∑n=1∞1n2
请注意,这些系列的部分总和,比如(sn(1)),(sn(2)),(sn(3))和

sn(1):=∑ķ=1n310ķ,sn(2):=∑ķ=1n1ķ,sn(3):=∑ķ=1n1ķ2,
分别是示例 1.1.5、1.1.19、1.1.24 中考虑的序列,我们已经看到(sn(1))和(sn(3))收敛,而(sn(2))分歧。因此,∑n=1∞310n和∑n=1∞1n2是收敛级数,而∑n=1∞1n是一个发散的系列。
例 1.2.3 考虑几何级数

1+q+q2+⋯
为了q∈R. 我们证明这个级数收敛当且仅当|q|<1:
请注意

sn=1+q+⋯+qn−1={n 如果 q=1 (1−qn)/(1−q) 如果 q≠1

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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