数学代写|微积分代写Calculus代写|MAST10006

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微积分是数学的一个分支,涉及瞬时变化率的计算(微积分)和无限多的小因素相加以确定一些整体(积分微积分)

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  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|微积分代写Calculus代写|MAST10006

数学代写|微积分代写Calculus代写|Limit of a Function at a Point

Definition 2.1.3 Let $f$ be a real valued function defined on a set $D \subseteq \mathbb{R}$, and let $a \in \mathbb{R}$ be a limit point of $D$. We say that $b \in \mathbb{R}$ is a limit of $f(x)$ as $x$ approaches $a$ or limit of $f$ at $a$, if for every $\varepsilon>0$, there exists $\delta>0$ such that
$$
|f(x)-b|<\varepsilon \quad \text { whenever } x \in D, 0<|x-a|<\delta $$ Let us observe the following important property. Theorem 2.1.2 A function cannot have more than one limit at a given point. Proof Suppose $b_{1}$ and $b_{2}$ are limits of a function $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ at a given point $a$, where $a$ is a limit point of $D$. Let $\varepsilon>0$ be given. By the definition of the limit, there exist $\delta_{1}>0$ and $\delta_{2}>0$ such that
$$
\begin{aligned}
&x \in D, 0<|x-a|<\delta_{1} \quad \Rightarrow \quad\left|f(x)-b_{1}\right|<\varepsilon \
&x \in D, 0<|x-a|<\delta_{2} \quad \Rightarrow \quad\left|f(x)-b_{2}\right|<\varepsilon
\end{aligned}
$$
Thus,
$$
\begin{aligned}
\left|b_{1}-b_{2}\right| &=\left|\left(b_{1}-f(x)\right)+\left(f(x)-b_{2}\right)\right| \
& \leq\left|b_{1}-f(x)\right|+\left|f(x)-b_{2}\right| \
&<2 \varepsilon
\end{aligned}
$$
whenever, $x \in D$, and $0<|x-a|<\delta:=\min \left{\delta_{1}, \delta_{2}\right}$
Notation 2.1.2 If $b$ is the limit of $f(x)$ as $x$ approaches $a$, the we denote this fact as
$$
\lim _{x \rightarrow a} f(x)=b
$$

数学代写|微积分代写Calculus代写|Limit of a Function in Terms of Sequences

Let $a$ be a limit point of $D \subseteq \mathbb{R}$ and $f: D \rightarrow \mathbb{R}$. Suppose $\lim {x \rightarrow a} f(x)=b$. Since $a$ is a limit point of $D$, we know by Theorem $2.1 .1$ that there exists a sequence $\left(x{n}\right)$ in $D \backslash{a}$ such that $x_{n} \rightarrow a$. Does $f\left(x_{n}\right) \rightarrow b$ ? The answer is in the affirmative.
Theorem 2.1.6 If $\lim {x \rightarrow a} f(x)=b$, then for every sequence $\left(x{n}\right)$ in $D$ with $x_{n} \rightarrow a$, we have $f\left(x_{n}\right) \rightarrow b$.

Proof Suppose $\lim {x \rightarrow a} f(x)=b$. Let $\left(x{n}\right)$ be a sequence in $D$ such that $x_{n} \rightarrow a$. Let $\varepsilon>0$ be given. We have to show that there exists $N \in \mathbb{N}$ such that $\left|f\left(x_{n}\right)-b\right|<\varepsilon$ for all $n \geq N$.
Since $\lim {x \rightarrow a} f(x)=b$, we know that there exists $\delta>0$ such that $$ x \in D, 0<|x-a|<\delta \Rightarrow|f(x)-b|<\varepsilon . $$ Also, since $x{n} \rightarrow a$, corresponding to the above $\delta$, there exists $N \in \mathbb{N}$ such that $\left|x_{n}-a\right|<\delta$ for all $n \geq N$. Hence, we have $\left|f\left(x_{n}\right)-b\right|<\varepsilon$ for all $n \geq N$.
The converse of the above theorem is also true.
Theorem 2.1.7 Suppose that, for every sequence $\left(x_{n}\right)$ in $D$ for which $x_{n} \rightarrow$, we have $f\left(x_{n}\right) \rightarrow b$. Then $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=b$.

Proof Assume for a moment that $f$ does not have the limit $b$ as $x$ approaches $a$. Then, by Theorem 2.1.4, there exists $\varepsilon_{0}>0$ such that for every $\delta>0$, there exists at least one $x_{\delta} \in D$ such that
$$
0<\left|x_{\delta}-a\right|<\delta \text { and }\left|f\left(x_{\delta}\right)-b\right| \geq \varepsilon_{0} .
$$
In particular, for every $n \in \mathbb{N}$, there exists $x_{n} \in D$ such that
$$
0<\left|x_{n}-a\right|<\frac{1}{n} \text { and }\left|f\left(x_{n}\right)-b\right| \geq \varepsilon_{0} .
$$
Thus, $x_{n} \rightarrow a$ but $f\left(x_{n}\right) \nrightarrow b$. This is a contradiction to our hypothesis in the theorem.

Remark 2.1.2 Here are some implications of Theorem 2.1.6. Suppose $\left(x_{n}\right)$ is a sequence in $D \backslash{a}$ such that $x_{n} \rightarrow a$.

  1. If $\left(f\left(x_{n}\right)\right)$ does not converge, then $\lim _{x \rightarrow a} f(x)$ does not exist.
  2. If $\left(f\left(x_{n}\right)\right)$ does not converge to a given $b \in \mathbb{R}$, then either $\lim {x \rightarrow a} f(x)$ does not exist or $\lim {x \rightarrow a} f(x)$ exists but $\lim _{x \rightarrow a} f(x) \neq b$.
  3. If $\left(y_{n}\right)$ is another sequence in $D \backslash{a}$ which converges to $a$ and the sequences $\left(f\left(x_{n}\right)\right)$ and $\left(f\left(y_{n}\right)\right)$ converge to different points, then $\lim _{x \rightarrow a} f(x)$ does not exist.

数学代写|微积分代写Calculus代写|Some Properties

For considering certain properties of the limit, and also for later use, we recall some definitions from set theory:

Suppose $f$ and $g$ are (real valued) functions with domains $D_{f}$ and $D_{g}$, respectively, and let $\alpha \in \mathbb{R}$. Suppose $D_{f} \cap D_{g} \neq \varnothing$. Then, we define functions $f+g, f g$ and $\alpha f$ as
$$
\begin{aligned}
(f+g)(x) &=f(x)+g(x), \quad x \in D_{f} \cap D_{g} \
(f g)(x) &=f(x) g(x), \quad x \in D_{f} \cap D_{g} \
(\alpha f)(x) &=\alpha f(x), \quad x \in D_{f}
\end{aligned}
$$
The function $f+g$ is called the sum of $f$ and $g$, and $f g$ is called the product of $f$ and $g$. If $f$ is a nonzero function, that is, $f(x) \neq 0$ for some $x \in D_{f}$, then we define the function $1 / f$ by
$$
\left(\frac{1}{f}\right)(x)=\frac{1}{f(x)}, \quad x \in D_{f}^{\prime},
$$
where $D_{f}^{\prime}:=\left{x \in D_{f}: f(x) \neq 0\right}$. Thus, we can also define the function $f / g$ by
$$
\frac{f}{g}=f \frac{1}{g}
$$
on the set $D_{f / g}:=\left{x \in D_{f} \cap D_{g}: g(x) \neq 0\right}$.
If $D:=\left{x \in D_{f}: f(x) \in D_{g}\right} \neq \varnothing$, then we define the composition of $g$ and $f$, denoted by $g \circ f$, by
$$
(g \circ f)(x)=g(f(x)), \quad x \in D
$$
Thus, domain of $g \circ f$ is the set $D_{g \circ f}:=\left{x \in D_{f}: f(x) \in D_{g}\right}$.
In the following, when we talk about the functions $f+g, f g, f / g$ and $g \circ f$, we mean their definitions as above with appropriate domains of definitions; we may not write the domains explicitly. Functions are assumed to be defined on subsets of the set $\mathbb{R}$ of real numbers, and are real valued.
The following three theorems can be proved using Theorems 2.1.6 and 2.1.7, and the results on convergence of sequences of real numbers (supply details). However, to get accustomed with the $\varepsilon-\delta$ arguments, we provide the detailed proof using the definition itself.

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微积分代考

数学代写|微积分代写Calculus代写|Limit of a Function at a Point

定义 2.1.3 让F是定义在集合上的实值函数D⊆R, 然后让一个∈R成为一个极限点D. 我们说b∈R是一个极限F(X)作为X方法一个或限制F在一个, 如果对于每个e>0, 那里存在d>0这样

|F(X)−b|<e 每当 X∈D,0<|X−一个|<d让我们观察以下重要性质。定理 2.1.2 一个函数在给定点不能有多个限制。证明假设b1和b2是函数的极限F:D→R在给定的点一个, 在哪里一个是一个极限点D. 让e>0被给予。根据极限的定义,存在d1>0和d2>0这样

X∈D,0<|X−一个|<d1⇒|F(X)−b1|<e X∈D,0<|X−一个|<d2⇒|F(X)−b2|<e
因此,

|b1−b2|=|(b1−F(X))+(F(X)−b2)| ≤|b1−F(X)|+|F(X)−b2| <2e
每当,X∈D, 和0<|xa|<\delta:=\min \left{\delta_{1}, \delta_{2}\right}0<|xa|<\delta:=\min \left{\delta_{1}, \delta_{2}\right}
符号 2.1.2 如果b是极限F(X)作为X方法一个, 我们将此事实表示为

林X→一个F(X)=b

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让一个成为一个极限点D⊆R和F:D→R. 认为林X→一个F(X)=b. 自从一个是一个极限点D, 我们通过定理知道2.1.1存在一个序列(Xn)在D∖一个这样Xn→一个. 做F(Xn)→b? 答案是肯定的。
定理 2.1.6 如果林X→一个F(X)=b, 然后对于每个序列(Xn)在D和Xn→一个, 我们有F(Xn)→b.

证明假设林X→一个F(X)=b. 让(Xn)成为一个序列D这样Xn→一个. 让e>0被给予。我们必须证明存在ñ∈ñ这样|F(Xn)−b|<e对所有人n≥ñ.
自从林X→一个F(X)=b, 我们知道存在d>0这样

X∈D,0<|X−一个|<d⇒|F(X)−b|<e.另外,由于Xn→一个, 对应于上述d, 那里存在ñ∈ñ这样|Xn−一个|<d对所有人n≥ñ. 因此,我们有|F(Xn)−b|<e对所有人n≥ñ.
上述定理的反面也成立。
定理 2.1.7 假设,对于每个序列(Xn)在D为此Xn→, 我们有F(Xn)→b. 然后林X→一个F(X)=b.

证明假设一会儿F没有限制b作为X方法一个. 那么,由定理 2.1.4,存在e0>0这样对于每个d>0, 至少存在一个Xd∈D这样

0<|Xd−一个|<d 和 |F(Xd)−b|≥e0.
特别是,对于每个n∈ñ, 那里存在Xn∈D这样

0<|Xn−一个|<1n 和 |F(Xn)−b|≥e0.
因此,Xn→一个但F(Xn)↛b. 这与我们在定理中的假设相矛盾。

备注 2.1.2 以下是定理 2.1.6 的一些含义。认为(Xn)是一个序列D∖一个这样Xn→一个.

  1. 如果(F(Xn))不收敛,则林X→一个F(X)不存在。
  2. 如果(F(Xn))不收敛到给定的b∈R,那么要么林X→一个F(X)不存在或林X→一个F(X)存在但林X→一个F(X)≠b.
  3. 如果(是n)是另一个序列D∖一个收敛到一个和序列(F(Xn))和(F(是n))收敛到不同的点,然后林X→一个F(X)不存在。

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为了考虑极限的某些性质,也为了以后的使用,我们回顾了集合论中的一些定义:

认为F和G是具有域的(实值)函数DF和DG, 分别让一个∈R. 认为DF∩DG≠∅. 然后,我们定义函数F+G,FG和一个F作为

(F+G)(X)=F(X)+G(X),X∈DF∩DG (FG)(X)=F(X)G(X),X∈DF∩DG (一个F)(X)=一个F(X),X∈DF
功能F+G被称为总和F和G, 和FG被称为产品F和G. 如果F是一个非零函数,即F(X)≠0对于一些X∈DF,然后我们定义函数1/F经过

(1F)(X)=1F(X),X∈DF′,
在哪里D_{f}^{\prime}:=\left{x \in D_{f}: f(x) \neq 0\right}D_{f}^{\prime}:=\left{x \in D_{f}: f(x) \neq 0\right}. 因此,我们也可以定义函数F/G经过

FG=F1G
在片场D_{f / g}:=\left{x \in D_{f} \cap D_{g}: g(x) \neq 0\right}D_{f / g}:=\left{x \in D_{f} \cap D_{g}: g(x) \neq 0\right}.
如果D:=\left{x \in D_{f}: f(x) \in D_{g}\right} \neq \varnothingD:=\left{x \in D_{f}: f(x) \in D_{g}\right} \neq \varnothing,然后我们定义的组成G和F,表示为G∘F, 经过

(G∘F)(X)=G(F(X)),X∈D
因此,域G∘F是集合D_{g \circ f}:=\left{x \in D_{f}: f(x) \in D_{g}\right}D_{g \circ f}:=\left{x \in D_{f}: f(x) \in D_{g}\right}.
下面,当我们谈到函数时F+G,FG,F/G和G∘F,我们指的是它们的定义如上,具有适当的定义域;我们可能不会明确地编写域。假设函数是在集合的子集上定义的R实数的,并且是实值的。
使用定理 2.1.6 和 2.1.7 可以证明以下三个定理,以及实数序列收敛的结果(提供详细信息)。但是,要习惯e−d论据,我们使用定义本身提供详细的证明。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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